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トポス模試__トポス模試（原案）.tex
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\newtheorem{prob}{問題}
\newtheorem{sprob}{問題案}
\newtheorem{ans}{解答}
\title{Math Power記念 数理空間トポス模試}
\author{トポスチューター一同}
\begin{document}
\maketitle
\noindent ※数理空間トポス模試という名前ですが、トポスに参加するために試験があるわけではありません。トポスは数学に関心のある中高生であれば誰でもご参加いただけます。
\noindent ※解答はMath Power当日の9/24に公開いたします。
\noindent ※もし解けた問題がある場合には、引用RTの形で解答を添付してもらえると嬉しいです（解けた方に賞品などがあるわけではありません）。
\section{問題}
\begin{sprob}\label{fib} （中澤）
$0$以上の整数$n$に対し、数列$F_n$を次のように定める。
\begin{align*}
F_{0}=0, \quad F_{1}=1, \quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}
\end{align*}
このとき、座標平面上の点列
\begin{align*}
\left(\frac{F_{2 n}}{F_{2 n+1}}, \frac{1}{F_{2 n+1}}\right)
\end{align*}
は全て同一円周上にあることを示し、その円の方程式を求めよ。
\end{sprob}
%出典：https://arxiv.org/pdf/2003.00852.pdf
\begin{sprob}\label{TM}（中澤）
次の数列の極限値を求めよ。
\begin{align*}
\frac{1}{2}, \frac{\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{3}{4}\right)}, \frac{\left(\frac{\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{3}{4}\right)}\right)}{\left(\frac{\left(\frac{5}{6}\right)}{\left(\frac{7}{8}\right)}\right)}, \ldots
\end{align*}
\end{sprob}
%出典：https://sites.math.washington.edu/~morrow/336_12/papers/christopher.pdf
\begin{sprob}\label{tan}（湯山）
\begin{enumerate}
\item すべての実数$u$について$\displaystyle \tan\left(\int_0^u \frac{dx}{x^2 + 1}\right) = u$が成り立つことを示せ。
\item $\dfrac{1}{\sqrt{13}}$と$\tan\dfrac{1}{\sqrt{14}}$はどちらが大きいか。
\end{enumerate}
\end{sprob}
\begin{sprob}\label{fib-asym}（湯山）
実数列$(a_n)_{n = 0}^\infty$が漸化式$a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_n$をみたすとする。
このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0$となるための、初期値$a_0, a_1$に関する必要十分条件を求めよ。
\end{sprob}
\newpage
\begin{prob}
\
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\begin{center}
\large \textbf{- 問題 -}
\end{center}
連続する$3$個の正整数の$3$乗の和が、再び正整数の$3$乗になるのは
\[3^3+4^3+5^3=6^3\]
だけか？
\end{minipage}
}
\end{center}
\end{prob}
\begin{sprob}\label{factor2022+27}（湯山）
多項式$x^{2022} + 27$を整数の範囲で因数分解せよ。
\end{sprob}
\begin{sprob}\label{diff-function}（洞）
連続関数$d:(0,\infty)\to \mathbb{R}$であって，$d(xy)=d(x)y+xd(y)$を満たすものを全て求めよ．
\end{sprob}
\begin{sprob}\label{Rubik}（洞）
ルービックキューブに対する操作$A$であって，条件「どんな状態のルービックキューブに対しても操作$A$を有限回繰り返せば全面揃えることができる」を満たすものは存在しないことを示せ．
\end{sprob}
\begin{sprob}\label{dice}(神尾)
$n$個のサイコロをふり、出た目の二乗の和が$7$の倍数となる確率を求めよ。
\end{sprob}
\begin{sprob}\label{frac-lin-transf}（湯山）
2つの関数$f_0(x) = x + 1$と$f_1(x) = \dfrac{x}{x + 1}$を考える。
