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ロジックセミナー20251205__Older versions__main20251204.tex
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\title{選択公理とLocal state classifier(とpermutation model?)}
\author{Ryuya Hora}
\thanks{Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo. \url{hora@ms.u-tokyo.ac.jp}}
% % \date{\today}
% \subjclass[2020]{MSC}
% \keywords{Keywords}
\begin{document}
\begin{abstract}
この文章は，2025年12月5日のロジックセミナーの原稿である．まず，toposが(1)排中律を満たすこと(2)選択公理を満たすこととはそれぞれ何を意味するのかを，$4$つの具体的なtoposを通じて説明する．
その後，洞の研究との関連として，選択公理の破壊に部分群のnormal filterがいかにして現れているかをlocal state classifierという道具を用いて説明する．最後に，今後の研究テーマとして，local state classifierがtoposの選択公理を特徴づけるという予想を紹介する．
\end{abstract}
\maketitle
\tableofcontents
\ignore{無視すると幾らかの正確さが失われるが，}赤い文字は無視して良い．
\newpage
\section{イントロ}
\ignore{topos理論は論理学と幾何学の間に様々な橋を架けている．
\begin{itemize}
\item Geometric theoryの関手的意味論
\item Kripke-Joyal semantics
\item Mitchell-Bénabou language
\item G\"{o}del completeness and Deligne's existence theorem
\item Cohen topos and forcing topoi.
\item Brouwer's topos, in which every $f\colon \R \to \R$ is continuous.
\item Semantics of modal logic/type theory?
\item Effective topos and computability? 木原先生とか
\end{itemize}
全くestablishedではないが，個人的に興味がある話も複数ある．
\begin{itemize}
\item Subtopoi of $\Sigma$-$\Set$ and Cicho\'{n}'s diagram? (j.w.w. Morgan Rogers)
\item Internal choice of the condensed math (j.w.w. Ivan Tomasic)(+斎藤毅先生との研究室ローテーション)
\item Topos of games and game semantics (Ivan di liberti)
\item LSC and the axiom of choice (j.w.w. Matias Menni)
\item Representation theories of quivers, groups, profinite groups, and monoids as internal linear algebras on the weaker foundations.
\end{itemize}}
\ignore{これら全てを概観するのは時間的にも私の基礎論の知識的にも難しいので，}
今日は\ignore{このうち}
\begin{itemize}
\item LSC and the axiom of choice
\end{itemize}
\ignore{のみ}について話す．
\ignore{特に，本来はなすべき思想の部分や，最も重要なアイデアであるtoposの内部言語について言及しないこととする．}
今日の発表の(ストーリー上の)目標は，次の予想の数学的内容を伝えることである．
\begin{conjecture}
Grothendieck topos $\E$について，$\E$が選択公理を満たすこととと，以下の$2$条件を同時に満たすことは，同値である．
\begin{itemize}
\item $\E$は排中律を満たす．
\item $\E$のLSC $\Xi$は最小元をもつ．
\end{itemize}
\end{conjecture}
\ignore{いくつかの状況証拠から，これはかなりありうる話だし，もしこれが正しければ私の知る限り選択公理が成り立つか調べる最も単純な方法になる．}
私個人の目的は，toposの選択公理の話と，林さんが話していたような有限選択公理やpermutation model?とかで現れる群論の話との類似/関連について指摘していただくこと．
\newpage
\section{予備知識}
要望に応じて，以下を解説する．これらは基本的な圏論の教科書(例えば\cite{awodey2010category, riehl2017category, Maclane1998CWMcategories, leinster2014basic})に書いてある．
\begin{itemize}
\item 圏
\item limit，colimit
\item 指数対象
\end{itemize}
\newpage
\section{Toposと四つの例}
\ignore{先週に引き続き，toposといえばGrothendieck toposを指すことにする．}
\begin{definition}[topos]
toposとは\ignore{局所小}圏$\E$であって，\ignore{次の}条件を満たすものである．\ignore{
\begin{itemize}
\item ある小圏$\C$が存在し，
\item $\C$の前層圏$\PSh(\C)\coloneqq \Func{\C^{\op}}{\Set}$に$\E$は忠実充満に埋め込め$i\colon \E \hookrightarrow \PSh(\C)$,
\item さらに埋め込み$i$は左随伴$L\dashv i$を持ち，
\item さらに$L$は有限limitを保つ.
