スケッチ #319

T̂_Xはsupportのみ依存 ## Trigger [[jmenm6]] の問い「étale geometric morphism \(\pi_X:\mathcal E/X\to\mathcal E\) の monad \(T=(-)^X\) が \(\Xi\) に誘導する endomorphism \(\hat T_X\) は，inflationary semilattice endo だが non-idempotent（最初の非自明な non-idempotent 例）で，その fixed points と slice LSC \(\Xi_{\mathcal E/X}\) はどう関係するか」を，2026-09-07 の Kobin 研究継続 run で検討した．結論は，\(\hat T_X\) は \(X\) の support しか見ておらず idempotent であり，特に \(X\) が globally supported なら恒等射である．したがって「fixed points を取ってから localize する」recipe は étale の場合には成り立たず，slice LSC の comma 構成 \(D_X=X\times_\Xi{\preceq}\) を \(\hat T_X\) から復元することはできない． ## Setting と定義 \(\mathcal E\) を local state classifier \(\Xi=\operatorname{colim}(\mathcal E_{\mathrm{mono}}\hookrightarrow\mathcal E)\) を持つ topos（例えば任意の Grothendieck topos）とし，cocone を \(\xi_A:A\to\Xi\)，順序は [[e568dw]] と同じく「identity quotient \(\preceq\) terminal quotient」，\(\top=\xi_1\) とする．用いる基本事実は次の三つだけである． - (M) mono \(m:A\rightarrowtail B\) に対し \(\xi_B m=\xi_A\)（colimit の cocone 条件）． - (S) subterminal \(V\rightarrowtail1\) に対し \(\xi_V=\top\circ!\)（(M) を \(V\rightarrowtail1\) に適用）． - (E) epi \(e:X\twoheadrightarrow U\) に対し \(A^e:A^U\to A^X\) は mono（transpose が \(C\times e\) を通り，\(C\times e\) は epi の pullback なので epi）． **定義（pointed endofunctor が誘導する endomorphism）．** mono を保つ pointed endofunctor \((T,\eta)\) に対し，\(\hat T:\Xi\to\Xi\) を \[ \hat T\circ\xi_A=\xi_{TA}\circ\eta_A\qquad(\forall A) \] で定める．well-defined 性：mono \(m:A\rightarrowtail B\) に対し \(\xi_{TB}\eta_Bm=\xi_{TB}(Tm)\eta_A=\xi_{TA}\eta_A\)（\(Tm\) が mono なので (M)）．これは [[ztsnue]] の「mono 保存で十分」という Proposition の読みに一致する（別の読み方は末尾の Proposition B で扱う）．\(X\in\mathcal E\) に対し \(T=(-)^X\)，\(\eta^X_A:A\to A^X\)（projection \(A\times X\to A\) の transpose）とし，\(\hat T_X\) と書く．\((-)^X\) は right adjoint なので mono を保つ． ## Theorem A（\(\hat T_X\) は support だけで決まり，idempotent） \(U:=\operatorname{supp}X\rightarrowtail1\)（\(X\to1\) の image），\(e:X\twoheadrightarrow U\) とする． 1. \(\hat T_X=\hat T_U\)． 2. \(\hat T_U\) は idempotent：\(\hat T_U\hat T_U=\hat T_U\)． 3. \(X\to1\) が epi（\(U=1\)）なら \(\hat T_X=\mathrm{id}_\Xi\)． 4. \(\hat T_U\) は \(U\) 上では恒等，\(\neg U\) 上では定数 \(\top\)：\(\hat T_U\circ\pi_2=\pi_2:U\times\Xi\to\Xi\) かつ \(\hat T_U\circ\pi_2=\top\circ!:\neg U\times\Xi\to\Xi\)． **証明．** (1) \(\eta^X_A=A^e\circ\eta^U_A\) である（transpose を取ると \(\mathrm{ev}_U\circ(\eta^U_A\times U)\circ(A\times e)=\pi_1\circ(A\times e)=\pi_1\)）．