$q$を正の有理数とするとき、$\{0, 1\}$の要素の有限列$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dotsc, \varepsilon_n$ ($n \geqq 0$とする)であって
$q = f_{\varepsilon_1}(f_{\varepsilon_2}(\dotsm(f_{\varepsilon_n}(1))\dotsm))$をみたすものがちょうど一つだけ存在することを示せ。
（$q = 1$の場合のみ$n = 0$とみなす）
\end{sprob}
\begin{sprob}\label{fibonacci-Nim}（安福）
２人のプレイヤーが次のようなゲームを行う．\\
$m$個の石からなる1つの山があり，以下のルールで交互に山から1つ以上の石を取っていく．最後に石を取れなくなったプレイヤーの負けである．
\begin{enumerate}
\item まず最初のプレイヤーは好きなだけ石を取る．ただし，全ての石を取ることはできない．
\item 以降は，直前のプレイヤーが取った石の個数の2倍以下の範囲で，石を取ることができる．
\end{enumerate}
このゲームにおいて，後手必勝となる初期局面の石の数$m$をすべて求めよ．
\end{sprob}
\begin{sprob}\label{c-f}（安福）
赤石2個，青石2個，緑石4個を正八角形の頂点に配置する方法は何通りあるか？ただし，裏返したり，回転して一致するものは同じものものとみなす．
\end{sprob}
\begin{sprob}\label{DeleteNim}（安福）
２人のプレイヤーが次のようなゲームを行う．\\
いくつかの石からなる$n$個の山があり，$2$人のプレイヤーは各手番で，以下の2つの操作を続けて行う．交互に操作を行い，最後に操作ができなくなくなったプレイヤーの負けである．
\begin{itemize}
\item 1つの山を選び，その山を削除する．
\item 残りの$n-1$山のうち，1つの山を選んで2つの山に分割する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
\begin{enumerate}
\item $n=2$のとき，ゲームの局面を$(x,y)$で表す．後手必勝となる$(x,y)$をすべて求めよ．
\item $n=3$のとき，ゲームの局面を$(x,y,z)$で表す．後手必勝となる$(x,y,z)$をすべて求めよ．
\end{enumerate}
\end{sprob}
\begin{sprob}\label{WQO}（湯山）
$(a_n)_{n = 1}^\infty$を正の有理数からなる数列とする。
さらに、どの正の整数$m, n$についても$m < n$のとき$\dfrac{a_n}{a_m}$は整数でないとする。
このとき正の整数の狭義単調増加列$n(1) < n(2) < n(3) < \dotsb$であって、次の2条件のいずれか一方をみたすものが存在することを示せ。
\begin{enumerate}
\item すべての正の整数$i$について、$\dfrac{a_{n(i)}}{a_{n(i + 1)}}$は$2$以上の整数である。
\item 相異なるすべての正の整数$i, j$について$\dfrac{a_{n(i)}}{a_{n(j)}}, \dfrac{a_{n(j)}}{a_{n(i)}}$はどちらも整数でない。
\end{enumerate}
\end{sprob}
\begin{sprob}\label{MyCoolLabelName}（作問者名）
*問題テンプレート（コピペして使ってください）*
\end{sprob}
\newpage
\section{解答}
\begin{ans}
最初の$3$点を通る円の式を求めると、$F_n$が
\begin{align*}
\left(\frac{F_{m}}{F_{m+1}}+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{F_{m+1}}\right)^{2}=\frac{5}{4}
\end{align*}
を満たすことを示せば良いことになり、これは帰納法により示せる。
\end{ans}
\begin{ans}
（収束性は後回し）極限の式を
\begin{align*}
D=\prod_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2 n+1}{2 n+2}\right)^{(-1)^{T_{n}}}
\end{align*}
と置く。この$T_n$は次のような数列として取れることを確かめる。\\
・$T_n$は$\{0,1\}$のいずれかである。\\
・$T_0=0$\\
・$T_{2n+1} \neq T_n$、$T_{2n} = T_n$\\
ここで$E$を
\begin{align*}
E=\prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n}{2 n+1}\right)^{(-1)^{T_{n}}}
\end{align*}
とすると
\begin{align*}
DE &=\frac{1}{2} \prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{(-1)^{T_{n}}} \\
&=\frac{1}{2} \prod_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2 n+1}{2 n+2}\right)^{(-1)^{T_{2 n+1}}} \prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n}{2 n+1}\right)^{(-1)^{T_{2n}}}\\
&=\frac{1}{2} D^{-1}E
\end{align*}
