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main.tex
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\eqmakebox [\the\c@eqtabular @eqtabular]%
{\unhcopy\eqtabularbox}}}
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\eqmakebox [\the\c@eqtabular @eqtabular][r]%
{\unhcopy\eqtabularbox}}}
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{%
\stepcounter{eqtabular}%
\tabular[#1]{#2}%
}
{%
\endtabular
}
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\AtBeginSection[]
{
\begin{frame}
\frametitle{目次}
\tableofcontents[currentsection]
\end{frame}
}
\title{ゼータ関数とメビウス反転}
\author{洞龍弥}
\institute[]{東京大学理学部数学科4年}
\date[2021年12月4日]{2021年12月4日\\ 数理空間トポス}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{目次}
\tableofcontents
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{ネタバレ}
% \begin{figure}[h]
% % \caption{}
% \centering
% \includegraphics[scale=0.15]{image_topos_zeta.jpg}
% \end{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture} [scale = 1]
\draw[thick, rounded corners=10pt]
(-0.5,6)--(3.5,6)--(3.5,4)--(-0.5,4)-- cycle;
\fill[black] (1.5,5) circle (0) node[above]{ゼータ関数の};
\fill[black] (1.5,5) circle (0) node[below]{オイラー積};
\draw[thick, rounded corners=10pt]
(6.5,6)--(10.5,6)--(10.5,4)--(6.5,4)-- cycle;
\fill[black] (8.5,5) circle (0) node{メビウス反転};
\draw[thick, rounded corners=10pt]
(3.5,1)--(6.5,1)--(6.5,-1)--(3.5,-1)-- cycle;
\fill[black] (5,0) circle (0) node{$\zeta \times \mu =1$};
\fill[black] (5,3) circle (0.1);
\fill[black] (5,2.7) circle (0) node[right]{ディリクレ級数};
\draw[thick] (2.5,4)--(5,3)--(7.5,4);
\draw[thick, ->] (5,3)--(5,1);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{frame}
\section{ゼータ関数のオイラー積表示}
\begin{frame}\frametitle{リーマンのゼータ関数}
\begin{block}{定義: リーマンのゼータ関数}
リーマンのゼータ関数とは，
\[\zeta (s) \coloneqq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}\]
で定まる($\operatorname{Re}(s)>1$上の，そしてそれを解析接続した)関数である．
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{リーマンのゼータ関数}
$s=2$での値を求める問題はバーゼル問題として有名．
\begin{align*}
\zeta(2)
&=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots\\
&=\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\dots\\
&=1.64493\dots\\
&=\frac{\pi ^2}{6}
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{オイラー積表示}
ゼータ関数は素数との繋がりを持つ!
\begin{block}{定理: オイラー積表示}
\[
\zeta(s) = \prod_{p:\ \text{素数}} \frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}
\]
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{オイラー積表示}
証明の概要
% \begin{align*}
% & \prod_{p:\ \text{素数}} \frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}\\
% =&
% \left(\frac{1}{1-\frac{1}{2^s}}\right)\times
% \left(\frac{1}{1-\frac{1}{3^s}}\right)\times
% \left(\frac{1}{1-\frac{1}{5^s}}\right)\times \dots\\
% =& \left(\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{8^s}+\dots\right )\\
% &\times \left(\frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{27^s}+\dots\right )\\
% &\times \left(\frac{1}{5^s}+\frac{1}{25^s}+\frac{1}{125^s}+\dots\right )\\
% & \vdots
% \end{align*}
\begin{align*}
\prod_{p:\ \text{素数}} \frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}
&= \left(\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{8^s}+\dots\right )\\
