スケッチ #304

CORE2還元と素朴分解の限界 ## Trigger ChatGPT会話「理論的ゴリ押し」から生まれた `exploring-math/generalized-star-height` の成果群を、2026-08-27の採掘で「大域的に正確な還元」と「素朴な証明機構への反例」を混ぜない一系列として回収した。 ## Result 1: two-state CORE2 equivalence 有限 alphabet 上の star-free 言語を成分とする任意の 2×2 行列 \(Q\) に対し、\(Q^*\) の全成分が generalized star height 1 以下であるという命題 `M2` を考える。`M2` は、 \[ (A\cup BD^*C)^*\in GH_1 \] が全ての star-free \(A,B,C,D\) で成り立つという一つのスカラー命題 `CORE2` と同値である。さらに、これらは**全正則言語の generalized star height が1以下**という大域的肯定命題と同値である。 鍵は、一文字を新しい二文字の積へ置き換える elementary expansion を、aligned boundary と internal boundary の二状態で正確に追跡する cut compiler である。 ## Result 2: naive compilers fail 上の還元は GSH を解決しない。むしろ、次の素朴な解決ルートが不十分であることが正確に分かっている。 - 任意の有限DFAを単純な経路分解にすると、positive first-return language が必ず star-free になる、という補題は偽。最小の反例は3状態・2文字で得られる。 - canonical first-return set \(C\) を含む star-free \(S\) を選んで \(C^*=S^*\) に直す一生成元のrepairも、その反例で不可能。 - 予め固定した一つの短い syntactic collision、または有限個のcollision一覧で全 star-free operand を一様に排除することもできない。 ## Evidence boundary CORE2還元とloop-erasureの恒等式はcutoffを用いない全称定理として記録されている。finite-collision evasion には別実装によるhostile reviewもある。しかし、これらはいずれも generalized star-height 予想の肯定または否定を与えない。系列全体の外部査読と新規性調査は未了である。 ## Goal 完全なボトルネックである `CORE2` を独立の標的にする。次の候補機構は、固定collisionや一生成元rootではなく、実際の star-free operand の構造に応じて変化する contextual な不変量を持たねばならない。 ## Personal context [[w9v6hw]] の single-observer reduction と [[mm9qed]] の input extension は近い目的を持つが、この瓶はそれらから成立した系譜ではない。関連は slogan と本文内の参照に留める。