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{
  \begin{frame}
    \frametitle{Table of Contents}
    \tableofcontents[currentsection]
  \end{frame}
}

\title{母関数の種}
\author{洞龍弥}
\institute[]{東京大学数理科学研究科修士2年}
\date[2022年6月4日]{2023年7月15日\\ 数理空間トポス}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{目的}
\begin{description}
\setlength\itemsep{30pt}
    \item[目的1] 母関数という手法を伝える
    \item[目的2] 母関数を体系的に取り扱うJoyal's Speciesの理論を伝える
    \pause
    \item[目的3] 圏論的組合せ論に誰かを引きずりこむ
\end{description}
\end{frame}

% \input{WholePicture}



\begin{frame}
\frametitle{目次}
\tableofcontents
\end{frame}

\section[導入]{導入: 組合せ論の世界と数の世界の不思議な対応}
\begin{frame} \frametitle{組合せ論側 準備運動}
\begin{block}{問題}
    $n$種のお菓子を順に食べる方法は何通りあるか？
\end{block}
\pause
\begin{block}{解答}
    $n!$通り
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{組合せ論側: 本題}
\begin{block}{問題}
    $n$種のお菓子を順に食べる方法は何通りあるか？ただし，同時に複数個食べてもよい．
\end{block}
例えば$n=3$なら13通り．
\includegraphics[width=\textwidth]{images/A3.jpeg}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{組合せ論側: 本題}
\begin{block}{問題}
    $n$種のお菓子を順に食べる方法は何通りあるか？ただし，同時に複数個食べてもよい．
\end{block}
答えを$A_n$とおくと，
\begin{itemize}
    \item $A_0 =1$
    \item $A_1 =1$
    \item $A_2 =3$
    \item $A_3 =13$
    \item $A_4 =75$
\end{itemize}
\pause
これはよくわからん．
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{数側: 準備運動}
\begin{block}{問題}
\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots= ?\]
\end{block}
\pause
\begin{block}{解答}
    1
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{数側: 準備運動?}
\begin{block}{問題}
\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k}{2^{k+1}}=\frac{0}{2}+\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\dots= ?\]
\end{block}
\pause
\begin{block}{解答}
    1
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{数側: 準備運動?}
\begin{block}{問題}
\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^2}{2^{k+1}}=\frac{0}{2}+\frac{1}{4}+\frac{4}{8}+\frac{9}{16}+\dots= ?\]
\end{block}
\pause
\begin{block}{解答}
    3
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{数側: 準備運動?}
\begin{block}{問題}
\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^3}{2^{k+1}}=\frac{0}{2}+\frac{1}{4}+\frac{8}{8}+\frac{27}{16}+\dots= ?\]
\end{block}
\pause
\begin{block}{解答}
    13
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{数側}
\begin{block}{問題}
\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^n}{2^{k+1}}=\frac{0^n}{2}+\frac{1^n}{4}+\frac{2^n}{8}+\frac{3^n}{16}+\dots= ?\]
\end{block}
答えを$B_n$とおくと，
\begin{itemize}
    \item $B_0 =1$
    \item $B_1 =1$
    \item $B_2 =3$
    \item $B_3 =13$
    \item $B_4 =75$
\end{itemize}
\pause
これもよくわからんが，$A_n = B_n$っぽい
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{不思議な対応}
\begin{block}{事実}
全ての自然数$n\in \N$について$A_n = B_n$.
\end{block}

\hsp
$3$個のお菓子を13通りで食べている横で，無限級数が$13$に収束している！なぜ？
\end{frame}

\input{WholePicture}
% \[
% \begin{tikzcd}[ampersand replacement = \&]
% {\text{\comb{組合せ論}}}\& {\text{\func{関数}}}
% \end{tikzcd}
% \]
\section{Speciesの定義}
\begin{frame} \frametitle{Speciesの定義(曖昧)}
\begin{block}{Species(曖昧)}
    Speciesとは，有限集合$A$に対して$A$を台集合にもつ特定の種類の組合せ論的対象の集合を返す対応のことをいう
\end{block}
\begin{block}{Species(厳密だが今日はいらない)}
    Speciesとは，有限集合と全単射の為す圏$\mathbb{B}$上の自己関手のことである．
\end{block}
\end{frame}


