étale groupoidのLSC

## Trigger [[j4zrsg]]（\(\Xi\) は商の前層の canonical 層化，\(\mathcal E(X,\Xi)\cong\mathbf{LEq}(X)\)）の「未解決・次の一手」の筆頭は，étendue \(\mathcal E\) の bound \(B\)（\(\mathcal E/B\simeq\mathbf{Sh}(X)\)）に沿って \(\Xi\) を \(X\) 上の層として見たとき，Rosenthal／Kock–Moerdijk の local equivalence relation の層 \(\mathcal E_X\) や Kock–Moerdijk の \(r\) とどう関係するか（予想：\(r\) は bottom \(\bot\) に対応する）であった．2026-09-07 の scheduled run（Claude）でこれを étale groupoid の言葉で完全に計算した．結論は次の定理である： > **étendue \(\mathbf{Sh}(G)\)（\(G\) は étale groupoid）の local state classifier は，\(G\) の open wide subgroupoid の germ の層（Brown–İçen の *local subgroupoid* の層の open 版）であり，\(G\) は共役で作用する．canonical map \(\xi_F\) は「局所切断の stabilizer subgroupoid の germ」，bottom \(\bot\) は「単位射だけの subgroupoid の germ」である．** これは [[ybzxdp]]（離散 groupoid：\(\Xi_{/X}=\{(x,H)\mid H\le G_x\}\)）を位相的 étale groupoid へ拡張し，[[j9bcyf]]（étendue ⟺ \(\bot\) が存在）の \(\bot\) を具体化し，[[nm7d22]]（\(\Xi\) は isotropy の opens か）に étale の場合の精密な答（各点で isotropy 部分群への写像 \(\rho_x\) は全射だが単射ではない）を与える．また Brown–İçen（arXiv:math/9808112, Remark 3.15）の問い「local subgroupoid はどんな topos を定めるか」に，open・étale・\(G\)-不変の場合の部分的な答（\(\Xi\) の \(G\)-不変な global section ＝ principal filter ＝ ある hyperconnected quotient）を与える． 🟥 j4zrsg の予想「\(r\) は \(\bot\) に対応」は，**bound の底空間の上では形として立たない**（以下は academia.edu 上の Kock–Moerdijk (JPAA 82, 1992) の本文からの読み取りと，それに基づく本瓶の推論）．主定理 7.1 は「任意の étendue \(\mathfrak F\) に対し locale \(M\) と locally simply connected な local equivalence relation \(r\) on \(M\) があって \(\mathbf{sh}(M,r)\simeq\mathfrak F\)」．証明は，\(\mathfrak F\) の **internal** な locale \(X_{\mathfrak F}\)（内部的に contractible かつ locally contractible）を取り，\(\mathfrak F[X_{\mathfrak F}]\) が外部的に localic であることから外部の locale \(M\) と **connected かつ locally connected** な \(a:\mathbf{sh}(M)\to\mathfrak F\) を得て，\(r=\mathrm{Lker}(a)\) を「\(\mathfrak F/a_!(U)\) が localic となる開集合 \(U\subseteq M\)」ごとの chart \(R_U=\ker(U\to a_!U)\) から貼り合わせる．\(a\) は connected なので étale ではなく（bound \(B\) に対する \(\mathfrak F/B\to\mathfrak F\) は自明な場合を除き connected でない），\(M\) は bound の底空間 \(X\) ではない．一方 chart の \(a_!(U)\) は \(\mathfrak F\) の bound なので，bound は局所的には関与する．正しい比較は \(a^{*}\Xi\) と \(\ker(U\to a_!U)\) の間で行うべきで，これは未解決（末尾）．bound 側で言えることは下の系 4 のとおり：\(\bot\mapsto\) 等号の germ，\(\top\mapsto\) \(G\) の orbit relation の germ． ## Setting \(G=(G_1\rightrightarrows X)\) を étale groupoid（\(s,t:G_1\to X\) が局所同相）とし，\(\mathcal E=\mathbf{Sh}(G)=BG\) を \(G\)-sheaf（étale な \(p:F\to X\) と連続な作用 \(G_1\times_{s,X,p}F\to F\)）のトポスとする．