スケッチ #318

Schanuel toposの商は2つ ## Trigger 2026-09-07 の Kobin 研究継続 run（10 回目）．[[py8q96]] の未監査 result「Schanuel topos の LSC は open subgroup の共役作用 $\Xi_{\mathrm{Sch}}\cong\operatorname{OpenSub}(G)$」を点検し，その直接の帰結として「Schanuel topos の quotient は何か」を問うた．LSC の値を知った以上，TAC 42-11 の main theorem（hyperconnected quotient ↔ internal filter of $\Xi$）で quotient は原理的に決まるので，実際に決めた． 点検結果（[[py8q96]] 側にも追記）：$\Xi_{\mathrm{Sch}}\cong\operatorname{OpenSub}(G)$ と「open subgroup は最小 support を持つ」補題は，洞の手書きノート *LSC of the Schanuel topos.pdf*（Google Drive，2026-08-01 upload，14 頁）に double coset の議論として既にある．したがって [[py8q96]] の result は「洞の既知結果」と位置づけ直す． ## Idea 記法．$\mathbb A$ を無限集合，$G=\operatorname{Sym}(\mathbb A)$ に pointwise convergence topology $\tau$ を入れる．有限集合 $A\subset\mathbb A$ に対し $G_{(A)}$ を pointwise stabilizer，$G_{\{A\}}$ を setwise stabilizer，$G_a=G_{(\{a\})}$ と書く．$\mathbb A$ が可算のとき $\mathbf{Cont}(G,\tau)$ が Schanuel topos $\mathbf{Sch}$（nominal sets）である． **Theorem B（本 run の主結果）．** Schanuel topos の quotient topos（Lawvere の意味：inverse image が full & faithful な geometric morphism $\mathbf{Sch}\to\mathcal F$）は，同値を除いてちょうど 2 つ，$\mathbf{Sch}$ 自身と $\mathbf{Sch}\to\mathbf{Set}$ だけである．より一般に，任意の無限集合 $\mathbb A$ について $\mathbf{Cont}(\operatorname{Sym}(\mathbb A),\tau)$ の quotient はこの 2 つだけである． 同じことの群論的言い換え：$\operatorname{Sym}(\mathbb A)$ 上の **simple**（open subgroup が単位元の近傍基をなす）な group topology で $\tau$ より粗いものは，$\tau$ 自身と密着位相の 2 つしかない． nominal sets の言葉での言い換え（Corollary C）：**自明でない**（＝空でない support を持つ元をもつ）任意の nominal set $X$ に対し，atoms $\mathbb A$ は $X\times X$ の sub-nominal-set の quotient として得られる． ## 既知の部分（洞自身の定理） **Lemma 1（LSC of $\mathbf{Cont}(G,\tau)$；洞の手書きノート，TAC 42-11 Example 3.7 の連続版）．** 位相群 $(G,\tau)$ について $\Xi_{\mathbf{Cont}(G,\tau)}\cong\operatorname{OpenSub}(G)$（共役作用），$\xi_X(x)=\operatorname{Stab}(x)$． 証明は Example 3.7 と同じ：locally determined cocone $\{\lambda_X:X\to\Lambda\}$ は各 orbit $G/H$（$H$ open）上の値 $\lambda(eH)\in\Lambda^H$ で決まり，orbit 間の mono は iso $G/H\cong G/gHg^{-1}$ なので，cocone のデータは $\varphi:\operatorname{OpenSub}(G)\to\Lambda$ で $\varphi(H)\in\Lambda^H$，$\varphi(gHg^{-1})=g\varphi(H)$ を満たすものに他ならない．$\operatorname{OpenSub}(G)$ 自身（stabilizer は $N_G(H)\supseteq H$ で open だから continuous $G$-set）と $\varphi=\mathrm{id}$ が普遍的．内部 semilattice 構造は $\cap$，$\top=G$． **Theorem A（洞の既知定理：TAC 42-11 Corollary 5.12・Remark 5.13．Rogers 2021 §5.3.1 も参照）．