問い #305

F₂₀ transducer ladder ## Trigger [[mm9qed]] の「少数生成元の height-one 表現を入力拡張で全元 alphabet へ移せるか」という問いを、2026-08-27の `gsh_bootstrap` 採掘で transducer の state monoid による段階構造として精密化した。同時に、F₂₀ word problem の幾何的な記述を同じ瓶へ統合する。 ## Question height 1 の言語 \(K\) と sequential transducer \(\sigma\) に対し、逆像 \(\sigma^{-1}(K)\) はどの条件下で再び generalized star height 1 以下になるか。 state monoid の仮定を強めると、次の ladder が現れる。 - 仮定なし: 問いは generalized star-height 予想そのものと同等の強さ。 - aperiodic: Pin–Straubing–Thérien 1992, Theorem 7.8 の範囲で肯定。 - elementary abelian 2-group: 同論文の Theorem 7.6 の範囲で肯定。 - cyclic group \(C_4\): F₂₀に対応する最初の未知段。 - 任意の abelian state group: 肯定できれば、Krasner–Kaloujnine の埋め込みにより全有限可解群へ広がる。 したがって、一般的な abelian 予想を直接攻めるのではなく、**state group \(C_4\)、入力が \(C_5\)-counting language** という最小の未知段を攻める。 ## Affine-bundle model 半直積 F₂₀ = C₅ ⋊ C₄ を、底 \(\mathbb Z/4\) と繊維 \(\mathbb Z/5\) からなる flat affine bundle と見る。半直積の平移成分 β は crossed homomorphism 条件の一意解で、word problem はその holonomy が自明になる条件である。この記述により、難しさは β の存在ではなく、**height-one言語の演算で β を定義できるか**に局在する。 ## Evidence boundary 二生成元の一つの標準的射に対しては height 1 表現が証明されているが、これは**F₂₀が認識する全言語や全元 alphabetの解決ではない**。affine-bundle記述と身近な計算証拠は lower bound を与えず、F₂₀全体の height-one 問題は未解決。一部の構造定理は repository 内で機械検査されているが、全体の独立査読と 1992–2026 の先行研究調査は未了である。 ## Goal \(C_4\)-state transducer の最小段で β の definability を明示的な height-one 表現にする。その証明と反例探索のどちらにも使えるよう、transducer ladder を独立の補題群へ分解する。