\(\pi:\mathbf{Sh}(X)\to BG\) を標準の geometric morphism（\(\pi^{*}\)＝忘却，\(\pi_!(F_0)=G_1\times_{s,X}F_0\)，射影は \(t\circ\mathrm{pr}_1\)，左合成で作用）とし，開集合 \(U\subseteq X\) に対し \[ P_U:=\pi_!(U)=s^{-1}(U)\subseteq G_1\quad(\text{射影 }t,\ \text{左合成で作用}) \] とおく．\(\mathcal E(P_U,F)\cong\Gamma(U,\pi^{*}F)=F(U)\)（\(\pi_!\dashv\pi^{*}\)）．\(B:=P_X=G_1\) は bound で \(\mathcal E/B\simeq\mathbf{Sh}(X)\)．\(\{P_U\}_U\) は生成族である（\(\pi_!\pi^{*}F\to F\) は epi）． \(G|_U:=\{g\in G_1\mid s(g),t(g)\in U\}\)．**open wide subgroupoid** とは，\(G|_U\) の開部分集合 \(S\) で，すべての単位射 \(1_u\)（\(u\in U\)）を含み，逆と合成で閉じたもの．\(\mathbf{OWSub}(G|_U)\) をその全体とすると，\(V\subseteq U\) に対し \(S\mapsto S\cap G|_V\) で \(\mathcal O(X)\) 上の前層 \(L_G\) になる．これは Brown–İçen（*Lie local subgroupoids and their holonomy and monodromy Lie groupoids*, Def. 1.1：\(U\mapsto\) wide subgroupoids of \(G|_U\) の associated sheaf の global section を local subgroupoid と呼ぶ）の前層の open 版である． 記法は [[j4zrsg]] に従う：\(Q(T)=\) \(T\) 上の internal equivalence relation の集合，\(\theta_T(R)=\xi_{T/R}\circ q\in\mathcal E(T,\Xi)\)，\(\mathcal E(T,\Xi)\cong Q^{++}(T)\)（canonical topology），\(\xi_T\circ x=[\ker x]\)． ## Lemma 1（\(P_U\) の商＝open wide subgroupoid） **補題 1．** 全単射 \[ \mathbf{OWSub}(G|_U)\;\xrightarrow{\ \cong\ }\;Q(P_U),\qquad S\longmapsto R_S:=\{(g,g')\in P_U\times_XP_U\mid g'^{-1}g\in S\} \] があり，逆は \(R\mapsto S_R:=\{g'^{-1}g\mid(g,g')\in R\}\)．\(V\subseteq U\) の制限と両立する（\(R_{S\cap G|_V}=R_S\cap(P_V\times_XP_V)\)）． *証明.* \(BG\) の積は \(X\) 上の fibre product，\(P_U\times_XP_U=\{(g,g')\mid s g,s g'\in U,\ t g=t g'\}\)．その部分対象は \(G\)-不変な開部分集合．\(R_S\) は連続写像 \((g,g')\mapsto g'^{-1}g\) による \(S\) の逆像なので開，\((kg)'^{-1}(kg)=g'^{-1}g\) より \(G\)-不変．逆に \(G\)-不変な \(R\) について，\(h\in S_R\iff(h,1_{t h})\in R\)（\((g,g')\in R\) なら \(g'^{-1}\) を作用させて \((g'^{-1}g,1_{s g'})\in R\)）なので \(S_R\) は連続写像 \(h\mapsto(h,1_{t h})\) による \(R\) の逆像で開．\(\Psi\Phi=\mathrm{id}\)，\(\Phi\Psi=\mathrm{id}\) は同じ式から直ちに従う（\(h\in S\) に対し \((h,1_{th})\in P_U\times_XP_U\) は \(s(h),t(h)\in U\) による）． 同値関係の条件：反射律 \(\iff\) \(1_{s g}\in S\)（\(\forall g\in P_U\)）\(\iff S\) は wide．対称律 \(\iff S=S^{-1}\)．推移律：\((g,g'),(g',g'')\in R\Rightarrow(g,g'')\in R\) は \(h=g'^{-1}g,\ h'=g''^{-1}g'\in S\Rightarrow h'h\in S\) と同値で，\(G|_U\) の任意の合成可能対 \((h',h)\) は \(g=h,\ g'=1_{t h},\ g''=h'^{-1}\) から得られる．制限との両立は定義から明らか．∎ ## Theorem A（étendue の LSC は open wide subgroupoid の germ の層） **定理 A．