** $\mathbf{Cont}(G,\tau)$ は Boolean なので quotient はすべて hyperconnected（Prop. 5.3）であり，main theorem により $$\{\text{quotients of }\mathbf{Cont}(G,\tau)\}\;\cong\;\{\text{conjugate closed filters }\mathcal F\subseteq\operatorname{OpenSub}(G)\}\;\cong\;\{\text{simple group topologies }\tau'\le\tau\}$$ である．filter $\mathcal F$ に対応する quotient の inverse image の像は「すべての stabilizer が $\mathcal F$ に属する continuous $G$-set」からなる full subcategory で，$\mathbf{Cont}(G,\tau')$ と同値． ## 新しい部分：Schanuel topos に対する filter の決定 **Lemma 2（最小 support；洞ノート・Pitts *Nominal Sets* の full $\operatorname{Sym}$ 版）．** 有限集合 $A,B\subset\mathbb A$ に対し $G_{(A\cap B)}=G_{(A)}\,G_{(B)}\,G_{(A)}$．特に $G_{(A)},G_{(B)}\le H$ なら $G_{(A\cap B)}\le H$． *証明．* $G_{(A\cap B)}\cong\operatorname{Sym}(\mathbb A\setminus(A\cap B))$ の中で考えれば $A\cap B=\emptyset$ としてよい（$\mathbb A\setminus(A\cap B)$ は無限）．$g\in G$ を任意にとる．$|E|=|A|$ の有限集合 $E\subset\mathbb A\setminus(A\cup B\cup gA)$ をとり，$gA\cap B$ を $E$ の部分集合と入れ替える有限置換を $k$ とする．$k$ の support は $A$ と交わらないので $k\in G_{(A)}$，かつ $kgA\cap B=\emptyset$．次に部分全単射 $kgA\to A,\ kg(a)\mapsto a$ は $\mathbb A\setminus B$ の有限部分集合の間の全単射なので，$\mathbb A\setminus B$ の置換 $h$ に拡張できる（余集合はどちらも無限で同じ濃度）．$h\in G_{(B)}$ で $hkg\in G_{(A)}$．よって $g\in G_{(A)}G_{(B)}G_{(A)}$．$\square$ （有限モデル $|\mathbb A|=7$，$A=\{0,1\}$，$B=\{2\}$ で $G_{(A)}G_{(B)}G_{(A)}=\operatorname{Sym}(7)$ を総当たりで確認済み．） **Lemma 3（open subgroup の形；[[py8q96]] の主張の再証明）．** open な $H\le G$ は $G_{(A)}\le H$ となる有限集合 $A$ を持ち（$\tau$ の定義），Lemma 2 よりそのような $A$ の全体は $\cap$ で閉じるので最小元 $\operatorname{supp}H$ が存在する．$A=\operatorname{supp}H$ とすると $H\le G_{\{A\}}$：実際 $h\in H$ に対し $G_{(hA)}=hG_{(A)}h^{-1}\le H$ なので $A\subseteq hA$，有限で同じ大きさだから $hA=A$．したがって $H$ は $G_{(A)}\le H\le G_{\{A\}}$ を満たし，$K=H/G_{(A)}\le G_{\{A\}}/G_{(A)}\cong\operatorname{Sym}(A)$ によって $H=H_{A,K}=\{g\mid gA=A,\ g|_A\in K\}$ と一意に書ける．また $H=G\iff\operatorname{supp}H=\emptyset$． **Lemma 4（鍵）．** $H\lneq G$ を open とし $a\in\operatorname{supp}H$，$a'\in\mathbb A\setminus\operatorname{supp}H$，$g=(a\ a')$ とする．このとき $H\cap gHg^{-1}\le G_a$． *証明．* $A=\operatorname{supp}H$ とおくと $\operatorname{supp}(gHg^{-1})=gA=(A\setminus\{a\})\cup\{a'\}$．Lemma 3 より $H\le G_{\{A\}}$，$gHg^{-1}\le G_{\{gA\}}$ なので，共通部分の元 $h$ は $A$ と $gA$ を setwise に保ち，したがって $A\setminus gA=\{a\}$ を保つ．すなわち $h(a)=a$．$\square$ **Theorem B の証明．** $\mathcal F\subseteq\operatorname{OpenSub}(G)$ を conjugate closed filter とする．