\end{itemize}
}
\end{definition}
\ignore{Toposは$\Set$に似た圏である．本来はその類似を「toposの内部言語」を用いて説明すべきなのだが，その時間はない．} 今日はtoposの定義を解説することなく，(恣意的に選んだ)$4$つの例を通じて伝えることにする．
\begin{example}[例1: $\Set$: 集合]
集合と写像のなす圏$\Set$はtoposである．
\end{example}
\begin{example}[例2: $\NSet$: 時間発展する集合]
$\NSet$の対象は，集合$X$と自己写像$f\colon X \to X$の組$(X,f)$である．射$h\colon (X,f)\to (Y,g)$は写像$h\colon X \to Y$であって，$gh=hf$なるもの．圏$\NSet$はtoposである．\ignore{これは，モノイド$\N$の作用のなす圏である．}
\end{example}
\begin{example}[例3: $\ZSet$: 可逆に時間発展する集合]
$\ZSet$の対象は，集合$X$と自己全単射$f\colon X \to X$の組$(X,f)$からなる$\NSet$のfull subcategoryである．$\ZSet$はtoposである．\ignore{これは，群$\Z$の作用のなす圏である．}
\end{example}
\begin{example}[例4: $\Loops$: 周期的に時間発展する集合]
$\Loops$の対象は，集合$X$と自己全単射$f\colon X \to X$の組$(X,f)$であって，
\[
\forall x\in X, \exists n>0, f^n(x)=x
\]
を満たすものからなる$\ZSet$のfull subcategoryである．
$\Loops$はtoposである．\ignore{これは，位相群$\hat{\Z}$の連続作用のなす圏である．}
\end{example}
% Requires: \usepackage{amssymb}
\begin{table}[h]
\centering
\caption{ネタバレ表}
\label{tab:placeholder_label}
\begin{tabular}{cccc}
& 排中律 & 選択公理 \\
$\Set$ & $\checkmark$ & $\checkmark$ \\
$\NSet$ & $\times$ & $\times$ \\
$\ZSet$ & $\checkmark$ & $\checkmark$ \\
$\Loops$ & $\checkmark$ & $\times$ \\
\end{tabular}
\end{table}
\newpage
\section{Toposの排中律}
\begin{fact}
任意のtopos $\E$とその対象$X$について，その部分対象全体のなす順序集合$\Sub_{\E}(X)$はHeyting algebraである．
\end{fact}
\ignore{
\begin{example}
位相空間$X$について，その開集合のなすHeyting algebra $\mathcal{O}(X)$も，この形で現れる．実際，$X$上の層のなすtopos $\Sh(X)$において，そのterminal object $1$の部分対象束$\Sub_{\Sh(X)}(1)$が$\mathcal{O}(X)$と一致する．これがtopological semanticsとの関係の一つ...のはず
\end{example}}
\begin{definition}
Topos $\E$が\demph{Boolean}である($=$排中律を満たす)とは，任意の対象$X\in \ob(\E)$について，その部分対象束$\Sub_{\E}(X)$がBool代数であることをいう．
\end{definition}
\ignore{
\begin{fact}[排中律との関係]
topos $\E$について，$\E$がBooleanであることと，$\E$の内部言語で
\[
1_{\E}\Vdash \forall p\in \Omega, p\lor{\lnot p}
\]
が成立することと等価である．
\end{fact}
}
\yodan{任意の部分toposがclopenなこととも同値で，排中律の持つ幾何学的な"バラバラさ"の一つの現れである． (もう一つの現れはStone dual)}
\begin{example}[${\Set}$はBoolean]
$\Set$では，対象$X$の部分対象束は$\Pow(X)$であり，ブール代数になる．
\end{example}
\begin{example}[${\NSet}$はBooleanでない]
集合と自己写像 $(X, f\colon X \to X) \in \ob(\NSet)$では，$\Sub_{\NSet}(X,f)$は$X$の部分集合であって$f$の作用で閉じているもの
\[
\Sub_{\NSet}(X,f)=\{S\subset X\mid \forall x\in S, f(x)\in S\}
\]
からなるHeyting algebra. $(X,f)=(\mathbb{F}_2, \times 0)$とすると，$\Sub_{\NSet}(X,f)$は$3$元Heyting algebra $\{\}<\{0\}<\{0,1\}$になる．
\end{example}
\begin{example}[${\ZSet}$と${\Loops}$はBoolean]
集合と自己全単射 $(X, f\colon X \to X) \in \ob(\Loops)\subset\ob(\ZSet)$では，$\Sub_{\NSet}(X,f)$は$X$の部分集合であって群$\Z$の作用で閉じているもの
\[
\Sub_{\ZSet}(X,f)=\{S\subset X\mid \forall x\in S, \forall n\in \Z, f^n(x)\in S\}
\]
からなるHeyting algebra. $(X,f)$の$\Z$作用の軌道の集合を$\pi_0(X,f)$と書くことにすると，$\Sub_{\ZSet}(X,f)\cong \Pow(\pi_0(X,f))$であり，これはブール代数である．
\end{example}
Boolean toposが重要な集合論的な理由は，そこからZFのモデルができることらしい．
\begin{quote}
\cite[Section VI. Topoi and Logic]{maclane1994sheaves} any Boolean Grothendieck topos $\F$ gives a model of Zermelo--Fraenkel set theory, constructed by mimicking within $\F$ the standard formulation of the cumulative hierarchy.