(E) より \(A^e\) は mono なので (M) から \[ \hat T_X\xi_A=\xi_{A^X}A^e\eta^U_A=\xi_{A^U}\eta^U_A=\hat T_U\xi_A . \] (2) \(B:=A^U\) とおく．\(U\) が subterminal なので \(U\times U\cong U\)（射影はどちらも iso）であり，Yoneda で \(\eta^U_B:B\to B^U\) は \(A^{U}\to A^{U\times U}\)，\(f\mapsto((u,u')\mapsto f(u'))\) に対応し，これは iso \(\pi_2:U\times U\to U\) による \(A^{\pi_2}\) だから iso である．よって (M) より \[ \hat T_U\hat T_U\xi_A=\hat T_U\,\xi_{A^U}\eta^U_A=\xi_{(A^U)^U}\,\eta^U_{A^U}\,\eta^U_A=\xi_{A^U}\eta^U_A=\hat T_U\xi_A . \] (3) \(X\to1\) が epi なら各 \(\eta^X_A\) は mono：\(\eta^X_Aa=\eta^X_Aa'\)（\(a,a':C\to A\)）は \(a\pi_1=a'\pi_1:C\times X\to A\) と同値で，\(\pi_1:C\times X\to C\) は epi の pullback なので epi，従って \(a=a'\)．よって (M) から \(\hat T_X\xi_A=\xi_{A^X}\eta^X_A=\xi_A\)． (4) \(U\) 上：\(\mathcal E/U\) では \(U\) が terminal なので \(U\times A^U\cong U\times A\)（over \(U\)）で \(U\times\eta^U_A\) は iso，従って \(U\times\hat T_U\) は恒等になる（\(U\times\Xi\) が \(\mathcal E/U\) の LSC であることは [[e568dw]] の slice formula で \(D_U=U\times\Xi\)，あるいは直接 \(U\times-\) が colimit と mono を保つことから従う）．\(\neg U\) 上：\(C\to\neg U\) なら \(C\times U=0\) なので \(\operatorname{Hom}(C,A^U)=\operatorname{Hom}(C\times U,A)\) は一点，すなわち \(\neg U\times A^U\cong\neg U\)．射 \(\neg U\times A^U\to A^U\) は \(\neg U\rightarrowtail1\) の pullback なので mono で，(M) と (S) より \(\xi_{A^U}\) をそこへ制限したものは \(\xi_{\neg U}=\top\circ!\)．\(\square\) **注意．** (3) の逆は成り立たない．\(\Xi=1\) の topos（例：\(\mathbf{Set}\)）では \(X=0\) でも \(\hat T_0=\mathrm{id}\) である．また (4) は \(U\vee\neg U\neq1\) のとき \(\hat T_U\) を決定しない：presheaf topos では \(c\notin U\) だが \(U\) に入る \(d\to c\) がある object で，\(\hat T_U\) は local state（\(y_c\) 上の congruence）を「\(U\) 上に制限して一致するなら同一視する」closure に送る．これは open subtopos \(\mathcal E/U\) に対する Nivar の \(\lambda_{o(U)}\)（\(j_*j^*A=A^U\)，unit \(=\eta^U\)）に他ならない． ## Corollary（[[jmenm6]] の Goal に対する答え） \(G\) を群，\(H\le G\)，\(X=H\backslash G\)（あるいは \(G/H\)）とする．\(X\neq\emptyset\) なので \(X\to1\) は epi，Theorem A (3) より \(\hat T_X=\mathrm{id}_{\operatorname{Sub}(G)}\)．fixed points は \(\operatorname{Sub}(G)\) 全体で，「\(H\) の部分群」とは無関係である．一方 [[ybzxdp]] により \(\Xi_{G\text{-}\mathbf{Set}/X}\cong\{(x,K)\mid K\le G_x\}\) で，各 fiber は \(\operatorname{Sub}(G_x)\cong\operatorname{Sub}(H)\)．従って [[jmenm6]] の「\(\hat T_X\) は非 idempotent」という見立ては（この定義では）誤りであり，「fixed points を取ってから localize」の recipe は \(\hat T_X\) からは何も取り出せない． ## Proposition（slice LSC が \(X^*S\) の形になる条件） slice formula \(\Xi_{\mathcal E/X}\cong D_X=\{(x,u)\mid u\preceq\xi_X(x)\}\rightarrowtail X\times\Xi\)（[[e568dw]]）を仮定する．