スケッチ #307

Grundy空席ジャグリング ## Trigger Wythoff Nim の Grundy 表を固定行で生成すると，各行 \(\pi_x(n)=\mathcal G(x,n)\) は \(\mathbb N\) の置換になり，Landman 型の bound により \(\pi_x(n)-n\in[-2x,x]\) に収まる．この有限窓で未使用値だけを保持すると，常に \(x+1\) 個の「空席」が残ることに気づいた． ## Idea 空席集合 \(H_x(n)\subseteq[-2x,x]\) を，第 \(x\) 行で時刻 \(n\) までにまだ使われていない Grundy 値の相対位置として定める．vertical/diagonal follower が禁止する offset 集合を \(B_x(n)\) とすると， \[ d_x(n)=\pi_x(n)-n=\min\bigl(H_x(n)\setminus B_x(n)\bigr), \] \[ H_x(n+1)=\{h-1:h\in H_x(n),\ h\neq d_x(n)\}\cup\{x\}. \] 平行移動 \(V_x(n)=H_x(n)+(2x+1)\) を施すと，これは siteswap の landing-slot update そのものである．選ばれた offset \(d_x(n)\) は throw height \(t_x(n)=d_x(n)+2x+1\) に対応し，第 \(x\) 行の周期部分は \(2x+1\) balls の constrained periodic juggling になる．下位行は，その時刻に投げてはいけない landing slot を指定する constraint として働く． 固定 Grundy level \(q_g(x)\) と固定行 \(\pi_x\) は同じ Latin square／置換場の二つの切り口で，\(q_g(x)=\pi_x^{-1}(g)\) である． ## Goal Wythoff Grundy 表を mex の巨大表としてではなく，bounded-displacement permutations と constrained siteswap の族として再構成する．周期性，period doubling，Zeckendorf finite-state structure を，ジャグリング写像の分解・平均 throw height・有限状態力学系から概念的に説明する． ## Personal context 洞の既存ノート「ジャグリング」では，ジャグリングを \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\) なる全単射 \(f(i)>i\) として表し，数列・置換・軌道分解の三表示を比較している．今回の空席力学系はその landing-time 表現に直接接続する．