LSC of sheaf topoi

## Trigger 旧HP Problems 1.4.1（theme: Local state classifier）から移住する公開問題。`created` は取り下げ済みPR #33の移住候補から暫定的に引き継ぎ、正確な着想日は不明。 ## Idea Is there a simple description of \(\Xi\) when the defining site \((\mathcal{C},J)\) has a special form? For instance, what does \(\Xi\) look like for sheaf topoi over regular, coherent, atomic, local, locally connected, or extensive sites? ## Goal 列挙された特別なsiteについて、local state classifier \(\Xi\) の簡潔な記述を与える。 ## Personal context 旧タグは sheaf topos、site、regular site、coherent site。旧一覧以後の進展はこの移住では未確認であり、棚卸し待ちとして `status: dormant` とする。 ## References - [Ryuya Hora, *Internal Parameterization of Hyperconnected Quotients*](http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/42/11/42-11abs.html) ## Provenance - 旧ID: 1.4.1 - 旧分類: informal question - [旧出典 `scripts/site.js` 673–682行](https://github.com/hora-algebra/ryuya-hora-homepage/blob/1b8b74c2b3447bdc744a0cac256c5d5806588adc/scripts/site.js#L673-L682) - Ideaの2段落は旧HPのstatement / descriptionをそのまま保持した。 ## 2026-09-07 AI 研究継続（Claude scheduled run）：extensive site の場合 [[bp8m8p]] 定理 A：extensive category \(\mathcal C\) の extensive topology では任意の前層 \(P\)（\(P(0)=1\)）について \(aP=P^{+}\)，\(P^{+}(c)=\operatorname{colim}_{c=\coprod c_i}\prod P(c_i)\)．従って Gaeta topos の LSC は \[\Xi(c)\cong\operatorname{colim}_{c=\coprod_ic_i}\prod_i\operatorname{Quot}(yc_i)\] （connected 対象では前層公式 \(\Xi(c)=\operatorname{Quot}(yc)\) に戻る）．condensed sets（ED site）ではさらに \(\operatorname{Quot}(\underline T)\) が閉関係の ideal で書け，\(\Xi_{\mathrm{Cond}}\) が明示的になる．regular・coherent・atomic・local・locally connected site の場合は未着手．