Word-tree subtopoi

## Trigger Morgan Rogersとの共著方向 [[afv3c6]] を、infinite-word points、acceptance semantics、hyperconnected language theoryから分離して整理した。共著クリアランス前の具体的な作業内容は、shareableな親瓶ではなくこのprivate瓶に置く。 ## Idea free monoid \(\Sigma^*\) の作用のトポス \[ \Sigma\text{-}\mathbf{Set}\simeq\mathbf{PSh}(\Sigma^*) \] のsubtopoiを、rooted word tree上の組合せ論・locale theoryとして具体化する。 候補となる同値な記述は次である。 \[ \begin{aligned} \operatorname{Subtop}(\mathbf{PSh}(\Sigma^*)) &\cong \{\text{Lawvere--Tierney operators}\}\\ &\cong \{\text{equivariant nuclei on }\operatorname{RIdl}(\Sigma^*)\}\\ &\cong \{\text{self-similar sublocales of the extended word locale}\}\\ &\cong \{\text{covering trees closed under re-rooting and grafting}\}. \end{aligned} \] right ideals \(I\subseteq\Sigma^*\) はprefix-free antichain \(A\) を用いて \(I=A\Sigma^*\) と書ける。Grothendieck topologyのpullback stabilityはtreeのre-rooting、transitivityはleafへのcovering treeのgraftingとして書ける。 この意味で外延的な完全分類は可能である。しかし、全subtopoiがfinite automataや有限個のparameterを持つわけではない。有限alphabetで \(|\Sigma|\geq2\) の場合、spatialなcommon-tail-saturated dataだけでも \(2^{2^{\aleph_0}}\) 個あり、full classificationにはpoint-free sublocalesも含まれる。 ## Priority claims to audit 現在の強い新規性候補は、標準的なsubtopos--local-operator対応そのものではなく、free word treeに固有の次の連鎖である。 1. boundary nucleusが非恒等なself-similar nucleiの最小元であること。 2. Jónsson--Tarski subtoposがlargest proper subtoposであること。 3. proper subtopoiをboundary \(\Sigma^\omega\) のself-similar sublocalesへ還元すること。 4. その還元からsubtopoiの濃度を計算すること。 これらは現時点ではproof auditと先行研究比較の対象であり、確定したpriority claimとして扱わない。 ## Questions - self-similar sublocaleとequivariant nucleusの対応を、仮定の混在なく完全に証明できるか。 - boundary nucleusの最小性の証明は、sublocaleのpoint-free部分を含めても成立するか。 - spatial sectorはcommon-tail equivalence classesの合併で完全に記述できるか。 - full latticeに対して、covering treesまたはradical idealsによる有用なnormal formは存在するか。 - 一般のmonoid \(M\) へfree presentation \(\Sigma^*\twoheadrightarrow M\) から下降させるためのdescent conditionは何か。 - forcing extensionで新しいtail-saturated subsetsが増えることと、subtopos latticeの絶対性をどう整理するか。 ## Goal abstract topos theoryの再記述ではなく、free word treeに固有のboundary structureがsubtopos lattice全体をどこまで支配するかを定理として確定する。最終的にはlocalic/étendue routeを主証明にし、coverage/tree routeとradical-ideal routeを比較可能な補助記述として整理する。 ## Personal context この瓶はテーマ1のprivate working bottleである。pointsの幾何は [[v6m2qz]]、predicates / acceptanceは [[w4k7mz]]、hyperconnected quotientsは [[h6q9vx]] に分離する。共著論文への採否・表現はMorgan Rogersとの確認後に決める。