スケッチ #326

normal stateはsubterminalの和 **Status.** ai-generated（2026-09-08 の自動研究 run）．証明は完結しているが人間未検証． ## Trigger [[n6v2sg]] は normalization operator \(\nu=\xi_\Xi\) を用いて「normal local states の対象」 \[ \operatorname{NorSub}(\mathcal E):=\operatorname{Eq}(\nu,\top)\rightarrowtail\Xi \] を定め，これが一般の topos で何を分類するかを問うていた．群作用 test case（\(\nu(H)=N_G(H)\)，\(\operatorname{Eq}(\nu,\top)=\{N\trianglelefteq G\}\)）は既に瓶にあり，一般化には「principal 性の内在的特徴づけ」が残っていた．本瓶はこの equalizer を，\(\nu\) を経由せずに **subterminal の言葉で** 内在的に同定し，presheaf topos では global section の完全な分類（congruence と étendue 商）を与える． ## Result 以下 \(\mathcal E\) は Grothendieck topos，\(\Xi\) はその local state classifier，\(\xi_X:X\to\Xi\) を cocone，\(\top:=\xi_1:1\to\Xi\)，\(\top_Y:=\top\circ !_Y\) とする．\(Y\) の subterminal な subobject 全体の union を \[ Y^{\mathrm{st}}:=\bigcup\{V\rightarrowtail Y\mid V\text{ is subterminal}\} \] と書く． **Lemma 1（state が \(\top\) な部分は subterminal の和）．** 任意の \(Y\) について \[ \operatorname{Eq}(\xi_Y,\top_Y)=Y^{\mathrm{st}}\quad\text{in }\operatorname{Sub}(Y). \] 特に \(\xi_Y=\top_Y\) と「\(Y\) が subterminal の union である」は同値． *Proof.* 一点 filter \(\{\top\}\rightarrowtail\Xi\) は internal filter（upward closed・meet 閉・\(\top\) を含む）なので，TAC 42-11 の分類定理により \[ \mathcal E_{\{\top\}}=\{X\mid \xi_X=\top_X\} \] は \(\mathcal E\) の hyperconnected quotient である．filter \(\mapsto\) quotient は包含を保つ単射対応だから，最小 filter \(\{\top\}\) は最小の hyperconnected quotient に対応する．一方 hyperconnected–localic 分解により，任意の hyperconnected quotient \(\mathcal E\to\mathcal F\) について \(\mathcal F_{\mathrm{loc}}\simeq\mathcal E_{\mathrm{loc}}=\mathbf{Sh}(\operatorname{Sub}_{\mathcal E}(1))\) なので，最小の hyperconnected quotient は localic reflection \(\mathcal E_{\mathrm{loc}}\) である．よって \[ \mathcal E_{\{\top\}}=\operatorname{im}\bigl(\mathcal E_{\mathrm{loc}}\hookrightarrow\mathcal E\bigr). \] この像は「subterminal の coproduct の quotient」＝「subterminal の union」からなる（\(\mathbf{Sh}(\operatorname{Sub}1)\) の対象は representable＝subterminal の coproduct の quotient であり，hyperconnected の inverse image の像は subobject と quotient で閉じる）．従って \(\xi_X=\top_X\iff X\) は subterminal の union． 最後に \(S:=\operatorname{Eq}(\xi_Y,\top_Y)\) とすると mono は state を保つので \(\xi_S=\xi_Y|_S=\top_S\)，よって \(S\) は subterminal の union で \(S\subseteq Y^{\mathrm{st}}\)．逆に \(Y^{\mathrm{st}}\) は subterminal の union なので \(\xi_{Y^{\mathrm{st}}}=\top\)，よって \(Y^{\mathrm{st}}\subseteq S\)．∎ **Theorem 2（NorSub の内在的同定）.** \(\nu=\xi_\Xi\) なので Lemma 1 を \(Y=\Xi\) に適用して \[ \boxed{\operatorname{NorSub}(\mathcal E)=\operatorname{Eq}(\nu,\top)=\Xi^{\mathrm{st}}} \] すなわち **normal local states とは，\(\Xi\) の中で subterminal な subobject に属する local states（＝局所的に partial global section に延びる local states）** である．同値な言い換え：generalized element \(u:X\to\Xi\) が \(\operatorname{NorSub}\) を経由する \(\iff\) \(u\) の image \(\langle u\rangle\subseteq\Xi\) が subterminal の union． **Corollary 3（Dedekind topos の内在的特徴づけ）.** 次は同値：(i) \(\nu=\top\)（[[zrcpbj]] の意味で Dedekind）；(ii) \(\Xi\) は subterminal の union；(iii) \(\Xi\to1\) は Kock–Moerdijk の意味の local monomorphism；(iv) \(\Xi\) は localic reflection \(\mathcal E_{\mathrm{loc}}\) の像に属する． ## Presheaf topos での完全な記述 \(\mathcal E=\mathbf{PSh}(\mathcal C)\)，\(\Xi(c)=\operatorname{Quot}(y(c))\)（Hor24a Ex. 3.22），\(f:d\to c\) に沿う restriction は image quotient \(f^*q\)． **Proposition 4.** \(q\in\Xi(c)\) について \(q\in\operatorname{NorSub}(c)\iff\) すべての parallel pair \(f,g:d\rightrightarrows c\) について \(f^*q=g^*q\)．