\end{quote}
\newpage
\section{Toposの選択公理}
\subsection{選択公理を満たすtopos}
\ignore{
「topos $\E$が選択公理を満たす」という条件は，本来なら$\E$の\dq{内部言語}を用いて，
\[
1_{\E}\Vdash \forall f \in Y^X \left((\forall y\in Y, \exists x\in X,f(x)=y)\to (\exists s\in X^Y, \forall y \in Y, fs(y)=y)\right)
\]
と定義する．(cf. \cite[312]{maclane1994sheaves}) しかし，これと同値であることが知られている次の条件を今日は定義にする．
}
\begin{fact}[指数対象]
topos $\E$と任意の対象$X,Y\in \ob(\E)$について，ある対象$Y^X\in \ob(\E)$が\ignore{up to canonical isoで一意に}存在し，
\[
\E(Z,Y^X)\cong \E(Z\times X, Y)
\]
が任意の$Z$について\ignore{$X,Y,Z$についてnaturalに}成立する．この対象$Y^X$を\demph{指数対象}と呼ぶ．$X$を固定し，対象$Y$を$Y^X$に送\ignore{り，射も普遍性で定まるものに送}る関手$\E \to \E$を\demph{指数関手}と言い，${-}^X\colon \E \to \E$とかく．
\end{fact}
\begin{definition}
Topos $\E$が\demph{選択公理\footnote{topos理論に出てくる選択公理には外部選択公理と内部選択公理の$2$種類があり，今回は内部選択公理の方．内部が我々にとって嬉しい方で，実際，独立性証明で使われるのはこっちらしい．}を満たす}とは，任意の対象$X$についてその指数関手
\[
{-}^X\colon \E \to \E
\]
がepi射\footnote{今日の$4$つの例では，射$h$がepi射であることと$h$が(写像として)全射であることは同値である．}を保つことをいう．
\end{definition}
\begin{example}[$\Set$は選択公理を満たす．]
$\E=\Set$の場合を考える．集合$X,Y$についてその指数$Y^X$は単に$X$から$Y$への写像全体の集合のこと．集合$X$を固定したとき，指数関手${-}^X\colon \Set \to \Set$
% は単にHom関手$\Set(X,-)$のこと．これ
がepi射=全射$f\colon Y \to Z$を保つというのは，
\[
\begin{tikzcd}
&Y\ar[d,"f", twoheadrightarrow]\\
X\ar[r, "h"]\ar[ru, dashed, "\exists ! \hat{h}"]&Z
\end{tikzcd}
\]
という条件．これは選択公理．よって，(あなたが選択公理を認めれば)$\Set$は選択公理を満たす．
\end{example}
\begin{example}[$\ZSet$は選択公理を満たす．]
$\ZSet$では，指数対象${(Y,g)}^{(X,f)}$は写像全体の集合$Y^X$に$\Z$作用
\ignore{，具体的には\[(\phi \colon Y \to X)* 1\coloneqq g\circ \phi\circ f^{-1}\]}を入れたものになっている．よって，epi=全射を保つ．
\end{example}
\ignore{
\begin{example}[Cohen topos]
任意の順序集合$\mathbb{P}$について，$\Sh(\mathbb{P}, \lnot\lnot)$は選択公理を満たす．\cite[Section VI.2 The Cohen topos]{maclane1994sheaves}ではこのようにして，排中律と選択公理\footnote{ここではより強い意味の選択公理(=外部選択公理)が成り立ち，そちらが言及されているのだが．}を満たすがCHを満たさないtoposの構成が解説されている\footnote{Kunenで見たCohen forcingと同じことをしている．見比べるとSGLの方が無限組合せ論のパートが一箇所短いのだが，これはシンプルにSGLの誤りだった．}．
\end{example}
}
\subsection{選択公理を満たさないtopos}
\begin{proposition}
Grothendieck topos $\E$が選択公理を満たすとき，$\E$は排中律を満たす．
\end{proposition}
