問い #308

Primitive-word回転戦略 ## Trigger 2026-06-06のChatGPT会話「Primitive word conjecture」で、洞が「Primitive word conjectureを解こう」「Leanで証明を探索できる?」と問うた。2026-08-27の履歴採掘で、その応答中の cyclic conjugacy を使う戦略を新規瓶候補として回収した。 ## Question \(Q_\Sigma\) を alphabet Σ 上の原始語全体とする。Primitive word conjecture を直接解く代わりに、次の補題を攻める。 > context-free language \(L\) が \(Q_\Sigma\) に含まれ、cyclic conjugacy で閉じているなら、\(L\) のasymptotic densityは1未満である。 原始語全体は回転で閉じている。したがって、既知の密度定理やcontext-free languageの反例から、**回転対称性を保ったサブクラス**だけを切り出すのが狙いである。 ## Lean first target まず言語全体の密度論をformalizeするのではなく、次の有限的な中間補題をLean化する。 1. 長さ \(n\) の語の cyclic orbit と周期語・原始語の関係。 2. 回転閉な言語の長さ \(n\) 成分がorbitの合併になること。 3. grammar または pushdown automaton の構造が、十分多くのcyclic orbitを丸ごと含むことを妨げる局所的補題。 ## Evidence boundary この戦略は会話から得た研究候補であり、上の主補題は未証明。Sin'yaの零一則やKogaの反例との正確な射程を、一次文献から独立に再監査する必要がある。新規性調査も未了である。 ## Personal context [[ngandp]] は共著草稿の所在だけを記録する瓶である。本瓶はChatGPT会話から独立に切り出した証明戦略であり、[[ngandp]] の共著草稿本文を参照・転載していない。 ## Goal 回転閉性が、一般のcontext-free languageの密度反例を排除する本質的条件かを判定する。肯定であれば主補題へ、否定であれば最小反例から正しい追加条件へ進む。