Quotient topoi of {a,b}*

## Trigger 公式 Problems 2.0.2 と旧HP Problems（2026-04-27版）にある問いを、issue #43 の下書き11/Nから移した。1文字 alphabet と可算無限 alphabet では quotient topoi の大きさが異なるため、未決着の最小の場合は2文字 alphabet である。 ## Idea 2文字 alphabet \(\Sigma=\{a,b\}\) に対し、free monoid \(\Sigma^*\) の作用の topos \[ \mathbf{PSh}(\Sigma^*) \] は set-many の quotient topoi だけを持つか、それとも proper class many を持つか？ より一般に有限 \(|\Sigma|\ge 2\) での個数・順序構造を求めたいが、\(|\Sigma|=2\) を解けば「1生成」と「有限多生成」の境界をまず確定できる。 ## Known partial structure \(|\Sigma|=1\) では \(\Sigma^*\cong\mathbb N\) であり、Hora–Kamio は \(\mathbf{PSh}(\mathbb N)\) の全 quotient topoi を \(\mathbb N\times\mathbb N^{\mathrm{div}}\) の ideals で分類した。これは可算 poset の部分集合族なので set-sized であり、実際には continuum many になる。 一方、Kamio–Hora は可算無限生成 free monoid \(M_\omega\) に対し、\(\mathbf{PSh}(M_\omega)\) が proper class many quotient topoi を持つことを示した。その証明では、countable relational language を表す countable encoding monoid \(N_{\mathcal L}\) を作り、全射 \(M_\omega\twoheadrightarrow N_{\mathcal L}\) を用いる。2生成の場合へ進むには、この encoding を有限生成化するか、全射でない lax epimorphism など connected morphism を与える別の仕組みを見つける必要がある。 また、任意の空でない有限 \(\Sigma\) には全射 \(\Sigma^*\twoheadrightarrow\mathbb N\) があるので、\(\mathbf{PSh}(\mathbb N)\) は \(\mathbf{PSh}(\Sigma^*)\) の quotient になる。したがって既知の分類から、有限非空の場合にも少なくとも continuum many の quotient topoi がある。 **中心の問いは解決した（2026年、Yuhi Kamio）。** Kamio の未公開ノート（hora-tex `papers/quotient-topoi-note/`）は、\(\mathbf{PSh}(M_2)\) が **proper class many** の quotient topoi を持つことを証明した。骨子: monoid 準同型 \(\Phi\colon M_\omega\to M_2\) の precomposition \(\Phi^*\) が limit/colimit を保つため topos-rigid objects を引き戻せることに着目し、可算個の endomorphism を2生成の語で表す Sierpiński の定理（\(g^2 f^{i+1} g f = \varphi_i\)）で encoding を有限生成化する。英語での exposition は private preprint `pre-h94ssa` にあり、そこでは \(|\Sigma|\ge 2\) の任意の有限 alphabet への拡張も与えられている。功績は Kamio に帰属する（この瓶の記録の責任は洞）。 ## Goal set/proper-class の二分は確定した（\(|\Sigma|=1\) で continuum many、\(|\Sigma|\ge 2\) で proper class many）。残る目標は次の2つ。quotient たちの順序構造・支配する不変量を記述すること。そして全 quotients と hyperconnected quotients の振る舞いを比較し、finite alphabet の automata-theoretic 構造が境界をどう制御するか説明すること。 ## Personal context Lawvere 第1問題の解決と、\(\Sigma\)-actions を研究する Topoi of automata 系列の直接の接点である。1生成の完全分類と可算無限生成の proper-class 現象の間に残った、最初の具体的なケースでもある。 ## References - [Ryuya Hora and Yuhi Kamio, *Quotient toposes of discrete dynamical systems* (arXiv:2310.02647)](https://arxiv.org/abs/2310.02647) - [Yuhi Kamio and Ryuya Hora, *Solution to Lawvere's first problem: a Grothendieck topos that has proper class many quotient topoi* (arXiv:2407.17105)](https://arxiv.org/abs/2407.17105) - [Ryuya Hora, *Topoi of automata I: Four topoi of automata and regular languages* (arXiv:2411.06358)](https://arxiv.org/abs/2411.06358) - [Ryuya Hora, Problems](https://sites.google.com/view/ryuya-hora/problems)