問い #205

geometric morphismが誘導するT̂ ## Trigger Nivar論文（relative LSC）のThm 3.1読解中。λ_jの性質(i)–(iv)がL_jのどの性質に対応するかを分解した際の観察（claudeとの会話より）。 ## Idea 任意のgeometric morphism f : F → E に対し、monad T = f_* f^* はlex pointedなので、Horaノート（§Exponential structure）のPropositionによりΞのinflationary internal semilattice endomorphism T̂ が誘導される。Thm 3.1の(i)–(iii)は常に成立し、idempotence (iv)だけがfがembeddingの場合の特典。一般のfに対する「T̂-stableなclassifier」が何を分類するかはopen。f ↦ T̂ の関手性（lax functor性）も問える。 ## Goal embedding（Nivar）を超えた一般のgeometric morphismに対するrelative LSC理論の第一歩。 ## Personal context Horaノートのpointed endofunctor Proposition（mono保存で十分、lexはsemilattice hom性にのみ必要）の直接の応用系。 ## 2026-09-07 追記（Kobin研究継続 run） 「idempotence は embedding だけの特典」は étale \(\pi_X:\mathcal E/X\to\mathcal E\)（monad \((-)^X\)）でも成り立たない：[[u32zsb]] により \(\hat T_X=\hat T_{\operatorname{supp}X}=\lambda_{o(\operatorname{supp}X)}\) で idempotent，globally supported なら恒等射．一般の \(f\) に対する \(\hat T_f\) が非 idempotent になる例は依然として未提示（候補：hyperconnected や connected な \(f\)）．