toposの点とlocal semigroup

## Trigger Notion「研究テーマ」DBの `Topoi of automata I` ページ（arXiv:2411.06358 の作業メモ）に残っていたメモから瓶化した。原文は「点を考えると"local theory of semigroup"になる」。 既存の [[rjcp4h]] は「regular languages の topos の点をすべて記述せよ。より概念的には、この topos が分類する theory は何か」と問うており、このメモはその後半への答えの候補にあたる。既存瓶への材料追記ではなく独立した問いとして立てるのは洞の判断による。 ## Idea automata / regular languages の topos の点を、点の集合としてではなく、それが分類する geometric theory の側から見る。原メモの見立ては、その theory が semigroup の「local」な理論になるというものである。 ただし、ここでの local が何を指すかは原メモだけからは確定できない。候補は少なくとも次の三つある。 1. idempotent の周りの local subsemigroup \(eSe\) の理論（有限半群論の local divisor の意味） 2. \(\Sigma\text{-}\mathbf{Set}\) の各点における stalk が与える semigroup の理論 3. local variety of languages に対応する theory（[[r8c6wy]] の局所版の対応） 問うのは次の2点である。 - automata の topos の点の圏が、ある geometric theory のモデルの圏として書けるか。 - その theory が上のどの意味で semigroup theory の局所版として同定できるか。 \(\Sigma\text{-}\mathbf{Set}\) の点については、canonical point と、finite edit distance を除いた infinite words に対応する noncanonical points があることが既に分かっている（[[rjcp4h]] [[v6m2qz]]）。この記述と「local theory of semigroup」という見立てをどう繋ぐかが具体的な足がかりになる。 ## Goal automata の topos が分類する geometric theory を書き下し、それが local semigroup theory と一致するかを判定する。一致するなら、[[rjcp4h]] の「点をすべて記述せよ」に対して概念的な答えが与えられる。 ## Personal context [[rjcp4h]] の後半（この topos は何を分類するか）は dormant のまま残っていた。[[h6q9vx]] の program では syntactic monoid と hyperconnected quotient の対応が中心だが、同じ対応を点の側から見る筋がこれにあたる。