\begin{example}[$\NSet$は選択公理を満たさない]
$\NSet$は排中律を満たさないので，選択公理も満たさない．
\end{example}
\begin{proposition}
Grothendieck topos $\E$が選択公理を満たすとき，$\E$のinhabited objects\footnote{今日の$4$つの例では，objectがinhabitedであることとその台集合が元を持つことは同値である．}はsmall productをとる操作で閉じている．
\end{proposition}
\begin{example}[$\Loops$は選択公理を満たさない]
$\Loops$における対象族$\{(X_i, f_i)\}_{i\in I}$のproductは，以下のように構成される:
\begin{enumerate}
\item まず，台集合のproduct$\prod_{i\in I} X_i$をとる．
\item その後，自己写像$\left(\prod_{i\in I}f_i \right)\colon (x_i)_{i\in I}\mapsto (f_i(x_i))_{i\in I}$で有限回で戻ってくる元に制限する
\[
\prod_{i\in I}(X_i,f_i)=\left(\{(x_i)_{i\in I}\mid \exists n>0,\forall i\in I, f_i^n(x_i)=x_i\}, \prod_{i\in I}f_i\right)
\]
\end{enumerate}
すると，$C_n\coloneqq(\Z/n\Z, +1)$はinhabited objectだが，
\[
\prod_{n=1}^{\infty} C_n = \emptyset
\]
である．よって，$\Loops$のinhabited objectはsmall productで閉じておらず，$\Loops$は選択公理を満たさない．
\end{example}
\yodan{non-empty objects (=open dense support)は閉じていない．(Baire空間でやると...?)}
\memo{proof書く}
\newpage
\section{LSC and normal filter}
$\ZSet$と$\Loops$の関係は，次の$2$つの方法で捉えられる:
\begin{itemize}
\item[(a)] $\Loops$は$\ZSet$のfull subcategoryであって，幾つもの操作で閉じたもの．
\item[(b)] $\Loops$は$\ZSet$のうち，$\Z$-actionのstabilizerに制約(空でない)を設けたものである．
\end{itemize}
\subsection{(a) 超連結商topos}
\begin{definition}
Grothendieck topos $\E$の\demph{超連結商topos}
% \footnote{これは普通の定義ではない．普通の定義との同値性は，Vopenka principleを仮定すると知られているが，仮定せずに示せるかは多分まだ未解決...?\memo{cite}}
とは，$\E$のfull subcategory $\E\supset \F$であって以下の条件を満たすもの
\begin{itemize}
% \item $\F$は($\E$の)有限limitで閉じている．
% \item $\F$はsmall colimitで閉じている．
\item $\F$は有限直積で閉じている．
\item $\F$はsmall 直和\footnote{今日の$4$つの例では，単に台集合を直和したもの．}で閉じている．
% \end{itemize}
% \demph{超連結商topos} (hyperconnected quotient) とは，商topos$\E\supset\F$であってさらに追加の条件
% \begin{itemize}
\item $\F$は部分対象をとる操作で閉じている．
\item $\F$は剰余対象\footnote{今日の$4$つの例では，単に作用と整合的な剰余集合．}をとる操作で閉じている．
\end{itemize}
をいう．
% を満たすことをいう．
\end{definition}
\begin{example}
$\Loops$は$\ZSet$の超連結商toposである．
\end{example}
\begin{proposition}
Grothendieck topos の超連結商toposはGrothendieck toposである．
