問い #3

【問い: condensed sets の local state classifier は Cantor–Bendixson rank を分類しているか】 用語。topos の local state classifier（LSC）Ξ とは、subobject classifier Ω が部分対象を分類するのと並行して、対象の quotient（局所的な状態の潰し方）を分類する対象のこと。存在すれば、Ξ の構造が topos の quotient topos や hyperconnected quotient の情報を担う。presheaf topos や多くの sheaf topos で具体形が知られている。 設定。condensed sets の topos（profinite sets のなす site 上の sheaf topos。Gaeta topos の一例）を考える。 問い。この topos の Ξ は何か。特に、profinite set の Cantor–Bendixson rank——孤立点を取り除く操作の超限反復で定まる順序数で、scattered な profinite set の階層を測る——を分類しているのではないか。 見立て。Ξ は「どの点をどの段階で潰すか」を記録する対象と読める。その段階の指標として CB rank が現れる、というのが直観。ただしこれは直観であって、計算はまだ無い。 一般化。condensed sets で Ξ が分かれば、より一般の Gaeta topos の Ξ を記述する足がかりになる。逆に、topological な gros topos の ℵ₀-Gaeta approximation が condensed sets の topos になるという予想があり、それが正しければ Gaeta topos の Ξ の問いは condensed sets の場合に帰着する。 着手点。まず有限の scattered profinite set（CB rank が小さい順序数）で Ξ の値を手計算し、rank との対応の有無を見る。