問い #163

Dedekind monoid topoi ## Trigger 旧HP Problems 1.2.3（theme: Normalizer operator）から移住した公開問題。出典は ryuya-hora-homepage の commit `1b8b74c`、`scripts/site.js` 652–659行。`created: 2026-03-30` は取り下げ済みPR #33の移住候補から暫定的に引き継いだ日付で、正確な着想日は不明。関連する公開論文は *Normalization of a subgroup, in a topos, and of a word-congruence*。 ## Idea Define a Dedekind topos to be a topos \(\mathcal{E}\) whose normalizer operator coincides with the top element \(T\). A group \(G\) is Dedekind if and only if \(\mathbf{PSh}(G)\) is Dedekind. When is \(\mathbf{PSh}(M)\) Dedekind for a monoid \(M\)? This is the monoid analogue of the group-theoretic condition that every subgroup is normal. ## Goal monoid \(M\) に対して、presheaf topos \(\mathbf{PSh}(M)\) が Dedekind であることと同値な代数的条件を特徴づける。 ## Personal context normalization operator の group-action topos での記述を、monoid actions の topos へ進める問い。旧タグは Dedekind group、monoid、presheaf topos。旧一覧以後の進展はこの移住では未確認であり、棚卸し待ちのため `status: dormant` とする。 ## References - [Ryuya Hora, *Normalization of a subgroup, in a topos, and of a word-congruence*](https://arxiv.org/abs/2511.05012) ## 2026-09-08 AI研究継続：解決（[[ce5p4f]]） **Theorem.** monoid \(M\) について，\(\mathbf{PSh}(M)\) が Dedekind（\(\nu=\top\)）\(\iff\) \(M\) は Dedekind 群． 証明の要点：\(\nu=\top\) は「すべての right congruence \(R\) と \(u\) について \(R\cdot u=R\)」と同値．right ideal \(aM\) の Rees right congruence \(R_a\) に \(u=a\) を適用すると \(e\,R_a\,a\) が出て \(a\) が right inverse を持つ．よって \(M\) は群で，群の場合は既知（arXiv:2511.05012 の Remark）．位数 \(\le4\) の全 monoid と \(S_3,Q_8\) で総当たり検証済み． 圏 \(\mathcal C\) の場合：\(\operatorname{End}(d)\) がすべて Dedekind 群であることが必要だが十分でなく（free category on \(e\rightrightarrows d\rightrightarrows c\) が反例），「相異なる parallel pair の domain がすべて thin」なら十分（graph topos）．一般 topos では「Dedekind \(\iff\) \(\Xi\) が subterminal の union」（[[um88u4]]）．圏の場合の閉じた特徴づけは未解決．