&\times \left(\frac{1}{1^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{27^s}+\dots\right )\\
&\times \left(\frac{1}{1^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{25^s}+\frac{1}{125^s}+\dots\right )\\
&\ \ \vdots\\
&= \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\dots\\
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{オイラー積表示の応用}
$s\to 1(+0)$での挙動を見ることで素数が無数に存在することがわかる．
\end{frame}
\section{メビウス反転}
\begin{frame}\frametitle{メビウス関数}
\begin{block}{定義: メビウス関数}
正整数$n$に対して$-1,0,1$のいずれかを返す関数$\mu$を
\[
\mu(n) \coloneqq
\begin{cases}
(-1)^k & (n\text{は相異なる}k\text{個の素数の積})\\
0 & (\text{その他})
\end{cases}
\]
で定める．
\end{block}
% \begin{table}[]
% \scalebox{2}{
% \begin{tabular}{l|l|l|llllllll}
% $n$ &$1$& $2$& & & & & & & & & \\ \hline
% n& $-1$& $1$& & & & & & & &
% \end{tabular}
% }
% \end{table}
\[
\begin{eqtabular}{C|C|C|C|C|C|C|C|C}
$n$& $1$& $2$& $3$& $4$& $5$& $6$& $7$&$\dots$ \\ \hline
$ \mu(n)$ & $1$& $-1$& $-1$& $0$& $-1$& $1$& $-1$&$\dots$
\end{eqtabular}
\]
% \[
% \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
% n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9&10&\dots \\ \hline
% \mu(n) & 1& -1& -1& 0& -1& 1& -1& 0& 0&
% \end{array}
% \]
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{メビウス反転}
\begin{block}{定理: メビウス反転}
二つの(複素)数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}, \{b_n\}_{n=1}^{\infty}$について，以下は同値．
\begin{itemize}
\item 任意の$n$について
\[b_n = \sum_{d|n} a_d\]
\item 任意の$n$について
\[a_n = \sum_{d|n} \mu\left(\frac{n}{d}\right)b_{d}\]
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{例: オイラーの$\phi$関数}
例としてオイラーの$\phi$関数を挙げる．
正整数$n$について$\phi(n)$は$n$以下の自然数で$n$と互いに素なものの個数である．
\[
\begin{eqtabular}{C|C|C|C|C|C|C|C|C}
$n$& $1$& $2$& $3$& $4$& $5$& $6$& $7$&$\dots$ \\ \hline
$\phi(n)$ & $1$& $1$& $2$& $2$& $4$& $2$& $6$&$\dots$
\end{eqtabular}
\]
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{例: オイラーの$\phi$関数}
任意の正整数$n$について
\[n=\sum_{d|n} \phi(d)\]
なので$a_n = \phi(n),\ b_n=n$とするとメビウス反転公式から
\[\phi(n)=\sum_{d|n} \mu(\frac{n}{d})\phi(d)\]
がわかる．
\begin{align*}
6 &= \phi(1)+\phi(2)+\phi(3)+\phi(6)\\
\phi(6) &= 1-2-3+6
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{例: 格子点の個数(難)}
\begin{center}
\begin{tikzpicture} [scale = 0.7]
\foreach \x in {-3,-2,-1,0,1,2,3} {
\draw (\x,-4)--(\x,4);
\draw (-4,\x)--(4,\x);
}
\foreach \x in {-3,-2,-1,0,1,2,3} {
\foreach \y in {-3,-2,-1,0,1,2,3} {
\fill[black] (\x,\y) circle (0.15);
}
}
\foreach \z in {1,2,3,4,5,6,7,8} {
\draw(0,0) circle ( {sqrt(\z)} );
}
\draw[red,thick](0,0) circle ( {sqrt(5)} );
\foreach \x in {-1,1} {
\foreach \y in {-1,1}{
\fill[red] ({\x * 1},{\y * 2}) circle (0.15);
\fill[red] ({\x * 2},{\y * 1}) circle (0.15);
}
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\[
\begin{eqtabular}{C|C|C|C|C|C|C|C|C|C}
$n$ & $1$& $2$& $3$& $4$& $5$& $6$& $7$& $8$&$\dots$ \\ \hline
$a_n$& $4$& $0$& $-4$& $0$& $4$& $0$& $-4$& $0$&$\dots$ \\ \hline
$b_n$& $4$& $4$& $0$& $4$& \red{$8$}& $0$& $0$& $4$&$\dots$
\end{eqtabular}
\]
\end{frame}
\section{$\zeta \times \mu = 1$}
\begin{frame}\frametitle{オイラー積に隠れたメビウス関数}
ゼータ関数のオイラー積とメビウス反転の間にはどんな関係があるのか?