となり、
\begin{align*}
D=\sqrt{\frac{1}{2}}
\end{align*}
が求める極限値となる。
背景：ここに現れた数列$T_n$はThue-Morse数列と呼ばれるもので、興味深い性質を持つ。
\end{ans}
\begin{ans}
\
\begin{enumerate}
\item 容易なので略。
\item $\tan\dfrac{1}{\sqrt{14}} < \dfrac{1}{\sqrt{13}}$である。
1.と$\tan$の単調増加性より$\displaystyle I = \int_0^{1 / \sqrt{13}} \frac{dx}{x^2 + 1} > \frac{1}{\sqrt{14}}$を示せばよい。
$f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$とおくと$f''(x) = \dfrac{6 x^2 - 2}{(x^2 + 1)^3}$なので、$0 < x < \dfrac{1}{\sqrt{3}}$において$f(x)$は上に凸である。
よって4点$(0, 1), (0, 0), \left(\dfrac{1}{\sqrt{13}}, 0\right), \left(\dfrac{1}{\sqrt{13}}, \dfrac{13}{14}\right)$を頂点とする台形の面積を$S$とおけば
\[
I > S = \left(1 + \frac{13}{14}\right) \times \frac{1 / \sqrt{13}}{2}
= \frac{27}{28 \sqrt{13}} > \frac{1}{\sqrt{14}}
\qquad (\because 13 \times 28^2 < 14 \times 27^2)
\]
を得る（下図参照）。
\[
\begin{tikzpicture}[domain = -0.2:1, scale = 5]
\fill[color = gray!20] (0, 1) -- (0, 0) -- ({1/sqrt(13)}, 0) -- ({1/sqrt(13)}, 13/14) -- cycle;
\draw[-latex] (-0.2, 0) -- (1.2, 0) node[right] {$x$};
\draw[-latex] (0, 0) -- (0, 1.2) node[above] {$y$};
\draw ({1/sqrt(13)}, 0) -- ({1/sqrt(13)}, 13/14);
\draw plot (\x, {1/(\x*\x + 1)}) node[above right] {$y = \dfrac{1}{x^2 + 1}$};
\draw (0, 1) -- ({1/sqrt(13)}, 13/14);
\fill (0, 0) circle (0.1mm) node[below] {$(0, 0)$}
(0, 1) circle (0.1mm) node[above left] {$(0, 1)$}
({1/sqrt(13)}, 0) circle (0.1mm) node[below] {$\left(\dfrac{1}{\sqrt{13}}, 0\right)$}
({1/sqrt(13)}, 13/14) circle (0.1mm) node[above right] {$\left(\dfrac{1}{\sqrt{13}}, \dfrac{13}{14}\right)$};
\node at ({0.5/sqrt(13)}, 0.5) {$S$};
\end{tikzpicture}
\]
（補足：ほぼ同様の方法で$x \geq 3$のとき$\displaystyle \tan\frac{1}{\sqrt{x + 1}} < \frac{1}{\sqrt{x}}$が示せる。）
\end{enumerate}
\end{ans}
\begin{ans}
$\phi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}, \psi = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$とおく。
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \iff a_1 = \psi a_0$を示す。
線形代数や母関数などの知識を用いることにより、$a_n$の一般項はある実数定数$A, B$を用いて
\[
a_n = A \phi^n + B \psi^n
\]
と書ける（詳細は略）。
よって$\lvert \phi \rvert > 1, \lvert \psi \rvert < 1$より$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \phi^n = \infty, \lim_{n \to \infty} \psi^n = 0$であることに注意すると、
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} a_n = 0 &\iff A = 0\\
&\iff a_0 = B, a_1 = B \psi\\
&\iff a_1 = \psi a_0
\end{align*}
を得る。
背景：解析的組合せ論におけるC-finite sequenceの一般項と漸近挙動の解析の一例である。
\end{ans}
\begin{ans}
方程式
\begin{align*}
(x-1)^3+x^3+(x+1)^3=y^3
\end{align*}
が$x>1$で整数解を持つかどうかという問題である。$(x,y)=(4,6)$が解（つまり$3^3+4^3+5^3=6^3$）であり、これ以外に解が無いことを示す。
