着想 #229

hash対象はnon-idempotentなLSCか ## Trigger 暗号学的hashの公理化プロジェクト（uid: y6kwt2）で、理想的hash対象の最小要件を洗い出していたときの構造的既視感。hash対象 H は (1) すべての対象 T から射 h: T → H を受け、(2) Merkle tree のために二項演算 H × H → H を持ち、(3) cartesian 構造の中で公理化される。この「全対象からの射を受ける + 内部二項演算」という組み合わせが local state classifier Ξ の構造とめちゃくちゃ似ている。 ## Idea LSC Ξ は: すべての対象 X から canonical な射（X の local state への分類射）を受け、internal semilattice 構造（二項演算 ∧、単位元）を持ち、cartesian な文脈で universal property により特徴づけられる。hash 対象 H の要件はこれと平行: | | LSC Ξ | hash H | |---|---|---| | 全対象からの射 | canonical（universal property から一意） | non-canonical（h は選ぶだけ、要件は存在と mono 性） | | 二項演算 | internal semilattice ∧（idempotent, comm, assoc） | Merkle 合成 H × H → H（結合則も可換性も**要らない**、むしろ非退化性が欲しい） | | 特徴づけ | universal property | 公理（mono, 非split, mod negligible） | 相違点が本質的に見える: LSC は「情報を忘れて状態だけ残す」冪等的な分類で、hash は「情報を潰すが衝突は起こさない」非冪等的な圧縮。∧ が idempotent（h(x,x)=x 相当）だったら hash としては即死（fixed point だらけ）。つまり**同じ形（receptor + binary operation）の圏論的構造の、semilattice 側と free-magma 側の両極**にいるのでは。 問い: - LSC の universal property の定式化（cocone / partial map classifier 系の言葉）を hash 側に流用して、「non-canonical だが必ず存在する receptor」の弱い universal property が書けるか? - Ξ の semilattice 構造の公理から idempotence だけ抜いた対象（"non-idempotent LSC"）は何を分類するか? T̂_X の話（étale monad, uid: jmenm6）で「(iv) idempotence だけが落ちる」例が既に出ていたのと呼応する。 - hash の Merkle 演算は free binary operation に近い（衝突がない = 関係式がない）。「H が T の free magma っぽく振る舞う mod negligible」という読み替えは、LSC が cofree 側の構成であることと双対的? ## Goal LSC 理論の技術（universal property の存在証明、hyperconnected quotient との関係）を hash 公理化に輸入できれば、「hash 対象を持つ圏」の存在・構成が LSC の存在定理のアナロジーで得られるかもしれない。逆に hash 側の「非冪等 receptor」が LSC 理論の変種（T̂ の非冪等例）として意味を持つ可能性もある。 ## Personal context - LSC は自分の中心的研究対象（Ξ, relative LSC, Nivar paper のコメント作業）。 - T̂_X（étale monad が誘導する Ξ の inflationary semilattice endo で idempotence のみ失敗する例, uid: jmenm6）と「idempotence が落ちる」点で直結。 - hash 公理化プロジェクト（uid: y6kwt2）の圏論的骨格探し（cartesian + 指定対象 + 射の公理）の途中で出た観察。