ある subobject \(S\rightarrowtail\Xi\) について \(D_X=X\times S\)（\(X\times\Xi\) の subobject として）となるのは，\(\xi_X\pi_1=\xi_X\pi_2:X\times X\to\Xi\)（\(X\) の state が internal に定数）のとき，かつそのときに限る． **証明（internal logic）．** \(\Rightarrow\)：\((x,\xi_X(x))\in D_X=X\times S\) より \(\xi_X(x)\in S\)，よって任意の \(x'\) で \(\xi_X(x)\preceq\xi_X(x')\)；対称性から等号．\(\Leftarrow\)：\(S:=\{u\mid\forall x.\ u\preceq\xi_X(x)\}\) とおけば，\(\xi_X\) が定数なので \((x,u)\in D_X\iff u\in S\)．\(\square\) **反例（\(G=S_3\)）．** \(H=\langle(12)\rangle\)，\(X=G/H\)（3 点，stabilizer は 3 つの位数 2 部分群）．[[ybzxdp]] より \(\Xi_{/X}\) は 6 元で，\(G\)-orbit は \(\{(x,1)\}\)，\(\{(x,G_x)\}\)（各 3 元）．\(\operatorname{Sub}(S_3)\) も 6 元だが orbit の大きさは \(1,3,1,1\) で，\(\Xi_{/X}\to\Xi\)（第 2 成分）は mono ではない．よって \(\Xi_{/X}\) は \(\Xi\) のどんな subobject の pullback でもなく，特に \(\hat T_X\) を含むいかなる endomorphism の fixed-point object からも得られない．slice LSC は \(\xi_X\) の値が動く分だけ「\(\Xi\) の外」の情報を持つ． ## Proposition B（もう一つの読み方：\(\hat T':=\xi_{T\Xi}\circ\eta_\Xi\)） Hora ノートの Proposition が \(\hat T'_X:=\xi_{\Xi^X}\circ\eta^X_\Xi\) を意図している場合も同様に \[ \hat T'_X=\hat T'_{\operatorname{supp}X},\qquad \hat T'_X=\xi_\Xi=\nu\ \ (X\to1\text{ epi}) \] である（証明は Theorem A (1),(3) と同じ：\(\Xi^e\) は mono，\(\eta^X_\Xi\) は mono）．ここで \(\nu\) は normalization operator（arXiv:2511.05012，[[n6v2sg]]）で，\(G\text{-}\mathbf{Set}\) では \(K\mapsto N_G(K)\)．これは一般に idempotent ではない（\(S_4\) で \(N(\langle(12)\rangle)=\langle(12),(34)\rangle\)，\(N(\langle(12),(34)\rangle)=D_4\)，\(N(D_4)=D_4\)）．しかしこの読みでは identity geometric morphism（\(X=1\)）でも \(\hat T'_1=\nu\neq\mathrm{id}\) となり，Nivar の \(\lambda_{\mathrm{id}}=\mathrm{id}\) と整合しない．いずれの読みでも「非 idempotent 性」は \(X\) の構造とは無関係で，\(\hat T_X\) は \(H\backslash G\) の情報を持たない． ## Status と次の一手 - 証明済み：Theorem A (1)–(4)，Corollary，Proposition（slice formula を仮定），\(S_3\) 反例（[[ybzxdp]] の定理のみ使用，無条件），Proposition B． - 未照合：Google Drive の手書きノート *relative local state classifier.pdf*（2026-08-01 upload）は OCR が読めず，本瓶の内容が既にそこにあるかは未確認．洞の目視確認が必要． - 次の一手：Theorem A (4) の「\(U\) と \(\neg U\) の間」の記述を，closed subtopos \(c(U)\) の LSC（\(j^*\Xi\) とは一般に異なる）と比較し，Nivar の \(\operatorname{Eq}(\mathrm{id},\lambda_{o(U)})\) の sheafification が \(U\times\Xi\) に一致すること（slice formula との整合）を独立に書き下す．さらに [[mhv4sn]] の étale branch として，一般の localic morphism に対する relative LSC が「embedding の fixed-point localization」と「étale の principal-ideal restriction \(\downarrow\xi_X\)」の合成で書けるかを問う．