方程式を整理すると
\begin{align*}
y^3=3x(x^2+2)
\end{align*}
となる。よって$y=3y_1$と書け、これより方程式は
\begin{align*}
9y_1^3=x(x^2+2)
\end{align*}
となる。ここで$x$が偶数であることが次のようにしてわかる。
もし$x$が奇数とすると$x^2+2$は$3$で割れ、かつ$x$と$x^2+2$は互いに素であることから$x^2+2$は$9$で割れる。さらに$x$と$(x^2+2)/9$が互いに素であることから、この２つの数が両方とも立方数となる。つまり
\begin{align*}
x &= k^3 \\
x^2+2 &= 9l^3
\end{align*}
と書ける。しかし$9$を法として考えるとこの条件は成り立たないことが分かる。実際$x^2+2$が$9$で割れるのは$x \equiv \pm 4\,(\text{mod }9)$の時のみであり、一方で$x$が立方数のとき$9$を法とした剰余は$0,\pm 1$のみであるから、これは両立しない。
よって$x=2x_1$と書け、これより方程式は
\begin{align*}
9y_1^3=4x_1(2x_1^2+1)
\end{align*}
となる。すると今度は$y_1$が偶数となり$y_1=2y_2$と書け、方程式は
\begin{align*}
18y_2^3=x_1(2x_1^2+1)
\end{align*}
となる。するとさらに$x_1=2x_2$と書け、結局方程式は
\begin{align*}
9y_2^3=x_2(8x_2^2+1)
\end{align*}
となる。×ところが、再び$9$を法として考えると$8x_2^2+1$は立方数になり得ないことが分かり×、かつ$x_2$と$8x_2^2+1$が互いに素であることから、$8x_2^2+1=9$となる。よって$(x_2,y_2)=(1,1)$が導かれる。以上より$(x,y)=(4,6)$となる。
背景：よく知られているように
\begin{align*}
x^3+y^3=z^3
\end{align*}
は非自明な整数解を持たない。これに対して、変数を１つ増やした
\begin{align*}
x^3+y^3+z^3=w^3
\end{align*}
は非自明な整数解を無限個持つ。今回得られた等式$3^3+4^3+5^3=6^3$は非自明な整数解の一例である。このような方程式については様々な研究や予想があるが、ここではインドの数学者ラマヌジャンの研究について触れよう。この方程式は$z$を$-z$に置き換えれば
\begin{align*}
x^3+y^3=w^3+z^3
\end{align*}
となり、これは2通りの2つの立方数の和で表せる数を表す。変数が全て正の整数の時、このような数のうち最小のものは$1729=12^3+1^3=10^3+9^3$であり、これは晩年のラマヌジャンの逸話に現れる数として有名である。一方、変数が必ずしも正でない場合には$1729$よりも小さい数が存在し、その場合の最小の数は今回の問題より得られた等式$3^3+4^3+5^3=6^3$より作られる$4^3+3^3=6^3-5^3$、つまり$91$である。ラマヌジャンは
\begin{align*}
x^3+y^3=z^3+w^3
\end{align*}
の整数解を無限個与える式として
\begin{align*}
\left(6 A^{2}-4 A B+4 B^{2}\right)^{3}+\left(-3 A^{2}-5 A B+5 B^{2}\right)^{3}=\left(4 A^{2}-4 A B+6 B^{2}\right)^{3}+\left(5 A^{2}-5 A B-3 B^{2}\right)^{3}
\end{align*}
を与えており、$(A,B,C)=(1,0,0)$のケースが今回の等式を与える。
なお、$91$は数理空間トポスの顧問でもある加藤文元先生がその著書『宇宙と宇宙をつなぐ数学』の初版の中で素数と間違えた数として、一部で「ブンゲン素数」と呼ばれる。
\end{ans}
\begin{ans}
$2022 = 337 \times 6$に注意して、$X = x^{337}$とおくと、
\begin{align*}
x^{2022} + 27 &= X^6 + 27 = (X^2)^3 + 3^3 = (X^2 + 3) (X^4 - 3 X^2 + 9)\\
&= (X^2 + 3) ((X^2 + 3)^2 - (3 X)^2) = (X^2 + 3) (X^2 + 3 X + 3) (X^2 - 3 X + 3)\\
&= (x^{674} + 3) (x^{674} + 3 x^{337} + 3) (x^{674} - 3 x^{337} + 3)
\end{align*}
と因数分解できる。
また、これら3つの因子はいずれもEisensteinの既約判定法により整数係数多項式として既約であることがわかる。
\end{ans}
\begin{ans}
答えは，$d(x)=ax \log x$($a$は実数)である．
条件を満たす$d$に対して，$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$を$f(x)=e^{-x} d(e^x)$と定めると，$f$はCauchyの関数方程式$f(x+y)=f(x)+f(y)$を満たすことがわかる．この時，$f(x)=ax$なる実数$a$が取れ，結果的には$d(x)=ax \log x$となるしかないことがわかる．
背景：シャノンエントロピーに出てくる式だが，シャノンエントロピーの圏論的(?)特徴づけでこのライプニッツ則が重要になるらしい．
\end{ans}
\begin{ans}