** \(\mathcal E=BG\) の local state classifier \(\Xi\) について： 1. **（底層）** \(X\) 上の層として \[ \boxed{\;\pi^{*}\Xi\;\cong\;a(L_G)\;}\qquad\bigl(a=\mathcal O(X)\text{ 上の層化}\bigr), \] すなわち \(\Xi\) の étale space の \(x\) 上の fibre は，\(x\) の近傍 \(U\) 上の open wide subgroupoid \(S\subseteq G|_U\) の \(x\) における germ \([S]_x\) の全体．開集合 \(U\) 上の切断 \(\theta_U(S):=\theta_{P_U}(R_S)\in\mathcal E(P_U,\Xi)\) が \(L_G\to\pi^{*}\Xi\) を与え，これが層化の unit である． 2. **（作用）** \(g:x\to y\) と，\(g\) を通る局所 bisection \(\beta:U'\to G_1\)（\(s\beta=\mathrm{id}\)，\(t\beta:U'\cong U''\) 開埋め込み，\(\beta(x)=g\)）に対し \[ g\cdot[S]_x=[\beta S\beta^{-1}]_y,\qquad \beta S\beta^{-1}:=\{\beta(t h)\,h\,\beta(s h)^{-1}\mid h\in S\cap G|_{U'}\}\in\mathbf{OWSub}(G|_{U''}). \] 3. **（canonical map）** \(G\)-sheaf \(F\) と \(f\in F_x\) に対し，\(f=\sigma(x)\) となる局所切断 \(\sigma\in F(U)\) を取ると \[ \boxed{\;\xi_F(f)=[\operatorname{Stab}(\sigma)]_x,\qquad \operatorname{Stab}(\sigma):=\{h\in G|_U\mid h\cdot\sigma(s h)=\sigma(t h)\}\;} \] （\(\sigma\) の stabilizer subgroupoid の germ）． 4. **（順序・meet・bottom・top）** \([S]_x\preceq[S']_x\iff\) ある近傍で \(S\subseteq S'\)；\([S]\wedge[S']=[S\cap S']\)；\(\bot_x=[\{1_u\}_{u}]_x\)（単位射だけ，\(G\) が étale なので \(X\subseteq G_1\) は開），\(\top_x=[G|_U]_x\)．\(\bot\) は \(G\)-不変な global section で，\(\bot=\xi_B\)（\(B=G_1\)）を descent したものに一致する． ### 証明 **(1)** \(\pi^{*}\Xi(U)=\mathcal E(P_U,\Xi)\)．\(\theta_U:L_G(U)\to\mathcal E(P_U,\Xi)\) は補題 1 と [[j4zrsg]] の \(\theta\) の自然性から前層の射．\(\pi^{*}\Xi\) は \(X\) 上の層（étale space）なので，[[j4zrsg]] の一般補題により，\(\theta\) が開被覆に関して locally injective かつ locally surjective なら \(a(L_G)\cong\pi^{*}\Xi\)． *準備：生成子からの射は局所的に同型．* 射 \(P_V\to P_U\) は \(\Gamma(V,\pi^{*}P_U)\) の元，すなわち連続 \(\sigma:V\to G_1\)，\(t\sigma=\mathrm{id}_V\)，\(s\sigma(V)\subseteq U\) に対応し，\(\varphi_\sigma(h)=h\cdot\sigma(s h)\)．\(\sigma\) は局所同相 \(t\) の切断なので開像をもつ局所同相，よって \(s\sigma:V\to X\) は局所同相で \(W:=s\sigma(V)\subseteq U\) は開．\(v\in V\) の近傍 \(V'\) で \(s\sigma|_{V'}\) が単射なら，\(\varphi_{\sigma|V'}:P_{V'}\to P_{W'}\)（\(W'=s\sigma(V')\)）は \(\mathcal E\) の同型である：全射（\(g\in s^{-1}W'\) に対し \(s g=s\sigma(v')\) なる唯一の \(v'\in V'\) を取り \(h=g\,\sigma(v')^{-1}\)），単射（\(\varphi_\sigma(h)=\varphi_\sigma(h')\Rightarrow s\sigma(s h)=s\sigma(s h')\Rightarrow s h=s h'\Rightarrow h=h'\)），逆写像 \(g\mapsto g\,\sigma\bigl((s\sigma|_{V'})^{-1}(s g)\bigr)^{-1}\) は連続で同変． *Locally surjective.* \(u\in\mathcal E(P_U,\Xi)\)．