$\mathcal F\ne\{G\}$ なら open な $H\lneq G$ が $\mathcal F$ に属する．Lemma 4 と共役閉性・有限交叉閉性より $H\cap gHg^{-1}\in\mathcal F$，上方閉性より $G_a\in\mathcal F$．共役閉性より全ての $b\in\mathbb A$ について $G_b\in\mathcal F$，有限交叉より任意の有限集合 $B$ について $G_{(B)}=\bigcap_{b\in B}G_b\in\mathcal F$，上方閉性より（Lemma 3）任意の open subgroup が $\mathcal F$ に属する．よって $\mathcal F=\operatorname{OpenSub}(G)$．conjugate closed filter は $\{G\}$ と $\operatorname{OpenSub}(G)$ の 2 つだけであり，Theorem A により quotient も 2 つ．$\{G\}$ に対応するのは trivial action の full subcategory $\Delta(\mathbf{Set})$，すなわち global sections $\mathbf{Cont}(G,\tau)\to\mathbf{Set}$（$\mathbf{Sch}$ は connected なので $\Delta$ は full & faithful，trivial action の sub-$G$-set は trivial なので像は subobject で閉じ，hyperconnected）．$\square$ **Corollary C（nominal sets）．** $X$ を nominal set，$x\in X$ を $\operatorname{supp}x\ne\emptyset$ なる元とし，$a\in\operatorname{supp}x$，fresh な $a'$，$g=(a\ a')$ とする．Lemma 4 を $H=\operatorname{Stab}(x)$（$\operatorname{supp}H=\operatorname{supp}x$）に適用すると $\operatorname{Stab}(x,gx)=H\cap gHg^{-1}\le G_a$ なので，orbit $G\cdot(x,gx)\subseteq X\times X$ から $G/G_a\cong\mathbb A$ への equivariant な全射 $(hx,hgx)\mapsto h(a)$ が存在する．つまり **atoms は任意の非自明 nominal set の $X\times X$ の subquotient** である．（$X=$ unordered pairs なら「1 点だけ共有する 2 つの pair の共有点」，$X=$ 5 点集合の偶置換類なら「4 点を共有する 2 つの 5 点集合の差」がその写像．） **Corollary D（位相群論との比較）．** 1. TAC 42-11 Cor. 5.12 により離散群 $\operatorname{Sym}(\mathbb A)$ の action topos $\mathbf{Set}^{\operatorname{Sym}(\mathbb A)}$ の quotient は simple topology と対応する．Theorem B は「$\mathbf{Sch}$ はこの quotient の順序集合の atom（真に下にあるのは $\mathbf{Set}$ だけ）」と言っている．例えば normal subgroup $N=\operatorname{FSym}(\mathbb A)$ の生成する filter $\{H\supseteq N\}$ は $\mathbf{Sch}$ と比較不能な別の quotient $B(\operatorname{Sym}/\operatorname{FSym})$ を与える． 2. Gaughan (PNAS 58, 1967) は「$S_\infty=\operatorname{Sym}(\mathbb N)$ 上の任意の Hausdorff group topology は pointwise topology を含む」を示した（Ulam の問題 96 の解決）．Theorem B の群論版は Gaughan ＋ Schreier–Ulam–Baer の normal subgroup 分類からも導けるが（非 Hausdorff の場合は $\overline{\{1\}}=N\ne1$ が normal で $\operatorname{FAlt}$ を含むので，各 open subgroup は $\langle\operatorname{FAlt},G_{(A)}\rangle=G$ を含む），こちらは simple topology に限った代わりに完全に初等的（Lemma 2–4 のみ）で，$\mathbb A$ の濃度によらない． ## 新規性照合 - Google Drive 手書きノート（`fullText contains` 検索：hyperconnected / Schanuel / nominal / Gaughan）：*LSC of the Schanuel topos.pdf* に Lemma 1–3 相当（double coset の補題，$S\cap T$ が support，最小 support）があり，最終頁の推測は「$\Xi(A)=\operatorname{Sub}(\mathfrak S_A)$ would be」．