\begin{frame} \frametitle{Speciesの例: 食べ方のspecies (本題)}
{
\centering
\includegraphics[width=1.1\textwidth]{images/EATINGSPECIES.jpeg}
}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{Speciesの例: 木のspecies}
{
\centering
\includegraphics[width=1.1\textwidth]{images/TREE.jpeg}
}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{Speciesの例: 順列のspeciesと置換のspecies}
$\Arr$と$\Per$
{
\centering
\includegraphics[width=1.1\textwidth]{images/ARRPERSPECIES.jpeg}
}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{Speciesの例: その他}
\begin{itemize}
% \setlength\itemsep{10pt}
    \item 巡回置換 Cycles
    \item 元 Element
    \item 根つき木 Rooted Trees
    \item 自己写像 Endofunctions
    \item 自明構造$\Triv$ (集合ありのまま)
    \item 「命題」たち $ \IsOdd, \IsEven, \IE, \INE, \IS$
    \item 部分集合，$n$-彩色 subset, $n$-coloring
    \item 置換群 Permutation groups
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{Speciesの母関数}
\begin{block}{Speciesの母関数}
    Species $M$ の母関数 $f_{M}(x)$ とは，$n$元集合上の$M$構造の個数を$a_n$として
    \[\gf_{M}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}=a_0 + a_1 x + a_2 \frac{x^2}{2}+ a_3 \frac{x^3}{6}+ \dots\]
    のこと
\end{block}
% species $M$が$n$元
\pause
% \begin{block}{例: 順列，置換のspeciesの母関数}
\vspace{-20pt}
  \[     
  \gf_{\Arr}(x) =\gf_{\Per}(x)= \sum_{n=0}^{\infty} n! \frac{x^n}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty} x^n=\frac{1}{1-x}
\]
% \end{block}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{Speciesの母関数 (簡単な部分)}
\begin{itemize}
    \setlength\itemsep{10pt}
    \item $\gf_{\Triv}(x) = e^x$
    \item $\gf_{\IsOdd}(x) = \sinh{x}$
    \item $\gf_{\IsEven}(x) = \cosh{x}$
    \item $\gf_{\IE}(x) = 1$
    \item $\gf_{\INE}(x) = e^x -1$
    \item $\gf_{\text{元}}(x) = xe^x$
    % \item 根つき木 Rooted Trees
    % \item 自己写像 Endofunctions
    \item $\gf_{\text{部分集合}}(x) = e^{2x}$
    \item $\gf_{n\text{-彩色}}(x) = e^{nx}$
    \item $\gf_{\text{置換群}}(x) = ?$
\end{itemize}
\end{frame}

\section{Speciesの操作}
\begin{frame} \frametitle{四つの操作}
{
\centering
\includegraphics[width = \textwidth]{images/IMG_AE5D441A3BC0-1.jpeg}
}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{演算(1/4) 和}
\begin{columns}
\begin{column}{0.8\textwidth}
   \begin{block}{Speciesの和}
    Species $M,N$について，$M+N$構造とは，$M$構造か$N$構造のことをいう．
    \end{block}
    つまり，$M+N$は$n$元集合を$n$元$M$構造の集合と$n$元$N$構造の集合の(非交)和集合へ送るspeciesである．
    \[\text{例: }\Triv = \IsEven + \IsOdd\]
\end{column}
\begin{column}{0.2\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width = \textwidth]{images/SUM.jpeg}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{演算(1/4) 和}
\begin{columns}
\begin{column}{0.8\textwidth}
\begin{block}{命題: 和の母関数は母関数の和}
$\gf_{M+N} = \gf_M + \gf_N$
\end{block}
\hsp
{
\setlength{\leftmargini}{30pt} 

\begin{itemize}
\setlength\itemsep{20pt}
\item[例:]
    $\Triv = \IE + \INE$\\
    $\rightsquigarrow e^x=1+(e^x -1)$
\item[例:]
    $\Triv = \IsEven + \IsOdd$\\
    $\rightsquigarrow e^x=\cosh{x}+\sinh{x}$
\end{itemize}
}

