着想 #200

Coskeletality and contextuality ## Trigger ACT 2026で、Anny Beatriz Azevedo と “Algorithmic and extremal obstructions through the language of cohomology” について話した。論文では、計算問題を部分グラフ $H \subseteq G$ に証明書集合 $F(H)$ を割り当てる presheaf と見て、局所解の matching family が大域解に貼り合わさらない失敗を Čech cohomology、とくに $H^0$ で測る。 その議論の中で、arXiv:2503.03439 に出てくる coskeletality とかなり近いのではないか、という観察をした。特に、そこでの coskeletality は「塗り方・構造の局所データが貼り合わさるか」という話であり、2407.03488 の matching family / amalgamation / obstruction の枠組みと対応して見える。 この観察を、slogan **coskeletality and contextuality** と呼ぶことにする（2026-07-23 に登録簿へ正式登録済み）。 ## Idea 対応はおおよそ次のように見える。 \[ \begin{array}{c|c} \text{coskeletality side} & \text{cohomological obstruction side} \\ \hline \text{small subsets / small substructures} & \text{subgraphs / local instances} \\ \text{compatible colorings or structures} & \text{matching families of certificates} \\ \text{filler} & \text{global solution / amalgamation} \\ m\text{-coskeletal} & \text{local-to-global compositionality} \\ \text{unfillable cycle} & H^0\text{-class / obstruction} \end{array} \] つまり、2407.03488 は “algorithmic coskeletality obstruction theory” の $H^0$ 版として読めるのではないか。 精密には、$m$-coskeletality は \[ X(A)\to \operatorname{Match}_{\le m}(A,X) \] が同型であることに対応し、2407.03488 の言葉では sheaf condition に近い。したがって \[ H^0_m(A,X) := \operatorname{coker}\left( \mathbb Z[X(A)] \to \mathbb Z[\operatorname{Match}_{\le m}(A,X)] \right) \] のようなものを定義すると、$m$-coskeletality の存在側の failure を測る invariant になりそう。 ## Connected bottles / themes この slogan には次の話を入れられる。 - Koriさんとの no-go theorem / 2-coskeletality の議論。局所データがある次数まで整合しても、大域的な choice / section / social choice が存在しないという見方。 - Arrow theorem by arrow theory の話。Arrow の定理を presheaf 的に書き、compatible local preferences と global aggregator の非存在を contextuality として読む方向。 - 既存の Lawvere 4th problem 関連の論文。kobin としては未実装だが、skeletality / coskeletality / essential subtopoi / Aufhebung の文脈で、この slogan に接続できる。 共通点は、どれも \[ \text{local compatibility} \not\Rightarrow \text{global section / filler / solution} \] という形をしていること。これを contextuality と呼ぶなら、coskeletality は「どの次元・どのサイズの局所データまで見れば大域が決まるか」を測る構造であり、両者はかなり近い。 ## Goal coskeletality を「塗り方の張り合わせ」として見たとき、unfillable cycle や lower bound の議論を、Čech $H^0$ 的な obstruction として再解釈したい。 長期的には、algorithmic obstruction, sheafification, coskeletality, Aufhebung, contextuality, no-go theorem, social choice, CSP/distributed computing の局所大域原理を統一する小さな辞書を作る。 ## Personal context 自分の topos theory / quotient topos / hyperconnected-localic factorization への関心と接続する。特に「局所的に見える構造から大域を復元できるか」という問いは、coskeletality, sheaf condition, quotient structure, localic restriction の全てにまたがっている。 2407.03488 は subobject/subgraph 側の local-to-global failure を扱っている。一方、2503.03439 は levels / essential subtopoi / Aufhebung の文脈で skeletality と coskeletality を扱う。ここに、topos-theoretic obstruction theory としての共通言語がありそう。