問い #157

mex/rev-mex双対力学系 ## Trigger chatgptでadditive subtraction Nim (S={s_1,s_2,s_1+s_2}) のsink–wall dualityを検討し，(mathbb Z/pmathbb Z)上のnimber列をmex operatorとrev-mex involutionの力学系として扱う案が生じた．既存のgame differential構造 [[v7p3ka]] から派生する具体問題である． ## Idea [ X={0,1,2,3}^{mathbb Z/pmathbb Z} ] 上に [ (M_Sf)(x)=operatorname{mex}{f(x-s)mid sin S} ] を定める．nimber involution (sigma) を [ sigma(0)=2,quad sigma(2)=0,quad sigma(1)=1,quad sigma(3)=3 ] とし，reflection/translationを組み込んだ [ (J_bf)(x)=sigma(f(-b-x)) ] を考える．sink–wall予想 [ v_{mathrm{wall}}([x]_p) = sigma!left(v_{mathrm{sink}}([-s_2-x]_p) ight) ] を，(M_S)と(J_b)のintertwining relationまたはtime-reversal symmetryとして導出できるかを問う． ## Goal 個別のfloor formulaを，有限状態dynamical systemのreversibility／conjugacyとして説明する．まずoperator identityが全(X)で成り立つのか，sink/wall boundary conditionが定めるinvariant subset上だけで成り立つのかを切り分ける．