\end{column}
\begin{column}{0.2\textwidth}
    {\centering
    \includegraphics[width = \textwidth]{images/SUM.jpeg}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{演算(2/4) 積}
\begin{columns}
\begin{column}{0.8\textwidth}
   \begin{block}{Speciesの積}
    Species $M,N$について，有限集合$A$上の$M\times N$構造とは，$A$の直和分割$A=S\coprod T$と$S$上の$M$構造と$T$上の$N$構造の三つ組のことをいう．
    \end{block}
    % つまり，$M+N$は$n$元集合を$n$元$M$構造の集合と$n$元$N$構造の集合の(非交)和集合へ送るspeciesである．
    \vspace{-20pt}
    \[\text{例: }\text{部分集合} = \Triv \times \Triv\]
    % \vspace{-40pt}
    {
    \centering
    \includegraphics[width = 0.8\textwidth]{images/SUBSET.jpeg}
    }
\end{column}
\begin{column}{0.2\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width = \textwidth]{images/PRODUCT.jpeg}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{演算(2/4) 積}
\begin{columns}
\begin{column}{0.7\textwidth}
   \begin{block}{命題: 積の母関数は母関数の積}
    $\gf_{M\times N} = \gf_M \times \gf_N$
    \end{block}

{
\setlength{\leftmargini}{30pt} 

\begin{itemize}
\setlength\itemsep{15pt}
\item[例:]
    $\text{部分集合}= \Triv \times \Triv$\\
    $\rightsquigarrow e^{2x}=e^x \times e^x$

\item[例:]
    $\text{元}= \mathrm{IsSingleton} \times \Triv$\\
    $\rightsquigarrow xe^x =x \times e^x$
\item[例:] $\IE \rightsquigarrow 1$は積の単位元
% \item[例:]
%     $\mathrm{BT}= \mathrm{IsSingleton} \times \mathrm{BT} \time \mathrm{BT} + \IE$\\
%     $\rightsquigarrow f_{\mathrm{BT}} =xf_{\mathrm{BT}}^2 +1$  
\end{itemize}
}
\end{column}
\begin{column}{0.3\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width = \textwidth]{images/PRODUCT.jpeg}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{演算(2/4) 積: カタラン数の導出}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.2\textwidth}
        {
        % \hspace{-20pt}
        \includegraphics[width= 1.8\textwidth]{images/BITREE.jpeg}
        }
    \end{column}
    \begin{column}{0.1\textwidth}
        {

        }
    \end{column}
    \begin{column}{0.8\textwidth}
        $\BT$を(ラベルつき根つき)二分木のspeciesとすると
\[\BT = \mathrm{IsSingleton}\times \BT^2 + \IE\]
\pause
$\BT$の母関数を$F(x)$と略記すると
$F(x) = xF(x)^2 +1$となり
% る．二次方程式の解の公式とテイラー展開を用いて
\[F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}x^n\]
を得る．(カタラン数!)
    \end{column}

\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{演算(2/4) 積: モンモール数の導出}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.15\textwidth}
        {
        % \hspace{-20pt}
        \includegraphics[width= 2.5\textwidth]{images/PPER.jpeg}
        }
    \end{column}
    \begin{column}{0.1\textwidth}
        {

        }
    \end{column}
\begin{column}{0.8\textwidth}
        $\Per$を置換のspecies，$\PPer$を不動点を持たない置換
        % (Perfect permutation)
        のspeciesとする．
\[\Per = \Triv \times \PPer\]
\pause
$\PPer$の母関数を$F(x)$と略記すると
$\frac{1}{1-x} = e^x F(x)$となり
\[F(x) = \frac{e^{-x}}{1-x}\]
を得る．(展開するとモンモール数!)
\end{column}

\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{演算(3/4) 微分}
\begin{columns}
\begin{column}{0.8\textwidth}
   \begin{block}{Speciesの微分}
    Species $M$について，$n$元集合上の$\partial M$-構造構造とは，$n+1$元上の$M$構造のことをいう．
    \end{block}

