Higher Topos of Dynamical Systems

## Trigger Sudaさんと話していた「洞の discrete dynamical systems / quotient topos / local state classifier の話を、topological な topos や smooth/topological semantics 側へ発展させる」方向の続きとして、ACT2026 の Yorgo Chamoun の発表 *Combinatorial manifolds and Kleene's theorem, homotopically* がかなり近い参照になる。 Chamoun の論文は、relational presheaves 上で「各点の近傍で局所条件を満たす combinatorial objects」を combinatorial manifolds として捉え、それらを coreflective subcategory として構成する。さらに unique factorization systems / model structures を使い、cofibrant objects がちょうどその combinatorial manifolds になるようにする。 ## Idea 仮タイトルは **Higher Topos of Dynamical Systems**。 洞の既存の「discrete dynamical systems の topos」や LSC の話を、単なる $Set^{\mathbb{N}^{op}}$ の quotient 計算から、より高次・局所・幾何的な dynamics の topos へ拡張する。 Chamoun の枠組みでは、precubical sets や relational automata が relational presheaves として扱われ、局所的に euclidean/grid-like な対象を cofibrant objects として抽出する。これを参考に、dynamical systems の「よい局所モデル」を生成 cofibration / unique lifting property / cofibrant replacement として定式化できないかを考える。 特に、以下の方向がありそう。 1. discrete dynamical systems の quotient topos を、higher-dimensional automata / precubical dynamics / directed topology の topos へ持ち上げる。 2. LSC を「状態の分類器」から「局所的な状態近傍・観測近傍・軌道近傍の分類器」へ拡張する。 3. smooth sets, light condensed sets, Johnstone's topological topos などで、local quotient / local state / local transition の sheaf 的分類を考える。 4. Chamoun の blowup / cofibrant replacement を、dynamical system の singularity resolution, local unfolding, observation refinement として読む。 5. automata における Kleene theorem の homotopical proof を、regular language ではなく「higher dynamical behavior の合成性」の定理へ拡張する。 ## Goal 目標は、dynamical systems を単なる global transition system としてではなく、局所モデルを貼り合わせる higher/combinatorial/topological object として捉えること。 うまくいけば、以下が見えるかもしれない。 - quotient topos of dynamical systems の higher-dimensional version - LSC の topological / smooth / directed / automata-theoretic version - automata theory, directed topology, concurrency, topos theory の橋渡し - 「観測の総体としての topos」と「局所的な遷移構造としての dynamics」の接続 - Sudaさんとの categorical/topos-theoretic interpretation の発展形 ## Personal context 洞の既存研究では、$Set^{\mathbb{N}^{op}}$ を discrete dynamical systems の topos として見て、その quotient toposes を分類していた。また、hyperconnected quotients を分類する道具として local state classifier を導入していた。 今回の発展では、対象を $Set^{\mathbb{N}^{op}}$ から relational presheaves / precubical sets / higher-dimensional automata / smooth or topological toposes へ拡張し、LSC を「global quotient の分類器」から「local dynamical model の分類器」へ拡張することを狙う。 Chamoun の ACT2026 論文は、局所条件を満たす combinatorial objects を coreflective subcategory / cofibrant replacement として取り出す一般機構を与えており、この方向の参考文献として重要。