[[j4zrsg]] 定理 A(2) により jointly epi な族 \(\{t_i:T_i\to P_U\}\) と \(R_i\in Q(T_i)\) で \(u t_i=\theta(R_i)\)．各 \(T_i\) を生成子 \(P_{V_j}\to T_i\) で覆い \(R_i\) を制限すれば，jointly epi な族 \(\{\varphi_{\sigma_j}:P_{V_j}\to P_U\}\) と \(R_j\in Q(P_{V_j})\) で \(u\varphi_{\sigma_j}=\theta(R_j)\) としてよい．jointly epi より \(\bigcup_j s\sigma_j(V_j)=U\)（\(g\in s^{-1}U\) が \(\varphi_{\sigma_j}(h)\) なら \(s g=s\sigma_j(s h)\)）．\(y\in U\) に対し \(y=s\sigma_j(v)\) を取り，上の \(V'\ni v\)，\(W'=s\sigma_j(V')\ni y\)，同型 \(\varphi:=\varphi_{\sigma_j|V'}:P_{V'}\cong P_{W'}\) を取ると \[ u|_{P_{W'}}\circ\varphi=u\varphi_{\sigma_j}|_{P_{V'}}=\theta(R_j|_{P_{V'}}),\qquad\therefore\ u|_{P_{W'}}=\theta\bigl((\varphi^{-1})^{*}(R_j|_{P_{V'}})\bigr) \] （\(\theta\) の自然性）．よって \(u\) は \(U\) の開被覆 \(\{W'\}\) 上で \(\theta_{W'}\) の像に入る． *Locally injective.* \(S,S'\in L_G(U)\)，\(\theta_U(S)=\theta_U(S')\)．[[j4zrsg]] 定理 A(2)（locally injective）と同じ refinement で，jointly epi な \(\{\varphi_{\sigma_j}\}\) 上で \(\varphi_{\sigma_j}^{*}R_S=\varphi_{\sigma_j}^{*}R_{S'}\)．上と同じ \(V',W'\) で \(\varphi^{*}\) は全単射 \(Q(P_{W'})\to Q(P_{V'})\) なので \(R_S\cap P_{W'}^2=R_{S'}\cap P_{W'}^2\)，補題 1 より \(S\cap G|_{W'}=S'\cap G|_{W'}\)．∎(1) **(2)** \(G\)-sheaf \(F\) の切断 \(\sigma\in F(U')\) を bisection \(\beta\) で運んだ切断 \(\beta\cdot\sigma\in F(U'')\)，\(y\mapsto\beta(x)\cdot\sigma(x)\)（\(x=(t\beta)^{-1}y\)）は，\(F(U)\cong\mathcal E(P_U,F)\) の下で \(\hat\sigma\circ\psi\) に対応する．ここで \(\psi:P_{U''}\to P_{U'}\)，\(k\mapsto k\,\beta\bigl((t\beta)^{-1}(s k)\bigr)\) は同型（逆 \(h\mapsto h\,\beta(s h)^{-1}\)）．\(F=\Xi\)，\(\hat\sigma=\theta(R_S)\) に適用して \(\beta\cdot\theta(R_S)=\theta(\psi^{*}R_S)\)，\(\psi^{*}R_S=\{(k,k')\mid \beta(x')^{-1}k'^{-1}k\,\beta(x)\in S\}\) は補題 1 で \(\beta S\beta^{-1}\) に対応する．germ を取れば (2)．∎(2) **(3)** [[j4zrsg]] 系 1 より \(\xi_F\circ\hat\sigma=\theta(\ker\hat\sigma)\)，\(\ker\hat\sigma=\{(h,h')\mid h\sigma(s h)=h'\sigma(s h')\}\)．\(k=h'^{-1}h\) とおくと条件は \(k\,\sigma(s k)=\sigma(t k)\) なので \(S_{\ker\hat\sigma}=\operatorname{Stab}(\sigma)\)．\(x\) での germ を取れば (3)（\(F\) が étale なので \(\sigma\) の取り方に依らない）．∎(3) **(4)** meet は [[j4zrsg]] 系 2 と補題 1（\(R_{S\cap S'}=R_S\cap R_{S'}\)）．順序：[[j4zrsg]] 系 2 は「ある jointly epi 族の上で \(R_S\subseteq R_{S'}\)」を与えるが，(1) と同じ局所同型 \(\varphi_{\sigma|V'}\) で jointly epi 族を \(U\) の開被覆に置き換えられ，補題 1 の \(R_S\subseteq R_{S'}\iff S\subseteq S'\) で「ある近傍で \(S\subseteq S'\)」になる．\(\{1_u\}\) は \(\mathbf{OWSub}(G|_U)\) の最小元，\(G|_U\) は最大元．