    \vspace{-20pt}
    \[\text{例: }\partial \Cycle = \Arr\]
    % \vspace{-40pt}
    {
    \centering
    \includegraphics[width = 0.8\textwidth]{images/CYCLE.jpeg}
    }
%     {
% \setlength{\leftmargini}{30pt} 

% \begin{itemize}
% \setlength\itemsep{15pt}
% \item[例:]
%     $\text{部分集合}= \Triv \times \Triv$\\
%     $\rightsquigarrow e^{2x}=e^x \times e^x$

% \item[例:]
%     $\text{元}= \mathrm{IsSingleton} \times \Triv$\\
%     $\rightsquigarrow xe^x =x \times e^x$
% \item[例:] $\IE \rightsquigarrow 1$は積の単位元
% % \item[例:]
% %     $\mathrm{BT}= \mathrm{IsSingleton} \times \mathrm{BT} \time \mathrm{BT} + \IE$\\
% %     $\rightsquigarrow f_{\mathrm{BT}} =xf_{\mathrm{BT}}^2 +1$  
% \end{itemize}
% }
\end{column}
\begin{column}{0.2\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width = \textwidth]{images/DIFFERENCIAL.jpeg}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{演算(3/4) 微分}
\begin{columns}
\begin{column}{0.8\textwidth}
   \begin{block}{命題: 微分の母関数は母関数の微分}
    $\gf_{\partial M} = \frac{d}{dx} \gf_M$ (普通の微分)
    \end{block}

{
\setlength{\leftmargini}{30pt} 

\begin{itemize}
\setlength\itemsep{15pt}
\item[例:] $\partial \Triv = \Triv$\\
$\rightsquigarrow \frac{d}{dx} e^x = e^x$

\item[例:] $\partial \IsEven = \IsOdd$\\
$\rightsquigarrow \frac{d}{dx} \cosh{x} = \sinh{x}$ (逆も然り)
\item[例:] $\partial \SubSet = \SubSet + \SubSet$\\
$\rightsquigarrow \frac{d}{dx} e^{2x} = e^{2x} + e^{2x}$ 
\end{itemize}
}
\end{column}
\begin{column}{0.2\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width = \textwidth]{images/DIFFERENCIAL.jpeg}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{演算(3/4) 微分: $\Cycle$の母関数}
\begin{align*}
    \gf_{\Cycle}(x) &= \sum_{n=1}^{\infty} (n-1)!\frac{x^n}{n!}\\
     &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}\\
     &= -\log(1-x)\\
\end{align*}
このことは，
$\partial \Cycle = \Arr$から
$\frac{d}{dx}\gf_{\Cycle}(x) = \frac{1}{1-x}$が導かれることと整合的である．
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{演算(3/4) 微分: $\Equiv$}
    Speciesの等式$\partial \Equiv = \Triv \times \Equiv$を用いて，微分方程式
    \[\frac{d}{dx} \gf_{\Equiv}(x)=e^x \gf_{\Equiv}(x)\]
    を得る．解くと，
    \[\gf_{\Equiv}(x) = e^{e^x-1}\]
    が分かる．
    \pause
    次の"合成"を考えるともっと楽．
    
    
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{演算(4/4) 合成}
\begin{columns}
\begin{column}{0.8\textwidth}
   \begin{block}{Speciesの合成}
    Species $M,N$について，有限集合$A$上の$M \circ N$-構造構造とは，$A$上の同値関係$\simeq$と，商集合$A/\simeq$上の$M$構造と各同値類上の$N$構造の組のことをいう．(注)
    \end{block}

