Marked return-code cohomology

## Trigger $A_5$ の generalized star height に cohomology を使う案を検討したが、abstract group cohomology $H^n(A_5,M)$ だけでは弱すぎることが分かった。同じ abstract group $A_5$ でも、height $1$ が構成できる generating systems と未解決の marked systems が共存するためである。 ## Idea marked surjection \[ \pi:A^*\twoheadrightarrow A_5 \] と、局所的な star-free return codes / counters の atlas に付随する相対 cohomology を構成する。局所 code 間の overlap で生じる不整合を cocycle として記録し、それが消えることを global star-free observer $K$ の gluing に対応させたい。 望ましい obstruction class $\omega(\pi)$ は次を満たすべきである。 - $\pi$ がある $\eta_{K^*}$ を通じて marked factorization すれば $\omega(\pi)=0$。 - local return codes が存在しても global observer に glue できない場合、その mismatch を検出する。 - $(2,3,5)$ 型で現れる相互依存 counters \[ E\bmod 3,\qquad G\bmod 2 \] の循環参照を noncommutative / twisted cocycle として捉える。 - generating set と action を忘れず、marked morphisms に関して functorial である。 候補となる舞台は Cayley graph / action groupoid の cohomology、return-code cover の Čech 型 cohomology、または flat-star prevarietyに対応する profinite quotient上の相対 cohomology である。[[w9v6hw]] で現れる graph closure \[ R_\pi\longrightarrow P_{\mathcal B}(A) \] を係数系の入口にする案もある。 ## Goal height $1$ の既知構成すべてに対する vanishing theorem と、hard $A_5$ instance に対する nonvanishing computationを組み合わせ、単一-observerの非存在を証明する。 ## Status これは search coordinate であり、cochain complex、係数系、cocycle、vanishing theoremのいずれもまだ定義されていない。ordinary $H^n(A_5,M)$ の計算だけを下界とはみなさない。