問題文が曖昧なので，想定解を書いておく．背理法で示す．もし条件を満たす操作があれば，ルービックキューブ群は巡回群になり，特にアーベル群になる．しかし，ルービックキューブ群は非可換なので矛盾する(例えば，辺を共有する二つの面について，$90$度回転操作を考えるとこれらは非可換)．
\end{ans}
\begin{ans}
（略解）
2乗和を7で割った余りが$\{0\},\{1,2,4\},\{3,5,6\}$の$3$つにわけ、
三項間漸化式を立てればとける。
離散フーリエ展開とガウス和を使っても解ける。
答えは$(6^n+3(\sqrt{-7}-1)^n+3(-\sqrt{-7}-1)^n)/(7\times6^n)$
\end{ans}
\begin{ans}
$q = \dfrac{a}{b}$を既約分数表示とする。
$f_0(q) = \dfrac{a + b}{b}$かつ$f_1(q) = \dfrac{a}{a + b}$であり、これらは再び既約分数表示であることに注意する（証明は略）。
$\max\{a, b\}$に関する数学的帰納法で証明する。
$a = b$のときは$q = 1$だから示すべきことは何もない。
$a > b$のとき、$q = f_{\varepsilon_1}(f_{\varepsilon_2}(\dotsm(f_{\varepsilon_n}(1))\dotsm))$と書けたとするならば、$\varepsilon_1 = 0$以外ありえない。
よって$q' = \dfrac{a - b}{b}$とおくと$q = f_0(q')$かつ$\max\{a - b, b\} < a = \max\{a, b\}$だから帰納法の仮定より$q'$は$q' = f_{\varepsilon_2}(\dotsm(f_{\varepsilon_n}(1))\dotsm)$とただ一通りに書くことができ、よって$q = f_{\varepsilon_1}(f_{\varepsilon_2}(\dotsm(f_{\varepsilon_n}(1))\dotsm))$とただ一通りに書ける。
$b > a$の場合も同様である。
背景：$\left\{\begin{psmallmatrix}1&1\\0&1\end{psmallmatrix}, \begin{psmallmatrix}1&0\\1&1\end{psmallmatrix}\right\}^*$が自由モノイドであるという結果を一次分数変換の言葉で言い換えたものである。
\end{ans}
\begin{ans}
$i$番目のフィボナッチ数を$F_i$とすると，$m=F_i$のときかつそのときに限り，後手必勝となる．\\
なお，この事実は「任意の正整数は連続しない相異なる1以上のフィボナッチ数の和で一意に表すことができる」というゼッケンドルフの定理を用いて示すことができる．
\end{ans}
\begin{ans}
コーシー・フロベニウスの定理より，
\begin{align*}
|X/G|&=\displaystyle\frac{1}{|D_8|}(420+0+0+12+0+0+12\times4+12\times4)\\
&=\displaystyle\frac{1}{16}\times528=33\ \ \ \ \ \text{よって，33通り．}
\end{align*}
\end{ans}
\begin{ans}
\begin{enumerate}
\item $n=2$のとき，$x$と$y$がともに奇数であるときかつそのときに限り，後手必勝となる．
\item $n=3$のとき，$v_2(x)=v_2(y)=v_2(z)$であるときかつそのときに限り，後手必勝となる（ただし，$v_2(n)$は非負整数$n$の$2$進付値である）．\\
非負整数全体を$\mathbb{Z}_{\geq 0}$とおく．一般に$p$進付値の定義は以下である．\\
$p$を素数とする．$n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$の$p$進付値$v_p(n)$は
\[v_p(n)=\left \{ \begin{array}{cc}
{\rm max}\{l \in \mathbb{Z}_{\geq 0} : p^l \mid n\} & (n\neq 0) \\
\infty & (n=0).
\end{array}\right.
\]
である．言い換えると，$n$の$p$進付値とは，$n$を$p$で割ることができる回数の最大数のことである．\\
なお，2進付値について，以下の性質が知られている．\\
正整数全体を$\mathbb{Z}_{>0}$とおく．
$z\in\mathbb{Z}_{>0}$かつ$v_2(z)\geq 1$であるとき，任意の非負整数$k<v_2(z)$に対し，$x+y=z$かつ$v_2(x)=v_2(y)=k$を満たすような$x,y\in\mathbb{Z}_{>0}$が存在する．\\
例えば，これを満たす$x,y$の例として，$x=z-2^k$, $y=2^k$があげられる．\\
この性質を用いることによって，上の事実を示すことができる．
\end{enumerate}
\end{ans}
\begin{ans}
背景：前順序(quasi-order/preorder)がwell-quasi-order (WQO)であることの2つの定義「どんな無限列も広義増加部分列を含む」と「無限狭義減少列も無限反鎖も持たない」が同値であることを、$\mathbb{Q}_{> 0}$上の順序$q \preceq r \overset{\textrm{def}}{\iff} r / q \in \mathbb{Z}$について確かめる問題である。
問題の証明そのものは無限グラフに関するRamseyの定理を用いるとできる。
\end{ans}
\begin{ans}
*解答テンプレート（コピペして使ってください）*
\end{ans}
\end{document}