さらに，Grothendieck topos $\E$が排中律を満たすなら，$\E$の超連結商toposも排中律を満たす\footnote{排中律$p\lor \lnot p=\top$や(ドモルガン則?)$\lnot p \lor \lnot\lnot p=\top$などの\dq{等式的な}条件はすべて保たれる．}．しかし，一般に選択公理は遺伝しない．
\end{proposition}
\yodan{超連結商toposは，商toposというより広い概念の特別な場合である．しかし，排中律が成り立つtoposの商toposは必ず超連結になるので，排中律の成り立つtoposに興味がある今日は無視することにした．ちなみに，$\ZSet$は$\NSet$の商toposだが，超連結商toposではない．(cf. \cite{hora2024quotient})}
\yodan{Boolean topos $\E$で基礎の公理が成り立つ理由は一般にはなく，成り立たせるためにvon Neumann hierarchyの類似でwell-founded part $\E \supset\E_{\mathrm{w.f.}}$をとる．これは典型的な超連結商toposである．}
\subsection{(b) Local state classifier}
では，$\ZSet\supset \Loops$に見られるような\dq{Stabilizerに関する制約}はtopos理論的にどのように捉えられるのだろうか？その回答であるlocal state classifierについて，\cite[Section 2]{hora2025normalizationv1}に基づいて簡単に説明する．
もう少し血の通った説明，証明，例などは元論文\cite{hora2024internal}にある．
\subsubsection{定義}
\begin{definition}[{\cite[][Definition 3.4]{hora2024internal}}]
圏 $\E$ の\demph{local state classifier} (以下，LSC) とは，$\E$ のすべてのmono射のcolimitのことである．つまり，対象 $\Xi$ と射の族 $\{\xi_X \colon X \to \Xi\}_{X\in \ob(\E)}$であって，埋め込み関手 $\E_{\mono}\rightarrowtail \E$のcolimit coconeになるものである．
\end{definition}
このような大きなcolimitは大抵の場合存在しない\footnote{cf. \url{https://ncatlab.org/nlab/show/large\%2Bcocompleteness}}が，次を示せる．
\begin{proposition}[{\cite[][Section 3.16]{hora2024internal}}]\label{prop:ExistenceForGrothendieck}
任意のGrothendieck topos $\E$ はLSCを持つ．
\end{proposition}
\begin{example}[$\GSet$，特に$\ZSet$]
群$G$について，$\GSet$のLSCは，$G$の部分群全体からなる順序集合$\Sub_{\Grp}(G)$に，共役作用を入れたものである．$\xi_{X}\colon X \to \Xi$は，各元$x\in X$をそのstabilizerに送る．特に，$\ZSet$では$\Xi$は
% 非負整数\footnote{$\Z$の部分群は一意的な非負整数$n\in \N$で$n\Z$とかけるので．}の集合に自明作用を入れたもの
$\{n\Z\mid n\geq0\}$への自明な$\Z$作用
になる．
\end{example}
\subsubsection{LSCのfilterが誘導する full subcategory}\label{sssec:InducedFullSub}
次に，LSC $\Xi$ の任意の部分対象から $\E$ のfull subcategoryを構成できることを解説する．
圏$\E$ がLSC $\Xi$ をもつとして，
任意の部分対象 $\iota_F\colon F \rightarrowtail\Xi$
に対して，次の条件でfull subcategory $\E_F \hookrightarrow \E$ を定める．
\begin{equation}\label{eq:FullSubCondition}
X\in \ob(\E_F)
\iff
\begin{tikzcd}
& F\ar[d, rightarrowtail, "\iota_F"]\\
X\ar[r,"\xi_X"']\ar[ru, dashed, "\exists"]&\Xi.