    % \vspace{-20pt}
{
\setlength{\leftmargini}{30pt} 
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{15pt}
\item[例:] $\Triv \circ \mathrm{Tree} = \mathrm{Forest}$\\
\item[例:]$\Triv \circ \Cycle = \Per$\\
\item[例:]$\Triv \circ \mathrm{ConnectedGraph} = \mathrm{Graph}$
\end{itemize}
}
\end{column}
\begin{column}{0.2\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width = \textwidth]{images/COMPOSITION.jpeg}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{演算(4/4) 合成}
\begin{columns}
\begin{column}{0.8\textwidth}
   \begin{block}{命題: 合成の母関数は母関数の合成}
    $\gf_{N}(0)=0$のとき，$\gf_{M\circ N}=\gf_{M}\circ \gf_{N}$
   \end{block}

{
\setlength{\leftmargini}{20pt} 

\begin{itemize}
\setlength\itemsep{10pt}
\item[例:] $\Triv \circ \Cycle = \Per$\\
$\rightsquigarrow e^{\gf_{\Cycle}(x)}=\frac{1}{1-x}$
\item[例:] $\Triv \circ \INE = \Equiv$\\
$\rightsquigarrow e^{e^x -1}=\gf_{\Equiv}(x)$
\item[例:] $\IsEven \circ (\IS+\IS) = \IsEven \times \IsEven + \IsOdd \times \IsOdd$\\
$\rightsquigarrow \cosh{2x}=\cosh{x}^2+\sinh{x}^2$
\end{itemize}
}
\end{column}
\begin{column}{0.2\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[width = \textwidth]{images/COMPOSITION.jpeg}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\section{フラグ回収}
\begin{frame} \frametitle{導入のお話}
$n$種のお菓子を(複数食いアリで)食べる方法のSpecies $\mathrm{TotalPreorder}$ を考えると，
\begin{align*}
    \mathrm{TotalPreorder} &= \Arr \circ \INE\\
    \rightsquigarrow\gf_{\mathrm{TotalPreorder}}(x)&=\frac{1}{1-x} \circ (e^x-1)\\
    &=\frac{1}{1-(e^x-1)}=\frac{1}{2-e^x}
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{導入のお話}
    $\gf_{\mathrm{TotalPreorder}}(x) =\frac{1}{2-e^x}$を等比級数の和の公式でバラすと
    \begin{align*}
        \gf_{\mathrm{TotalPreorder}}(x)&= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{e^{nx}}{2^{n+1}}\\
        &= \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{n^k}{2^{n+1}}\right)\frac{x^n}{n!}
    \end{align*}
    を得る！
\end{frame}

\input{WholePicture}

\section{メッセージ}
\begin{frame} \frametitle{正直よくわからなかった人へ}
母関数にはもっと簡単な話もある(すみません)．

\begin{itemize}
    \item 母関数としての二項展開
    \item 別の形の母関数(通常型，ディリクレ型)
    \item 母関数を用いたフィボナッチ数の一般項
    \item (一般化)メビウス反転
\end{itemize}


\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{正直よくわかった人へ}
演習
\begin{itemize}
    \item 元のspecies $\mathrm{Element}$の母関数が$xe^x$であることを，直接計算とspeciesの積の二通りで計算せよ．
    \item $\frac{d}{dx} (\frac{1}{1-x})=(\frac{1}{1-x})^2$の組合せ論的解釈は？($\Arr$と$\Per$それぞれ)
    \item $(xe^x)^2= x\cdot x \cdot e^{2x}$の組合せ論的解釈は？
    \item $e^{2x}$を$2x$と$e^x$の合成として見てみると？
    \item 根つき木と$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{k-1}}{k! 2^k e^{k/2}}$
    % \item $e^{e^x -1}$は何の母関数？
    \item 根つき木のSpeciesと反転公式
    \item 木の数え上げ問題 
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{正直かなりよくわかった人へ}
洞が気に気になっている個人的未解決問題集
\begin{itemize}
    \item $\frac{d}{dx}\tan(x)= 1+ \tan(x)^2$の組合せ論的解釈は？ (up/down numbers)
    \item ベルヌーイ数 $\gf_{?}(x)=\frac{x}{e^x -1}$ (拡張理論が必要)
    \item 置換群speciesの母関数
    \item もっと圏論的な話(私に聞いてください)
\end{itemize}
\end{frame}


\end{document}


\begin{frame} \frametitle{}

\end{frame}