\(\beta\{1\}\beta^{-1}=\{1\}\) より \(\bot\) は \(G\)-不変，すなわち global element \(\bot:1\to\Xi\)．\(\xi_{P_U}=\xi_{P_U}\circ\mathrm{id}=\theta(\ker\mathrm{id})=\theta(\Delta)=\theta(R_{\{1\}})\) なので \(\xi_B=\bot\circ!\)．∎ **注（\(L_G\) は separated でない）．** \(\theta_U\) は単射でない．例：\(\mathbb Z/2\curvearrowright\mathbb R\)（系 3）で \(S_{\mathbb R}\) と \(S_{(-1,1)}\) は被覆 \(\{(-\infty,1),(-1,\infty)\}\) の各成分上で一致するが異なる．従って \(a(L_G)\) の切断は一般に単一の \(S\) ではなく，germ の compatible family（Brown–İçen の local subgroupoid＝atlas \((U_i,S_i)\)）である． ## Corollaries **系 1（[[j9bcyf]] の \(\bot\) の正体）．** étendue \(BG\) の \(\bot\) は「作用を全部切った germ」であり，\(\uparrow\!\bot=\Xi\)．\(G\) が étale であることは設定全体（補題 1 の開性，(2) の bisection）で使われているが，\(\bot\) の存在に直接効くのは \(\{1_u\}\subseteq G|_U\) の開性である． **系 2（Morita 不変性）．** \(G\simeq_{\text{Morita}}G'\) なら，\(BG\simeq BG'\) の下で \(G\)-sheaf \(a(L_G)\)（共役作用付き）と \(G'\)-sheaf \(a(L_{G'})\) が対応する．たとえば \(\Gamma\) が空間 \(X\) に wandering に作用する（各点に \(\gamma U\cap U=\emptyset\)（\(\gamma\ne1\)）なる近傍 \(U\) がある）とき \(a(L_{\Gamma\ltimes X})=1\)（小さい \(U\) で \((\Gamma\ltimes X)|_U\) は単位射のみ），\(BG\simeq\mathbf{Sh}(X/\Gamma)\) が localic であることと整合する． **系 3（isotropy との関係；[[nm7d22]] の étale 版）．** 各点で \(\rho_x:\Xi_x\to\operatorname{Sub}(G_x)\)，\([S]_x\mapsto S\cap G_x\) が well-defined．\(\rho_x\) は **全射**：\(H\le G_x\) に対し，各 \(h\in H\) の bisection 近傍 \(B_h\subseteq G|_U\)（\(s,t\) が単射，\(B_{h^{-1}}=B_h^{-1}\)）を取り，\(U\) の単位射と \(\bigcup_hB_h\) が生成する subgroupoid を \(S\) とする．étale groupoid では合成写像が開なので \(S\) は開．\(x\to x\) の \(S\) の射 \(k_n\cdots k_1\) は，\(s(k_1)=x\) と \(B_{h_1}\) 上の \(s\) の単射性から \(k_1=h_1\)，以下帰納的に \(k_i=h_i\) なので \(H\) に入る．よって \(S\cap G_x=H\)．（action groupoid \(\Gamma\ltimes X\) では単に \(S=H\ltimes X\) でよい．）しかし **一般に単射ではない**：\(\Gamma=\mathbb Z/2\) が \(\mathbb R\) に \(x\mapsto-x\) で作用するとき，\(0\) の近傍 \(U=(-\varepsilon,\varepsilon)\) の open wide subgroupoid は \(S_A=\{1_u\}\cup\{(\tau,u)\mid u\in A\}\)（\(A\subseteq U\) 開かつ \(A=-A\)）で尽くされ， \[ \Xi_0=\{\text{対称な開集合 }A\subseteq\mathbb R\text{ の }0\text{ における germ}\},\qquad\rho_0([A])=\begin{cases}\mathbb Z/2&0\in A\\ 1&0\notin A\end{cases} \] は非単射（\([\emptyset]\ne[\mathbb R\setminus\{0\}]\) だが \(\rho_0\) では共に \(1\)）．\(x\ne0\) では \(\Xi_x=1\)．すなわち **étendue の local state は isotropy 部分群ではなく，「どの近傍点で作用が生きているか」の germ を含む．** \(A=\mathbb R\setminus\{0\}\) の global section が定める hyperconnected quotient には，原点を二重化した \(\mathbb R\)（\(\tau\) が二つの原点を入れ替える）が属するが，localic reflection \(\mathbf{Sh}([0,\infty))\) には属さない． **系 4（local equivalence relation との関係；[[j4zrsg]] の予想の修正）．