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main.tex
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\AtBeginSection[]
{
\begin{frame}
\frametitle{Table of Contents}
\tableofcontents[currentsection]
\end{frame}
}
\title{オートマトン理論の道具としてのトポス}
\author{洞龍弥}
\institute[]{東京大学数理科学研究科博士1年}
\date[2024年8月30日]{2024年8月30日\\}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
\section{自己紹介}
\begin{frame}{自己紹介}
\begin{description}
\item[氏名] 洞龍弥
\item[所属1] 東京大学数理科学研究科博士1年
\item[所属2] 国立情報学研究所(NII)RA
\item[興味] 最近は圏論，topos理論，coalgebra, など
\end{description}
\end{frame}
\begin{frame}{個人的経験}
% オートマトンは専門ではないが，個人的には特別な存在．
\begin{enumerate}
\item[B1] 進化論の授業でオートマトンを知る．(注)
\item[B1]圏論的な最小化問題について自由研究をする．[pdf 1]
% (implicitにtoposに触れる)
\item[B4] Sipserでオートマトンを学ぶ．[pdf 2]
% Powerset constructionの豊穣圏的な
\item[M?] オートマトンがトポスを為すことに気づく．
\item[M2] Sin'ya先生の話を聞き，profinite group toposとの関係に気づく
\item[D1] 局所有限オートマトンがトポスを為すことに気づく．(本気になる！)
\item[D1] word-action toposでtoposの未解決問題が解ける!(j.w.w. Yuhi Kamio)
\end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame}{この発表で伝えたいこと:}
\begin{enumerate}
\item[\xmark] Topos理論との詳細な関係を解説(pdf執筆中)
\item[\xmark] オートマトン理論がtopos theoristにとってなぜ興味深いか
\item[\xmark] オートマトン理論の層理論($\simeq$topos理論)的な幾何学的再解釈
\item[\xmark] なぜ今，このテーマが現実的なのか？ (Morgan)
\item[\cmark] \textbf{オートマトン理論においてtopos理論が有用かもしれないこと}
\end{enumerate}
\end{frame}
\input{WholePicture}
\begin{frame}{橋の建設}
Topos理論(や圏論)は，多くの数学の分野に橋をかけてきた．
\pause
正直，橋がかかりそうな場所はまだ大量にある．大事なのは，次を問うこと．
\begin{itemize}
\item 橋を通じて何を運びたいか？
\item それを運べるだけの強靭な橋を作れるか？
\end{itemize}
トポスによる架橋という意味では，オートマトン理論と幾何学に一番可能性を感じている．
\end{frame}
\begin{frame}{}
トポスがオートマトン理論に何をもたらせるか
\begin{itemize}
\item 統一言語として
\begin{itemize}
\item coalgebraic approach
\item algebraic approach (classes of (finite) monoids)
\item Topological (profinite) approach
\item ...
\end{itemize}
\item 幾何学との橋として
\begin{itemize}
\item Sheaf theoretic intuition
\item 幾何学的不変量 (fundamental group, cohomology, ...)
\item Galois theory
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}
\section[導入]{導入: Grothendieckの肩に乗る}
\begin{frame}{Toposとは: 権威主義タイム(1/3)}
\begin{columns}
\begin{column}{0.3\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=1\linewidth]{Alexander_Grothendieck.jpg}
\caption{Grothendieck}
\end{figure}
\end{column}
\begin{column}{0.7\textwidth}
\textit{トポスのテーマは，スキームのテーマから生まれました．スキームが出現したのと同じ年です---しかしトポスのテーマは，その広がりにおいては，遥かに源になったスキームのテーマを超えています．}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{Toposとは: 権威主義タイム(2/3)}
\begin{columns}
\begin{column}{0.3\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=1\linewidth]{Alexander_Grothendieck.jpg}
\caption{Grothendieck}
\end{figure}
\end{column}
\begin{column}{0.7\textwidth}
\textit{幾何学と代数，トポロジーと数論，数理論理とカテゴリー論，連続の世界と「不連続」または「離散」構造の世界が結び合う，この「ベッド」，あるいはこの「深い川」は，スキームのテーマではなくて，トポスのテーマです．}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{Toposとは: 権威主義タイム(3/3)}
\begin{columns}
\begin{column}{0.3\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=1\linewidth]{Alexander_Grothendieck.jpg}
\caption{Grothendieck}
\end{figure}
\end{column}
\begin{column}{0.7\textwidth}
スキームのテーマが新しい幾何学の核心としてあるとすれば，トポスのテーマはこの幾何学の外皮あるいは住まいです．それは，豊かな幾何学的響きを持つ同一の言語によって，\textbf{数学上の事柄からなる広大な宇宙のあれこれの地域から由来する，相互に非常に隔たった状況に共通する「エッセンス」を繊細に捉える}ために私がひろく構想したものです．
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{先例: トポスの生まれと数論幾何学}
Grothendieckは，Weil予想(リーマン予想の有限体類似)を解くために，幾何学を操作論的に刷新した．
\[
\text{空間} \leftarrow\text{操作}
\]
これにより，数論を含むまでに空間概念を拡張し，数論に"幾何学的操作"を輸入した．
\end{frame}
\section{統一言語として}
\begin{frame}{記法}
\begin{itemize}
\item $\Sigma$は(有限とは限らない) set of alphabets.
\item $\Sigma^*\coloneqq \coprod_{n\geq 0}\Sigma^n$は$\Sigma$の有限文字列の集合．
\item $\Sigma$-setとは，$(X,\delta\colon X\times \Sigma\to X)$.言い換えれば，集合$X$への右$\Sigma^*$作用
\item Automatonとは，$(X, \delta\colon X\times \Sigma \to X, F\subset X)$のこと．(始点はデータに入れない．)
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{圏論}
\begin{definition}[圏(理解しなくていい)]
圏とは，\textbf{対象}の集まりと\textbf{射}の集まり(と\textbf{射の合成}と\textbf{恒等射})であって，単位律と結合法則を満たすもの．
\end{definition}
\begin{itemize}
\item 集合と写像は圏をなす．
\item グラフとグラフ準同型は圏をなす．
\item
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Coalgebra}
\begin{definition}[Coalgebra]
圏$\C$上の自己関手$T\colon \C \to \C$のcoalgebraとは，対象$X\in \ob(\C)$と射$\theta\colon X\to TX$の組$(X,\theta)$のこと．
\end{definition}
\begin{example}[$\Sigma$-set]
$\Set$上の自己関手$X\mapsto X^{\Sigma}$のcoalgebraは，$X\to X^{\Sigma}$. つまり，$\Sigma^{\ast}$-set.
\end{example}
\begin{example}[Automaton]
$\Set$上の自己関手$X\mapsto X^{\Sigma}\times \{\top, \bot\}$のcoalgebraは，$X\to X^{\Sigma}\times \{\top, \bot\}$. つまり，automaton.
\end{example}
\end{frame}
\section{幾何学との橋として}
\section[計算するべきこと]{計算するべき(できる)ことがたくさん！}
\end{document}
\begin{frame}{}
\end{frame}