さらに \(U_c:=\operatorname{supp}y(c)\)（\(c\) へ射を持つ対象からなる subterminal）とおくと，restriction \(\Xi(c)\to\Xi(d)\) の制限が単射を与え \[ \operatorname{NorSub}(c)\;\cong\;\mathcal E(U_c,\Xi)\;\cong\;\Gamma\bigl(\Xi_{\mathbf{PSh}(\mathcal C_{\downarrow c})}\bigr). \] ここで \(\mathcal C_{\downarrow c}\) は \(c\) へ射を持つ対象の full subcategory（\(\mathcal E/U_c\simeq\mathbf{PSh}(\mathcal C_{\downarrow c})\)）． *Proof.* \(\langle q\rangle\subseteq\Xi\) が subterminal \(\iff\) \(y(c)\to\Xi\) が \(y(c)\twoheadrightarrow U_c\) を経由する \(\iff\) parallel な \(f,g\) で \(q\cdot f=q\cdot g\)．\(U_c\to\Xi\) は \(c\) での値で決まる（\(U_c\) の各対象 \(d\) は \(c\) へ射を持つ）ので単射．∎ **Theorem 5（global section の分類）.** 次の3つの集合は自然に一対一対応する： 1. \(\Gamma(\Xi)=\mathcal E(1,\Xi)\)； 2. \(\mathcal C\) 上の congruence \(\equiv\)（合成と両側両立な平行射の同値関係）で，商圏 \(\mathcal C/\!\equiv\) の**すべての射が monomorphism** であるもの（「left-cancellative congruence」）； 3. \(\mathbf{PSh}(\mathcal C)\) の essential hyperconnected quotient \(\mathbf{PSh}(\mathcal C/\!\equiv)\) のうち **étendue** であるもの． *Proof.* (1)⇔(2)：global section は family \(q_c\in\operatorname{Quot}(y(c))\) で \(k^*q_{c'}=q_c\)（\(\forall k:c\to c'\)）を満たすもの．\(f\equiv g:\iff f\sim_{q_c}g\) と定めると，\(q_c\) が \(y(c)\) の quotient であることが右両立性，\(k^*q_{c'}=q_c\) が「\(kf\equiv kg\iff f\equiv g\)」であり，\(\Leftarrow\) が左両立性（congruence），\(\Rightarrow\) が \([k]\) の mono 性．逆も同様で，このとき \(q_c=(y(c)\twoheadrightarrow P^*y_{\mathcal C/\equiv}(Pc))\)（\(P\) は full なので像は全体）． (2)⇔(3)：essential hyperconnected quotient と congruence の対応（洞の既知定理，[[kg9sny]]/[[grf766]]，2023-06 手書きノート）により \(\mathcal E_{\uparrow s}=\{X\mid xf=xg\ (f\equiv g)\}=P^*\mathbf{PSh}(\mathcal C/\!\equiv)\)．\(\mathbf{PSh}(\mathcal D)\) が étendue \(\iff\) \(\mathcal D\) の射がすべて mono（Rosenthal, *Étendues and categories with monic maps*, JPAA 22 (1981)）．∎ **Remark 6（principal filter・bottom との整合）.** global section \(s\) に対応する principal internal filter \(\uparrow s\) の quotient \(\mathcal E_{\uparrow s}\) の LSC は arXiv:2511.05012 Thm 3.1 により \(\uparrow s\) 自身であり，\(s\) を global bottom に持つ．presheaf の場合はこれが Theorem 5 の「étendue」と一致し，[[j9bcyf]] の予想「étendue ⟺ \(\Xi\) が global bottom を持つ」を presheaf topos で裏づける（\(\bot=(\text{identity quotients})\) が global section \(\iff\) \(\mathcal C\) の射がすべて mono \(\iff\) étendue）． **Example 7（monoid）.** \(M\)-Set では \(y(*)=M\) が well-supported なので \[ \operatorname{NorSub}(*)=\Gamma(\Xi)=\{\text{two-sided congruence }R\text{ on }M\mid M/R\text{ is left-cancellative}\}. \] 群なら normal subgroups（既知），\(\mathbb N\) なら \(\{=\}\cup\{\equiv_N\}_{N\ge1}\)（Hora–Kamio の \((\nu,N)\) 分類のうち \(\nu=0\) のもの，すなわち \(\mathbb Z/N\)-Set への商），\(\Sigma\)-Set なら「商 monoid が left-cancellative な word-congruence」． ## 検証 - 群作用（normal subgroups），\(\mathbb N\)-Set，graph topos \(\mathbf{PSh}(V\rightrightarrows E)\)（\(\Xi\) が2つの subterminal の union なので \(\operatorname{NorSub}=\Xi\)，Hora の Example 4.3 と整合）で確認． - 新規性照合：arXiv:2511.05012（本文全文，Drive 上の PDF）には equalizer \(\operatorname{Eq}(\nu,\top)\)・global section・subterminal に関する記述なし．Notion「数学活動」の *Normalizer operators in a topos*・*Dedekind topos書いたっていい* は空ページ．Drive の手書きノート（`fullText` 検索: normal/local state classifier）にも該当なし． ## 未解決・次の一手 - 一般の Grothendieck topos で Theorem 5 の (1)⇔(3) を証明すること（「\(\Gamma(\Xi)\) ⟷ étendue な hyperconnected quotient」）．\(\Rightarrow\) は Thm 3.1（\(\Xi_{\mathcal E_{\uparrow s}}=\uparrow s\)）＋[[j9bcyf]] の bottom criterion に帰着する． - \(\operatorname{Eq}(\nu,\mathrm{id})\)（self-normalizing states）についても同様の内在的記述があるか．