** Rosenthal の層 \(\mathcal E_X=a(U\mapsto\operatorname{Equiv}(U))\) への層の射 \[ \mathrm{orb}:\pi^{*}\Xi\to\mathcal E_X,\qquad[S]\mapsto[(s,t)(S)] \] （\(S\) の orbit relation は \(U\) 上の同値関係．germ で well-defined）があり，\(\mathrm{orb}(\bot)=[=]\)，\(\mathrm{orb}(\top)=[\text{orbit relation of }G]=:r_G\)．\(\mathrm{orb}\) は一般に単射でも（isotropy を忘れる）全射でもない（\(G=X\) 自明なら \(\pi^{*}\Xi=1\) だが多様体の \(\mathcal E_X\) は葉層分だけある）．Kock–Moerdijk の \(r\) は bound の底空間上の対象ではないので，「\(r\leftrightarrow\bot\)」という形の対応は立たない． **系 5（Brown–İçen Remark 3.15 への部分的な答）．** \(G\)-不変な local open subgroupoid，すなわち global section \(u:1\to\Xi\)（atlas \((U_i,S_i)\) で表される）は，TAC 42-11 の対応（hyperconnected quotient ⟷ \(\Xi\) の internal filter；filter \(\Phi\) に対応する quotient は \(\xi_F\) が \(\Phi\) を経由する \(F\) 全体）で principal filter \(\uparrow\!u\) に対応する hyperconnected quotient \[ BG_{\ge u}:=\{F\in BG\mid \xi_F\ge u\}=\{F\mid \text{各 }x\in U_i\text{ と }f\in F_x\text{ について，}f\text{ を通る局所切断 }\sigma\text{ の }\operatorname{Stab}(\sigma)\text{ が }x\text{ の近傍で }S_i\text{ を含む}\} \] （「局所的に \(u\)-不変な \(G\)-sheaf」）を定める．\(u=\bot\) で \(BG\) 全体，\(u=\top\) で localic reflection（\(G\)-作用が局所的に自明な層）を回収する．\(G\)-不変でない local subgroupoid は \(B\to\Xi\) の射に対応し，filter を定めない． ## Verification - 補題 1 の全単射は \(BG\) の部分対象＝\(G\)-不変開集合，積＝\(X\) 上 fibre product のみを使う．開性の 2 方向はそれぞれ連続写像 \((g,g')\mapsto g'^{-1}g\)，\(h\mapsto(h,1_{th})\) の逆像として確認． - 定理 A(1) は [[j4zrsg]] 定理 A(2) と一般補題を \(\mathcal O(X)\) の被覆へ移す議論で，鍵は「生成子からの射 \(\varphi_\sigma\) は \(s\sigma\) が単射な範囲で同型」という局所同相の性質．\(G\) が étale でないと \(s\sigma\) は局所同相でなく，この段が崩れる（[[py8q96]] の \(\operatorname{Sym}(\mathbb A)\) は étale でない例）． - 検算：\(X=\mathrm{pt}\)，\(G=\Gamma\)：\(\Xi=\operatorname{Sub}(\Gamma)\)，\(\xi(f)=\operatorname{Stab}(f)\)，共役作用（TAC 42-11 と一致）．\(X\) 離散：\(\Xi_x=\{H\le G_x\}\)（[[ybzxdp]] と一致）．\(G=X\)：\(\Xi=1\)（localic）． - 系 3 の例は，二重原点の層 \(F\) に対し \(\xi_F\) を (3) で直接計算して確認（\(f\in F_0\) の切断 \(\sigma\) は \(\mathbb R\setminus\{0\}\) 上で \(\tau\)-固定，\(0\) では入れ替わる）． - Kock–Moerdijk 1992 の主定理 7.1 の形（locale \(M\)，connected かつ locally connected な \(a\)，internal contractible locale \(X_{\mathfrak F}\)，\(r=\mathrm{Lker}(a)\) の chart，\(\mathbf{sh}(M,r)=\) \(r\)-transport をもつ層）は academia.edu 上の本文で確認（Claude と査読 subagent の双方）．ScienceDirect・Radboud repository の PDF は取得不可．