\end{tikzcd}
\end{equation}
つまり，full subcategory $\E_F$ を
\[
\ob(\E_F) \coloneqq \{X\in \ob(\E)\mid \text{射 $\xi_X$ が $F\rightarrowtail \Xi$ を経由する}\}
\]
で定める．
\begin{example}[$\GSet$，特に$\ZSet$]
$\GSet$では，$\Xi$の部分対象$F\subset \Xi$というのは，$G$の部分群からなる集合であって，$G$の共役作用で閉じたものになる．そして，$\GSet_{F}$は
\[
\{X\in \ob(\GSet)\mid \text{$X$の任意の元$x$について，そのstabilizerは$F$に属す}\}
\]
となる．例えば，$\ZSet$で\[F\coloneqq \{n\Z\mid n>0\}\subset \{n\Z\mid n\geq0\}=\Xi\]とすると，$\ZSet_{F}=\Loops$となる．
\end{example}
\subsubsection{LSCの半束構造}
LSCは，圏 $\E$ のproduct構造を反映した半束構造を持つ．(ここが選択公理っぽさ！)
\begin{proposition}[{\cite[][Proposition 3.27]{hora2024internal}}]\label{prop:SemilatticeStructure}
topos $\E$ のLSC $\{\xi_X\colon X\to \Xi\}_{X\in \ob (\E)}$ は，以下の条件を満たす内部 $\land$-半束構造をただ一つ持つ．
\begin{itemize}
\item 任意有限個の対象 $X_1, \dots, X_n \in \ob(\E),\; n\geq 0$ に対して
\[
\begin{tikzcd}[column sep =5pt]
&X_1\times \dots \times X_n \ar[ld, "(\xi_{X_1}) \times \dots \times (\xi_{X_n})"']\ar[rd, "\xi_{(X_1 \times \dots \times X_n)}"]&\\
\Xi^n\ar[rr,"\land"']&&\Xi
\end{tikzcd}
\]
が可換になる．
\end{itemize}
\end{proposition}
\begin{example}
$\GSet$では，部分群のintersectionをとる操作になる．$(x,y)\in X\times Y$のstabilizerは，$x\in X$のstabilizerと$y\in Y$のstabilizerのintersectionなので．誘導される順序構造は，単に$G$の部分群の包含関係と一致する．
\end{example}
% この内部半束構造は，各対象 $X\in \ob(\E)$ に対し，$\Xi$ へのホム集合 $\E(X,\Xi)$ の上に（通常の）半束構造を誘導する．したがって，各ホム集合 $\E(X, \Xi)$ には，$f\leq g \iff f\land g =f$ によって自然な半順序が入る．
\subsubsection{The classification theorem}
% 部分対象 $\iota_F \colon F \rightarrowtail \Xi$ が\demph{internal filter}であるとは，各包含写像 $\E(X,F) \rightarrowtail \E(X,\Xi)$ の像が通常の意味でfilter（すなわち，上に閉じていて，有限積 $\top, \land$ に関して閉じている部分集合）となることをいう．（\cite{hora2024internal} では，局所的大圏に対しても意味を持つように，著者はinternal filterの図式的な定義を採用している．）
一旦，\dq{internal filter}という言葉をブラックボックスにして話をする．
\cite{hora2024internal} では，$\E$がtoposで
部分対象 $F\rightarrowtail\Xi$ がinternal filterなら，
誘導されるfull subcategory $\E\supset \E_F$が超連結商toposになることが示さる．その後，この構成$F\mapsto \E_F$が以下の一対一対応を与えることを示す．
\begin{theorem}[{\cite[][]{hora2024internal}の主定理\footnote{本当は，Grothendieck toposでないものに関しても示しているので，オリジナルより少し弱い主張になっている．}}]\label{thm:first}
任意のGrothendieck topos $\E$について，以下の$2$つのデータの間の一対一対応がある:
\begin{itemize}
\item LSC $\Xi$ のinternal filter $F\subset \Xi$
\item $\E$ の超連結商topos $\E\supset \E_F$
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{example}
群$G$について，$\GSet$における$\Xi$のinternal filter $F\subset \Xi$は以下のように書き下される:
Internal filter $F\subset \Xi$は$\Xi=\Sub_{\Grp}(G)$の部分集合，つまり$G$の部分群からなる集合，であって以下を満たすもの．
\begin{description}
\item[nullary inf] $G\in F$
\item[binary inf] 任意の$H, H'\in F$について $H\cap H'\in F$
\item[upward closed] $(H\in F \land H\subset H') \implies H'\in F$
\item[\dq{internal}] 任意の$H\in F$と$g\in G$について$gHg^{-1}\in F$
\end{description}
\end{example}
\ignore{
\begin{theorem}[{\cite{hora2025normalizationv1}の主定理}]\label{thm:second}
さらに，$\E$のLSC $\Xi$とそのinternal filter$F$について，\ignore{($F$は$\E_F$に属し，さらに)}$F$は$\E_F$のLSCになる．
