What do maps into Ξ classify?

## Trigger 旧HP Problems（2026-04-27版、question 1.0.3）にあった問いを、issue #43 の下書き2/Nから移した。subobject classifier \(\Omega\) が \[ \mathcal{E}(X,\Omega)\cong\operatorname{Sub}_{\mathcal{E}}(X) \] を与えることとの対比が出発点である。 ## Idea Grothendieck topos \(\mathcal{E}\) の local state classifier を \(\Xi\) とする。各 \(X\in\mathcal{E}\) について、射 \(X\to\Xi\) はどのような幾何的データを分類するか？ より正確には、\(\Xi\) を使わずに定義され、\(X\) に反変に関手的な \(F:\mathcal{E}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}\) と自然同型 \[ \mathcal{E}(-,\Xi) \cong F(-) \] を見つけたい。 ## Known partial structure presheaf topos では、representable \(y(c)\) に限れば Yoneda により \(\mathcal{E}(y(c),\Xi)\cong\Xi(c)\) であり、右辺は \(y(c)\) の co-subobject（quotient）の集合として記述できる。さらに自然性を展開すると、一般の presheaf \(X\) から \(\Xi\) への射は、各 figure \(x:y(c)\to X\) に \(y(c)\) の quotient を割り当て、precomposition による pullback と両立させた族とみなせる。この presheaf 固有の記述を、一般の topos で内在的・幾何的な moduli problem としてどう言い換えるかが未解決部分である。 また、既知の対応 \(\mathcal{E}(\Xi,\Omega)\cong\{\text{coherent families of subobjects}\}\) は射の向きが逆である。Menni の non-singular map は標準射 \(\xi_X:X\to\Xi\) の可換性から定義され、任意の射 \(X\to\Xi\) を分類するものではない。一方、reflexive graphs では \(\Xi_\top\to\Xi\) が lightly dense monomorphism の restricted classifier になるため、求める意味論のテストケースになる。 ## Goal \(\Xi\) の moduli 的な意味を明らかにし、presheaf topoi などでの計算や保存性に概念的な説明を与える。単純な \(F\) が存在しない場合は、成立する対象・射の範囲と障害を特定する。 ## Personal context local state classifier は洞の中心テーマである。この問いは \(\Xi\) の基本的な意味論を問うもので、étendue や local monomorphism に関する近縁の問いを理解する手掛かりにもなりうる。 ## References - [Ryuya Hora, *Internal Parameterization of Hyperconnected Quotients*](https://www.tac.mta.ca/tac/volumes/42/11/42-11abs.html) - [Matías Menni, *Non-singular maps in toposes with a local state classifier* (arXiv:2505.07131)](https://arxiv.org/abs/2505.07131)