スケッチ #285

力学系のAlexandrov生成 ## Trigger [[x43qym]] の functorial dynamics と local states，[[sw5apc]] の pretopological dynamics，さらに「因果の不動点＝時間発展で安定な性質」という洞の見方を，reachability preorder の Alexandrov topology として定理化した． ## Result **定理（dynamical Alexandrov generation）．** monoid \(M\) が集合 \(X\) に作用するとする．reachability preorder を \[ x\preceq_M y \iff \exists m\in M,\quad y=mx \] で定める．このとき complete frames の同型 \[ \boxed{ \operatorname{Sub}_{M\text{-}\mathbf{Set}}(X) \cong \operatorname{Up}(X,\preceq_M) } \] がある．さらに包含 \[ \operatorname{Sub}_{M\text{-}\mathbf{Set}}(X)\hookrightarrow\mathcal P(X) \] の左随伴は \[ \boxed{ A\longmapsto MA:=\{ma\mid m\in M,\ a\in A\} } \] である． ## Proof 部分集合 \(S\subseteq X\) が \(M\)-subobject であることは \[ x\in S,\ y=mx\Longrightarrow y\in S \] と同値であり，これは \(S\) が \(\preceq_M\) に関して upper closed であることそのものである．任意和・任意共通部分は両側で同じように計算されるため complete frame isomorphism を得る． また \(MA\) は \(A\) を含む invariant subset である．invariant \(S\) に対して \[ MA\subseteq S \iff A\subseteq S \] なので，\(A\mapsto MA\) は包含の左随伴である． ## Discrete dynamical systems 自己写像 \(T:X\to X\) の場合は \(M=\mathbb N\) として \[ \operatorname{cl}_T(A)=\bigcup_{n\ge0}T^n(A). \] 命題 \(\varphi\subseteq X\) が \[ x\in\varphi\Longrightarrow T(x)\in\varphi \] を満たすことは，\(\varphi\) が reachability Alexandrov space の upper open であることと同値である． ## Interpretation \[ \boxed{ \text{因果的に安定な性質} = \text{reachability preorder の Alexandrov open} } \] である．進化や力学系における「安定な subspace への流入」は，数値的 attractor の前に，まず invariant propositions の frame として構造的に記述できる． ## Status 定理自体は基本的だが，LSC の local-state order，eventuality filters，Conley 型不変量へ接続する統一的な使い方は未展開である．