\end{theorem}
}
\begin{example}\label{exmp:LSCofLoops}
$\Loops$は，$\ZSet$のLSC $\Xi=\{n\Z\mid n\geq0\}$と$\Xi$の部分対象$F=\{n\Z\mid n>0\}$を用いて
% $\ZSet$のについて，
$\Loops=\ZSet_{F}$と書けたのだった．従って，\Cref{thm:first}より
$\Loops$が$\ZSet$の超連結商であることと$F\subset \Xi$がinternal filterであることは同値である．もちろん，今回はどちらも真である．\ignore{\Cref{thm:second}より，$\Loops$のLSCは$F=\{n\Z\mid n>0\}$への自明作用である．}
\end{example}
% \begin{example}
% $\ZSet$のLSCは，$\{n\Z\mid n\geq0\}$への自明な$\Z$作用である．$F\coloneqq$
% \end{example}
\begin{example}[Schanuel topos(とpermutation model?)]\memo{知らないなりにNotationを寄せてみた}
$A$を可算無限集合とする．$A$上の置換(全単射自己写像の意味)全体からなる群を$\SymA$とかく．$\SymA\text{-}\Set$は排中律も選択公理も満たす．
一方，$\SymA$のinternal filter $F\subset \Sub_{\Grp}(\SymA)$を，「任意の有限集合$S\subset A$について
\[
\Fix(S)\coloneqq \{\sigma \in \SymA\mid \sigma\restriction_{S} =\id_{S}\}
\]
が$F$に入るような最小のinternal filter $F$」として定義する．すると，対応するtopos $\SymA\text{-}\Set_{F}$は\ignore{\demph{Schanuel topos} $\Sh(\FinSet^\op_{\mono}, \lnot \lnot)$と一致し，}排中律は満たすが選択公理は満たさない．\ignore{nLab\footnote{cf. nLab \url{https://ncatlab.org/nlab/show/Schanuel+topos}}には
\begin{quote}
It can be viewed as a category-theoretic variant of the Fraenkel-Mostowski model of set theory.
\end{quote}
と書いてある\footnote{LSCを使うところ以外は古典的な話のはずなので， \cite{fourman1980sheaf}とかを読むべき?}．}
\end{example}
\yodan{Choice in Galois topos}
\subsection{LSCと選択公理}
$\Loops=\ZSet_F$が選択公理を満たさない直感的な理由は，直積をするたびに元のstabilizer ($\in \Xi$)が$\Xi$のorderで小さくなっていって，\ignore{有限個の直積であれば，$F$がfilterであることが理由で飛び出ないのだが，無限になると}ついに$F$ \ignore{($=\Loops$のLSC. cf \Cref{exmp:LSCofLoops})}の下に飛び出てしまうからである．この直観のもと，次の予想が考えられる．
\begin{conjecture}\label{conj:ac}
Boolean Grothendieck topos $\E$について，以下は同値
\begin{itemize}
\item $\E$は選択公理を満たす．
\item $\E$のLSCは最小元$\bot \colon 1_{\E} \to \Xi$を持つ．
\end{itemize}
\end{conjecture}
\ignore{
\Cref{conj:ac}は，次の幾何的な予想の特別な場合である．
\begin{conjecture}\label{conj:etendue}
Grothendieck topos $\E$について，以下は同値
\begin{itemize}
\item $\E$はétendue．つまり，あるinhabited object $X\in \ob(\E)$とlocale $L$が存在し$\E/X\simeq \Sh(L)$．
\item $\E$のLSCは最小元$\bot \colon 1_{\E} \to \Xi$を持つ．
\end{itemize}
\end{conjecture}
\Cref{conj:etendue}は，すでに前層toposとlocale上の層のtoposでは証明できた．
\Cref{conj:etendue}の幾何学的文脈は\cite{menni2025nonsingular}で言及されていて，著者のMenniもこの予想を支持すると言ってくれた．\Cref{conj:etendue} から \Cref{conj:ac}が従うことは，以下の定理からわかる．
\begin{fact}[Freyd-Scedrov ?]
Grothendieck topos $\E$ について，$\E$が選択公理を満たすことと，$\E$がBoolean étendueであることは同値である．
\end{fact}
\yodan{étendueとロジックといえば，\dq{uniformly co-ordinatisable theory}とétendueの論文をJoshuaが出していた\cite{wrigley2025theories}}
}
\newpage
\appendix
\section{多分読むべき文献}
\begin{itemize}
\item \cite{freyd1980axiom}: The axiom of choice. 部分的に読んだ．ここでは(位相)群作用は基礎の公理満たしてないから役に立たない，みたいなことを言われている．
\item \cite{fourman1980sheaf}: Sheaf models for set theory これのsection 3を読むべきそう．
\item \cite{freyd1987all}: All topoi are localic or why permutation models prevail 名前からして関わりそう．
\end{itemize}
\printbibliography
\end{document}