オイラー積表示はゼータ関数の逆数を計算していると思える．
\begin{align*}
\frac{1}{\zeta(s)} &= \prod_{p: \text{素数}}\left(1-\frac{1}{p^s} \right) \\
&= \frac{1}{1^s}-\frac{1}{2^s}-\frac{1}{3^s}-\frac{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}+\dots\\
&=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\red{\mu(n)}}{n^s}
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{形式的ディリクレ級数}
\begin{block}{定義: 形式的ディリクレ級数}
(複素)数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$に付随する形式的ディリクレ級数とは，(形式的)無限和
\[
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}
\]
のことをいう．
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{形式的ディリクレ級数}
数列$\mu(1),\mu(2),\mu(3),\dots$に対応する形式的ディリクレ級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}
\]
も単に$\mu$と書いてしまうことにする．
\[
\begin{eqtabular}{C|C}
数列& ディリクレ級数 \\ \hline
$1,1,1,1,1,\dots$ & $\zeta$ \\ \hline
$\mu(1),\mu(2),\mu(3),\mu(4),\dots$ & $\mu$ \\ \hline
$1,0,0,0,\dots$ & $1$ \\ \hline
約数個数関数 & $\zeta ^2$ \\ \hline
\end{eqtabular}
\]
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{形式的ディリクレ級数}
形式的ディリクレ級数の積は自然に定まる．
\begin{align*}
&\left(
\frac{3}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{4}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{5}{5^s}+\frac{9}{6^s}+\dots
\right)\\
\times & \left(
\frac{2}{1^s}+\frac{7}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{8}{4^s}+\frac{2}{5^s}+\frac{8}{6^s}+\dots
\right)\\
=& \ \ \frac{6}{1^s}+\frac{23}{2^s}+\frac{11}{3^s}+\frac{33}{4^s}+\frac{16}{5^s}+\frac{71}{6^s}+\dots
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{ゼータの逆数}
\begin{block}{定理: ゼータの逆数}
\[\zeta \times \mu = 1\]
\end{block}
\begin{block}{系: メビウス反転}
任意の形式的ディリクレ級数$\alpha, \beta$について，以下は同値．
\begin{itemize}
\item $\beta = \zeta \times \alpha$
\item $\alpha = \mu \times \beta$
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{ここまでのまとめ}
オイラー積もメビウス反転もゼータ関数の逆数の計算である．
\end{frame}
\section{進んだ話題の紹介: 圏による一般化}
\begin{frame}\frametitle{残った疑問}
\begin{itemize}
\item 自然数とその積の話をしていたのに，どこから形式的ディリクレ級数が出てきたのか?
\item 自然数のどんな性質がメビウス反転の理論を可能にしたのか?
\end{itemize}
メビウス反転の一般化は一つの答えを与えてくれる．
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{一般化メビウス反転}
Tom Leinsterの論文「Notions of Möbius inversion」では，(finely finite) category $\mathcal{C}$に関して$\zeta_{\mathcal{C}}$を定義し，$\zeta_{\mathcal{C}}$の逆数として$\mu_{\mathcal{C}}$を定義する．それにより一般化メビウス反転公式が得られる．
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{一般化メビウス反転の応用1}
多様な「総和とその逆演算」に統一原理を見出せ，組合せ論的に活用できる．
\[
\begin{eqtabular}{C|C}
圏& 一般化メビウス反転 \\ \hline
自然数と積& (古典的)メビウス反転 \\ \hline
非負整数と和& 「和差分の基本定理」 \\ \hline
有限集合の冪集合& 包除原理など \\ \hline
非負整数の大小& 二項係数の漸化式など \\ \hline
有限集合と包含& 完全順列の数え上げなど \\ \hline
\vdots& \vdots \\
\end{eqtabular}
\]
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{一般化メビウス反転の応用2}
一般化メビウス反転の理論を用いると(位相空間のオイラー標数と整合的な)圏のオイラー標数を定義できる．圏のオイラー標数の特別な例に圏の濃度 (Groupoid Cardinality) があり，これは簡単に定義を勉強できる．印象的なフレーズとして「有限集合の個数は$e$」を紹介しておく．
\end{frame}
\begin{frame}\frametitle{参考文献}
\begin{itemize}
\item Tom Leinster. Notions of Möbius inversion, 2012.
\item Tom Leinster. The Euler characteristic of a category, 2006.
\item Gian-Carlo Rota. On the Foundations of Combinatorial Theory I. Theory of Möbius Functions, 1964.
\item John C. Baez, James Dolan. From Finite Sets to Feynman Diagrams, 2000.
\item Terence Tao. Counting objects up to isomorphism: groupoid cardinality, 2017.
\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}