\documentclass[dvipdfmx,14pt,notheorems, aspectratio=169]{beamer} \usepackage{array} \usepackage{eqparbox} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{positioning} \usepackage{tikz-cd} \usepackage{amsthm} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{graphics} \usepackage{graphicx} \graphicspath{ {./images/} } \usepackage{array,booktabs,float} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{positioning} \usepackage{url} \usepackage{mathtools} \usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont \newcommand{\cmark}{\ding{51}}% \newcommand{\xmark}{\ding{55}}% \graphicspath{ {images/} } %\usepackage{luatexja-fontspec} %\setmainjfont{MS Mincho} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{newunicodechar} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathcal{C}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Triv}{\mathrm{Triv}} \newcommand{\INE}{\mathrm{IsNonEmpty}} \newcommand{\IE}{\mathrm{IsEmpty}} \newcommand{\IS}{\mathrm{IsSingleton}} \newcommand{\BT}{\mathrm{BiTree}} \newcommand{\IsOdd}{\mathrm{IsOdd}} \newcommand{\IsEven}{\mathrm{IsEven}} \newcommand{\PPer}{\mathrm{PPer}} \newcommand{\Per}{\mathrm{Per}} \newcommand{\Cycle}{\mathrm{Cycle}} \newcommand{\SubSet}{\mathrm{SubSet}} \newcommand{\Arr}{\mathrm{Arr}} \newcommand{\Equiv}{\mathrm{Equiv}} \newcommand{\hsp}{\hspace{10pt}} \newcommand{\gf}{F} \newcommand{\ob}{\mathrm{ob}} \makeatletter \newcounter{eqtabular} \newsavebox\eqtabularbox \newcolumntype{C}{>{\begin{lrbox}{\eqtabularbox}}c<{\end{lrbox}% \eqmakebox [\the\c@eqtabular @eqtabular]% {\unhcopy\eqtabularbox}}} \newcolumntype{R}{>{\begin{lrbox}{\eqtabularbox}}c<{\end{lrbox}% \eqmakebox [\the\c@eqtabular @eqtabular][r]% {\unhcopy\eqtabularbox}}} \newenvironment{eqtabular}[2][c] {% \stepcounter{eqtabular}% \tabular[#1]{#2}% } {% \endtabular } \makeatother \usepackage{bxdpx-beamer} \usepackage{pxjahyper} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{arrows.meta} \tikzset{>={Latex[width=3mm,length=3mm]}} \newtheorem{definition}{Definition} \newtheorem{example}{Example} % 例環境の色の設定 \setbeamercolor{block title example}{bg=green!30, fg=black} % 例環境のタイトル部分の色を変更 \setbeamercolor{block body example}{bg=green!10, fg=black} % 例環境の本文部分の色を変更 \usetheme{Darmstadt} \usecolortheme{seahorse} \setbeamertemplate{items}[default] \setbeamertemplate{navigation symbols}{} \AtBeginSection[] { \begin{frame} \frametitle{Table of Contents} \tableofcontents[currentsection] \end{frame} } \title{オートマトン理論の道具としてのトポス} \author{洞龍弥} \institute[]{東京大学数理科学研究科博士1年} \date[2024年8月30日]{2024年8月30日\\} \begin{document} \begin{frame} \titlepage \end{frame} \section{自己紹介} \begin{frame}{自己紹介} \begin{description} \item[氏名] 洞龍弥 \item[所属1] 東京大学数理科学研究科博士1年 \item[所属2] 国立情報学研究所(NII)RA \item[興味] 最近は圏論，topos理論，coalgebra, など \end{description} \end{frame} \begin{frame}{個人的経験} % オートマトンは専門ではないが，個人的には特別な存在． \begin{enumerate} \item[B1] 進化論の授業でオートマトンを知る．(注) \item[B1]圏論的な最小化問題について自由研究をする．[pdf 1] % (implicitにtoposに触れる) \item[B4] Sipserでオートマトンを学ぶ．[pdf 2] % Powerset constructionの豊穣圏的な \item[M?] オートマトンがトポスを為すことに気づく． \item[M2] Sin'ya先生の話を聞き，profinite group toposとの関係に気づく \item[D1] 局所有限オートマトンがトポスを為すことに気づく．(本気になる！) \item[D1] word-action toposでtoposの未解決問題が解ける!(j.w.w. Yuhi Kamio) \end{enumerate} \end{frame} \begin{frame}{この発表で伝えたいこと:} \begin{enumerate} \item[\xmark] Topos理論との詳細な関係を解説(pdf執筆中) \item[\xmark] オートマトン理論がtopos theoristにとってなぜ興味深いか \item[\xmark] オートマトン理論の層理論($\simeq$topos理論)的な幾何学的再解釈 \item[\xmark] なぜ今，このテーマが現実的なのか？ (Morgan) \item[\cmark] \textbf{オートマトン理論においてtopos理論が有用かもしれないこと} \end{enumerate} \end{frame} \input{WholePicture} \begin{frame}{橋の建設} Topos理論(や圏論)は，多くの数学の分野に橋をかけてきた． \pause 正直，橋がかかりそうな場所はまだ大量にある．大事なのは，次を問うこと． \begin{itemize} \item 橋を通じて何を運びたいか？ \item それを運べるだけの強靭な橋を作れるか？ \end{itemize} トポスによる架橋という意味では，オートマトン理論と幾何学に一番可能性を感じている． \end{frame} \begin{frame}{} トポスがオートマトン理論に何をもたらせるか \begin{itemize} \item 統一言語として \begin{itemize} \item coalgebraic approach \item algebraic approach (classes of (finite) monoids) \item Topological (profinite) approach \item ... \end{itemize} \item 幾何学との橋として \begin{itemize} \item Sheaf theoretic intuition \item 幾何学的不変量 (fundamental group, cohomology, ...) \item Galois theory \end{itemize} \end{itemize} \end{frame} \section[導入]{導入: Grothendieckの肩に乗る} \begin{frame}{Toposとは: 権威主義タイム(1/3)} \begin{columns} \begin{column}{0.3\textwidth} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=1\linewidth]{Alexander_Grothendieck.jpg} \caption{Grothendieck} \end{figure} \end{column} \begin{column}{0.7\textwidth} \textit{トポスのテーマは，スキームのテーマから生まれました．スキームが出現したのと同じ年です---しかしトポスのテーマは，その広がりにおいては，遥かに源になったスキームのテーマを超えています．} \end{column} \end{columns} \end{frame} \begin{frame}{Toposとは: 権威主義タイム(2/3)} \begin{columns} \begin{column}{0.3\textwidth} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=1\linewidth]{Alexander_Grothendieck.jpg} \caption{Grothendieck} \end{figure} \end{column} \begin{column}{0.7\textwidth} \textit{幾何学と代数，トポロジーと数論，数理論理とカテゴリー論，連続の世界と「不連続」または「離散」構造の世界が結び合う，この「ベッド」，あるいはこの「深い川」は，スキームのテーマではなくて，トポスのテーマです．} \end{column} \end{columns} \end{frame} \begin{frame}{Toposとは: 権威主義タイム(3/3)} \begin{columns} \begin{column}{0.3\textwidth} \begin{figure} \centering \includegraphics[width=1\linewidth]{Alexander_Grothendieck.jpg} \caption{Grothendieck} \end{figure} \end{column} \begin{column}{0.7\textwidth} スキームのテーマが新しい幾何学の核心としてあるとすれば，トポスのテーマはこの幾何学の外皮あるいは住まいです．それは，豊かな幾何学的響きを持つ同一の言語によって，\textbf{数学上の事柄からなる広大な宇宙のあれこれの地域から由来する，相互に非常に隔たった状況に共通する「エッセンス」を繊細に捉える}ために私がひろく構想したものです． \end{column} \end{columns} \end{frame} \begin{frame}{先例: トポスの生まれと数論幾何学} Grothendieckは，Weil予想(リーマン予想の有限体類似)を解くために，幾何学を操作論的に刷新した． \[ \text{空間} \leftarrow\text{操作} \] これにより，数論を含むまでに空間概念を拡張し，数論に"幾何学的操作"を輸入した． \end{frame} \section{統一言語として} \begin{frame}{記法} \begin{itemize} \item $\Sigma$は(有限とは限らない) set of alphabets. \item $\Sigma^*\coloneqq \coprod_{n\geq 0}\Sigma^n$は$\Sigma$の有限文字列の集合． \item $\Sigma$-setとは，$(X,\delta\colon X\times \Sigma\to X)$.言い換えれば，集合$X$への右$\Sigma^*$作用 \item Automatonとは，$(X, \delta\colon X\times \Sigma \to X, F\subset X)$のこと．(始点はデータに入れない．) \end{itemize} \end{frame} \begin{frame}{圏論} \begin{definition}[圏(理解しなくていい)] 圏とは，\textbf{対象}の集まりと\textbf{射}の集まり(と\textbf{射の合成}と\textbf{恒等射})であって，単位律と結合法則を満たすもの． \end{definition} \begin{itemize} \item 集合と写像は圏をなす． \item グラフとグラフ準同型は圏をなす． \item \end{itemize} \end{frame} \begin{frame}{Coalgebra} \begin{definition}[Coalgebra] 圏$\C$上の自己関手$T\colon \C \to \C$のcoalgebraとは，対象$X\in \ob(\C)$と射$\theta\colon X\to TX$の組$(X,\theta)$のこと． \end{definition} \begin{example}[$\Sigma$-set] $\Set$上の自己関手$X\mapsto X^{\Sigma}$のcoalgebraは，$X\to X^{\Sigma}$. つまり，$\Sigma^{\ast}$-set. \end{example} \begin{example}[Automaton] $\Set$上の自己関手$X\mapsto X^{\Sigma}\times \{\top, \bot\}$のcoalgebraは，$X\to X^{\Sigma}\times \{\top, \bot\}$. つまり，automaton. \end{example} \end{frame} \section{幾何学との橋として} \section[計算するべきこと]{計算するべき(できる)ことがたくさん！} \end{document} \begin{frame}{} \end{frame}