因子化系を持つtotal categoryのLSC

## Trigger HPの準備中論文リスト（公開）にある *Demystifying local state classifiers: local state classifier in a total category with a factorization system (with Yuto Ikeda)* から瓶化する研究方向。正確な着想日は不明で、`created` は瓶化日。 ## Idea local state classifierの構成を、トポスを離れて「factorization systemを持つtotal category」の一般性で与える、Yuto Ikedaとの共著研究。タイトルが示す軸は、LSCの存在と構成をどの圏論的仮定が本当に支えているかの解明（demystify）。 公開タイトルから読める範囲を超える研究内容（結果・手法）は、共著クリアランス前のためこの瓶には記載しない。 ## Goal LSCの存在定理を（epi, mono）型のfactorization systemの言葉で再構成し、Grothendieck topos・locally presentable category（[[g9zbw4]]）を特例として含む一般論を得る。 ## Personal context 論文レジストリでは `demystifying-lsc`・coauthored・baseline_candidate。関連する自分側の一般化の瓶として [[g9zbw4]]（presentable categoriesでのLSC存在）と [[mhv4sn]]（relative LSC program）があり、この共著はそれらの「仮定の最小化」側を担う。 ## Provenance - 出典: ryuyahora-HP `data/source/site-data.json` papers.preparation（公開リスト） - registry: hora-priority-papers `registry.yaml` slug `demystifying-lsc` ## 先行研究の位置づけ（2026-08-08 調査） ItaCa Fest の題材検討の副産物として、この方向の先行研究を調べた（claudeとの会話より）。以下は外部の公刊文献についての整理であり、共著の結果・手法には触れない。 ### 押さえるべき先行研究 Berger–Kaufmann, *Comprehensive factorisation systems* ([arXiv:1710.09438](https://arxiv.org/abs/1710.09438)) が、consistent comprehension scheme と complete orthogonal factorisation system の対応を確立している。comprehension scheme \(P\) は各対象 \(A\) に圏 \(PA\) を与え、右クラスが \(\mathrm{Cov}_B \simeq P B\) で分類される。Street–Walters の comprehensive factorization がその実例。**「OFS の右クラスを分類する対象」の一般論はここに既にある。** 同型の先行研究として、Lurie の bounded local class、Gepner–Kock の univalent family、Vergura *Localization theory in an ∞-topos* ([arXiv:1907.03836](https://arxiv.org/abs/1907.03836)) の "L-local maps admit a classifying map" がある。 **ただしこれらは全て \(\mathrm{Hom}(X,Q) \simeq M(X)\) 型の representability（limit型）classifier である。** \(\Xi\) は colimit 型なので、この枠組みには入らない。Menni ([arXiv:2505.07131](https://arxiv.org/abs/2505.07131)) が reflexive graphs で \(\Xi\) を limit として書けると示したのが、両者を橋渡しする唯一の既存結果。 ### Cassidy–Hébert–Kelly が gap を名指しして避けている Cassidy–Hébert–Kelly, *Reflective subcategories, localizations and factorization systems*, J. Austral. Math. Soc. **38** (1985) 287–329 の Introduction に次の一節がある。 > The connexion with the classical results on localization—which we do not pursue below—is as follows. ... a subobject-classifier enables us to describe E′ by something quite small and easy to handle; and this is the topology of the appropriate kind. 「subobject classifier があると factorization system の一方の側が小さい内部データで書ける」という現象を認識したうえで、**追求しないと明言している**。CHK 本文に `internal` は0箇所で、パラメトライズは complete lattice という外部的なものだけ。40年前に名指しで置かれた宿題、という位置づけができる。 ### 注意: 素朴な一般化は偽 Kamio–Hora ([arXiv:2407.17105](https://arxiv.org/abs/2407.17105), Adv. Math.) が connected surjection 側の quotient は proper class 個ありうると示しているので、「任意の 2-categorical OFS に internal parameterization がある」は成立しない。どの仮定が本当に効いているかを切り出すのが正しい問い立てになる。 ### 分野の空き具合（定量） - `"local state classifier"` の完全一致は arXiv metadata・OpenAlex ともに **3論文のみ**（Hora 2本 ＋ Menni 1本） - nLab に LSC の独立ページはない（large cocompleteness に1行の言及のみ） - arXiv `abs:"factorization system" AND abs:"classifying object"` は **0件** 調査の詳細（enriched 方向の見立てを含む）は事務repo の `LSC_OFS_先行研究調査_2026-08-08.local.md` に置いた。