canonical pointとprofinite word
## Trigger
automata の Galois-theoretic 類比を考える中で，Topoi of Automata I に現れる canonical point
\[
p:\mathbf{Set}\to \mathbf{Cont}(\widehat{\Sigma^*})
\]
が，どのモデルの自己写像を見ているのかを問うた．
## Idea
canonical point の inverse image は underlying-set functor であり，有限対象に制限すると
\[
U_\Sigma:\Sigma\text{-}\mathbf{FinSet}\to\mathbf{FinSet},\qquad (Q,\delta)\mapsto Q
\]
となる．したがって対応するモデルは，一つの finite automaton ではなく，**全ての finite \(\Sigma\)-automata の状態集合を同時に保持する fiber functor** である．
その自己自然変換
\[
\alpha:U_\Sigma\Rightarrow U_\Sigma
\]
は，各有限 automaton \(Q\) に写像 \(\alpha_Q:Q\to Q\) を与え，任意の automaton morphism \(f:Q\to R\) と可換する「全有限オートマトン上で一様な状態変換」である．有限語 \(w\in\Sigma^*\) は
\[
q\mapsto q\cdot w
\]
を与え，有限観測に関して完備化すると任意の profinite word \(u\in\widehat{\Sigma^*}\) が同様の自然変換を与える．逆に全ての自己自然変換は一意な profinite word から生じるため，右作用の規約では
\[
\operatorname{Nat}(U_\Sigma,U_\Sigma)\cong \widehat{\Sigma^*}^{\mathrm{op}},
\qquad
\widehat{\Sigma^*}\cong \operatorname{End}(p)^{\mathrm{op}}.
\]
pro-object として canonical point を表現する普遍モデルは regular profinite action
\[
P_\Sigma=\widehat{\Sigma^*}
\]
であり，有限連続右作用 \(Q\) に対して
\[
Q\cong \operatorname{Hom}^{\mathrm{cont}}_{\widehat{\Sigma^*}}(\widehat{\Sigma^*},Q),
\qquad q\leftrightarrow(u\mapsto q\cdot u).
\]
従って profinite word とは，「無限に長い語」というより，**全ての有限オートマトン上の互いに整合的な状態変換の族**そのものである．
Galois 類比は
\[
G_K\cong\operatorname{Aut}(\omega_K)
\quad\leftrightarrow\quad
\widehat{\Sigma^*}\cong\operatorname{End}(U_\Sigma)^{\mathrm{op}}
\]
である．Galois category では全ての対称性が可逆なので group，automata では語を読む操作が一般に不可逆なので monoid が復元される．
## Goal
Topoi of Automata I/II における canonical point，profinite monoid，regular languages の関係を，semi-Galois reconstruction として明示する．特に canonical Boolean algebra への作用が language quotient
\[
L\mapsto u^{-1}L
\]
を与えることまで一つの物語として整理する．
## Personal context
ACF\(_0\) の Booleanization と \(G_{\mathbb Q}\) の関係において，分離閉包に対応する fiber functor の自己同型群が Galois group を復元するのと平行である．automata 側では「自己同型」を「自己準同型」に置き換えた semi-Galois 理論になる．