quotient・filter には触れていない．なお presheaf 表示では stage $A$ の元は $\operatorname{Fix}_A$ で正規化される open subgroup，すなわち support $\subseteq A$ のものなので，正しくは $\Xi(A)=\coprod_{B\subseteq A}\operatorname{Sub}(\mathfrak S_B)$（$|A|=1$ で 2 元：$\xi_{\mathbb A}$ と定値 $G$）． - Notion「数学活動」（notion-search：Schanuel / hyperconnected / quotient）：該当なし（[[py8q96]] の瓶棚ページのみ）． - TAC 42-11：Theorem A は Cor. 5.12 と Rem. 5.13 として既出．Schanuel topos への適用と Theorem B・C は未記載．Rogers, *Toposes of topological monoid actions* (Compositionality 2023) Ex. 3.29/4.27 は Schanuel topos の表現の非一意性のみで quotient の分類は無い．Marquès, *Atomic toposes with co-well-founded categories of atoms* (arXiv:2406.14346) の atom $(n,G)$ の記述は Lemma 3 の $(A,K)$ と整合． - 結論：Theorem A は既知（洞），Theorem B・Corollary C・D は本 run の新規（ただし Gaughan 経由の別証明が可能な範囲は Corollary D で明示）． ## 未解決・次の一手 1. **一般化（oligomorphic groups）．** closed $G\le\operatorname{Sym}(\mathbb A)$（例：$\operatorname{Aut}(\mathbb Q,<)$，random graph の自己同型群）について，$\mathbf{Cont}(G)$ の quotient が 2 つだけになる条件は何か．Theorem B の証明を追うと，必要十分条件は「任意の proper open subgroup $H$ について，有限個の共役の交わり $\bigcap g_iHg_i^{-1}$ がある点の stabilizer $G_b$ に含まれ，かつ $G$ が $\mathbb A$ 上 transitive」である．$\operatorname{Aut}(\mathbb Q,<)$ では setwise stabilizer が pointwise stabilizer に一致するので Lemma 2 の類似が成り立てば open subgroup は $G_{(A)}$ のみとなり，直ちに 2 つになる（未検証）．有限 ⟹ 無限の乖離：species topos（TAC Ex. 5.6）は $\mathfrak S_n$ の normal subgroup の分だけ quotient を持つのに，$\mathbf{Sch}$ は持たない． 2. **Hausdorff でない simple topology の役割．** Cor. D.2 の別証明を精密化し，「$\mathbf{Cont}(G,\tau)$ の quotient の順序集合」と「$G$ の normal subgroup の束」の関係（例：$\mathbf{Set}^{\operatorname{Sym}(\mathbb A)}$ の quotient 全体の記述）を Schreier–Ulam–Baer で完成させる． 3. **Corollary C の nominal sets 文献照合．** 「非自明 nominal set は atoms を interpret する」が Pitts 本・Gabbay–Pitts に既出か未確認． ## Goal Schanuel topos を「quotient を持たない atomic topos」の標準例として確定し，[[py8q96]] の LSC 計算を quotient 分類まで完結させる．Lawvere の問題（quotient の分類）の文脈で，「LSC を計算すれば quotient が全部決まる」実例を，ℕ-Set（Hora–Kamio JPAA 2024）・species（TAC Ex. 5.6）に続けて追加する． ## Personal context [[py8q96]]（Schanuel topos の LSC）の直接の続き．[[y65duj]]（permutation model と internal AC）にとっては「$\mathbf{Sch}$ より粗い permutation-model topos は $\mathbf{Set}$ しかない」という制約を与える．[[muwz6c]]・[[kg9sny]]（hyperconnected quotient の部分クラス）とは，Theorem A を通じて同じ main theorem の応用として並ぶ．