「\(M\) は bound の底空間でない」は本瓶の推論（\(a\) が connected）であり，原文の主張ではない．Rosenthal の Def. 1.1／3.3／3.4 と Thm 4.14 は numdam の PDF で確認．Brown–İçen Def. 1.1・Remark 3.15 は arXiv 原文で確認． - 2026-09-07 に別の Claude subagent が adversarial に査読：補題 1・定理 A(1)–(4)・系 3・4・検算例はすべて正しいと判定．指摘に従い (a) Kock–Moerdijk の段落を「\(M\) contractible」から「internal locale \(X_{\mathfrak F}\) が contractible，\(a\) は connected」に訂正，(b) \(\rho_x\) の全射性を一般の étale groupoid で証明，(c) (4) の順序の主張に局所同型による開被覆への置き換えを補い，(d) \(L_G\) が separated でないこと（切断は atlas）を注として追加し系 5 の記法を global section \(u\) に改めた． ## References - [Ryuya Hora, *Internal Parameterization of Hyperconnected Quotients* (TAC 42-11)](https://www.tac.mta.ca/tac/volumes/42/11/42-11abs.html) - [Kimmo I. Rosenthal, *Sheaves and local equivalence relations*, Cahiers 25 (1984)](https://www.numdam.org/item/CTGDC_1984__25_2_179_0/) - [Anders Kock and Ieke Moerdijk, *Every étendue comes from a local equivalence relation*, JPAA 82 (1992)](https://doi.org/10.1016/0022-4049(92)90118-Y) - [Anders Kock and Ieke Moerdijk, *Presentations of étendues*, Cahiers 32 (1991)](http://tildeweb.au.dk/au76680/POE.pdf) - [Ronald Brown and İlhan İçen, *Lie local subgroupoids and their holonomy and monodromy Lie groupoids* (arXiv:math/9808112)](https://arxiv.org/abs/math/9808112) ## 未解決・次の一手 - **Kock–Moerdijk との正しい突き合わせ**：connected かつ locally connected な \(a:\mathbf{sh}(M)\to BG\) と，\(BG/a_!(U)\) が localic となる chart \(U\) に対し，\(a^{*}\Xi\in\mathbf{sh}(M)\) と \(R_U=\ker(U\to a_!U)\) の関係．予想：\(a_!(U)\) は torsion-free bound なので \(\xi_{a_!U}=\bot\)，従って \(a^{*}\Xi|_U\) の上で \(R_U\) は「\(\bot\) の chart」として現れる（つまり \(r\) と \(\bot\) の対応は，bound の底空間ではなく \(M\) 上の \(a^{*}\Xi\) の中で立つ可能性がある）．原文 PDF の入手が先決． - **Rosenthal の \(\mathbf{sh}(X;r_G)\) と \(BG\)**：\(r_G=\mathrm{orb}(\top)\) に対する \(r_G\)-sheaf のトポスは \(BG\) の何か（effective 化？）．holonomy groupoid \(\Gamma_{r_G}\) と \(G\) の比較． - **系 5 の quotient の groupoid 表示**：\(BG_{\ge u}\) は「\(u\) で割った局所商 groupoid」の sheaf topos か．\(u\) が normal（\(G\)-不変）であることが効くはず（[[n6v2sg]] の normal local states の étale 版）． - **isotropy 群対象との比較**：系 3 の \(\rho_x\) を Funk–Hofstra／Henry の isotropy group object への射 \(\Xi\to\) (open subgroups) として内在的に書く．Axel との共著草稿（[[nm7d22]]）の内容は未参照． - **Brown–İçen の non-open 版**：位相 groupoid（étale でない）で \(a(L_G^{\text{all}})\) と \(\Xi\) は一致しない（\(\operatorname{Sym}(\mathbb A)\) では open subgroup が現れる）．一般の位相 groupoid で \(\Xi\) を「どの位相で開か」を含めて記述する問い（[[w7pvyc]] の groupoid 版）．