着想 #145

【Magnitude combinatorics：数え上げ問題の距離的精密化】 組合せ論の中心的テーマの一つは、有限集合 $X$ の濃度 $|X|$ を求める「数え上げ」である。一方、$X$ に自然な距離 $d$ が備わっている場合、濃度の精密化として magnitude $\operatorname{Mag}(X,d)$ を考えることができる。 そこで、古典的な数え上げ問題を系統的に magnitude へ持ち上げる研究分野として **magnitude combinatorics** を考えたい。 典型的には、数え上げ対象の集合 $X$ に対し、対象間の基本変形（フリップ、交換、隣接互換など）から再構成グラフを作り、その最短路距離を入れる。そして $$ |X| \quad\rightsquigarrow\quad \operatorname{Mag}_q(X,d) $$ という距離的な精密化を研究する。$q=0$ では通常の濃度が復元されるので、これは古典的な数え上げ組合せ論の変形とみなせる。 この考え方の一つの実例は、Ye Liu との共著「Magnitude homology of real hyperplane arrangements」である。実超平面配置の chamber 全体にギャラリー距離を入れ、その magnitude / magnitude homology を調べると、単なる chamber 数の精密化にとどまらず、超平面配置に固有の面による分解、相反性、Stanley–Reisner 環に関する組合せ論などの構造が現れる。この現象を、より広い組合せ論的対象で系統的に探りたい。 たとえば次のような問題が考えられる。 - グラフの全域木全体に辺交換距離を入れ、行列木定理や Cayley の公式の magnitude 版を求める。 - 半順序集合の線形拡大全体に隣接交換距離を入れ、フック長公式の magnitude 版を求める。 - 平面分割や順序イデアル全体に1要素の追加・削除から定まる距離を入れ、MacMahon の公式の magnitude 版を求める。 - 三角形分割全体にフリップ距離を入れ、Catalan 数の magnitude による精密化を調べる。 - マトロイドの基底全体に基底交換距離を入れ、Tutte 多項式、双対性、直和、削除・縮約と magnitude の関係を調べる。 より一般には、「対象そのものの個数」だけでなく、「対象どうしが基本変形によってどのように配置されているか」まで含めて数えることが magnitude combinatorics の目的である。