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\begin{document}
\title{順序集合で遊ぶKan拡張入門}
\author{hora-algebra}
\date{\today}
\maketitle
\begin{abstract}
圏論の知識を一切仮定せず，順序集合論におけるKan拡張を使って初等的な言葉のみでKan拡張のアイデアを伝える．様々な分野からの様々なレベルの例を紹介し，おもちゃのような例を実際に計算することで理解を促す．読者としては，圏論はもちろん現代数学もほぼ知らないような高校生をはじめ，親しみ深い例や奇妙な例を求めているKan拡張既修者まで広く想定している．
%モチベーションの説明や初等的かつおもちゃのような例を重視しているため，
%Kan拡張を勉強したことはあるが親しめていないという読者も想定している.

% 1,2章は最低限の圏の知識のみを要求する．1章では拡張問題を考える枠組みとして圏論が適していることを説明する．2章では定義を述べ，幅広い読者を想定した初等的な例(高校数学から大学初年度程度)を扱う．

% 3,4章は極限と余極限を知っている一部の読者を想定している.
% 3章では計算方法をその気持ちとともに説明し，数学科で習うような比較的高度な例を扱う．4章では現代数学における活用法の一部を紹介する．
\end{abstract}

\tableofcontents

\section*{どう読むか，なぜ読むか}

読者は自身の知識に合わせて次のどれかに沿って読むことを勧める．
\begin{enumerate}
    \item \textgt{集合や写像を知らない人}も実数から実数への関数を主に扱う1,4章を眺めて雰囲気を味わうことができる．しかし他の多くの部分を読むことはできない．先に手頃な数学入門書を読むことを勧める．
    % すぐにこの文章を読むことは難しい．1章を眺めて雰囲気を知ることはできる．
    \item \textgt{集合や写像は知っているが現代数学はほぼ知らない人}はこの文章を一部の例を除いて全て読むことができる．この文章の基礎となる順序集合論を2章で速修できるが，より丁寧な解説をもとめて手頃な教科書を眺めることも選択肢に入れて欲しい．5,8章は難易度の問題で，7章はモチベーションの問題で飛ばしても問題ない．

    \item \textgt{(圏論学習経験の有無に関わらず)数学を勉強している人}はこの文章を全て読むことができる．2章の順序集合論の速習は，記法や用語の確認程度で飛ばしても構わない．
    
    \item \textgt{Kan拡張を既に知っている人}も想定読者である．もちろん全てを読むことができる．Kan拡張既修者に向けた例もいくつか用意してある．
\end{enumerate}

% \section*{どう読むか，なぜ読むか}

% 読者は自身の知識に合わせて次のどれかに沿って読むことを勧める．
% \begin{enumerate}
%     \item \textgt{写像を知らない人}も実数から実数への関数を主に扱う1,4章を眺めて雰囲気を味わうことができる．しかし他の多くの部分を読むことはできない．先に手頃な数学入門書を読むことを勧める．
%     % すぐにこの文章を読むことは難しい．1章を眺めて雰囲気を知ることはできる．
%     \item \textgt{写像は知っているが数学はほぼ知らない人}はこの文章を一部の例を除いて全て読むことができる．この文章の基礎となる順序集合論を2章で速修できるが，より丁寧な解説をもとめて手頃な教科書を眺めることも選択肢に入れて欲しい．5章は難易度の問題で，6章はモチベーションの問題で飛ばしても問題ない．

%     \item \textgt{数学を勉強しているが圏論は全く勉強したことのない人}はこの文章を全て読むことができる．2章の順序集合論の復習は，記法の確認程度で飛ばしても構わない．6章は興味がわかなければ読まなくてよい．

%     \item \textgt{圏論を自然変換の定義程度に勉強したことがある人}は3に追加して後半の大部分を読むことができる．

%     \item \textgt{圏論を極限の定義程度に勉強したことがある人}は前半後半の全てを読むことができる．

%     \item \textgt{Kan拡張を勉強したことがある人}も当然前半後半の全てを読むことができる．
% \end{enumerate}
% 2以上の読者には，数学の様々な拡張問題に単純な統一的な原理があることを共有する．また，Kan拡張という有名用語に対するミーハー心を部分的に満たす．可能な限り圏論に対するモチベーションを高める．
% 3以上の読者には学部で習う数学の範囲でもKan拡張が多く存在することを紹介する．
% 4以上の読者には圏論におけるKan拡張を(後半で)紹介し，その気持ちを極力丁寧に解説する．そして「全ての概念はKan拡張である」などの有名な言葉を含めKan拡張がどう使われるのか共有する．
% 5以上の読者には様々な数学的構造でKan拡張を計算できる方法を提供し，初等的だが興味深い例をいくつか紹介する．
% 6以上の読者の一部には定理の仮定を緩めた場合の反例など理論的に興味を持てる例をいくつか提供する．Kan拡張を勉強したことはあるがいまいちピンときていないという人には，例や計算方法の解説などでKan拡張へのより良い理解や親しみを提供したい．

各章の依存関係は以下のようになっている．丸がお話や具体例パートで，四角が理論パートを表す．濃い矢印は論理的な依存関係を，点線矢印はモチベーション上の依存関係を表す．
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[
roundnode/.style={circle, draw=black!60, fill=black!0, very thick, minimum size=7mm},
squarednode/.style={rectangle, draw=black!60, fill=black!0, very thick, minimum size=7mm},
]
%Nodes
\node[squarednode]      (poset)                                     {2};
\node[squarednode]      (Kan)               [below =of poset]       {3};
\node[roundnode]        (intro)             [above=of poset]        {1};
\node[roundnode]        (easy)              [below left=of Kan]     {4};
\node[roundnode]        (hard)              [below right=of Kan]    {5};
\node[squarednode]      (point)             [below right=of easy]   {6};
\node[roundnode]        (qu)                [below left=of point]   {7};
\node[roundnode]        (un)                [below right=of point]  {8};
\node        (hidd)                [below =of point]    {\ } ;
\node[roundnode]        (con)                [below =of hidd]     {9};


%Lines
\draw[->,dotted](intro.south)   -- (poset.north);
\draw[->]       (poset.south)   -- (Kan.north);
\draw[->]       (Kan.south west)-- (easy.north east);
\draw[->]       (Kan.south east)-- (hard.north west);
\draw[->]       (Kan.south)     -- (point.north);
\draw[->,dotted](easy.south east)-- (point.north west);
\draw[->,dotted](hard.south west)-- (point.north east);
\draw[->,dotted](easy.south east)-- (con.north west);
\draw[->,dotted](hard.south west)-- (con.north east);
\draw[->]       (point.south west)-- (qu.north east);
\draw[->]       (point.south east)-- (un.north west);
\draw[->,dotted](point.south)-- (con.north);
\draw[->,dotted](qu.south east)-- (con.north west);
\draw[->,dotted](un.south west)-- (con.north east);
\end{tikzpicture}
\end{center}


各章の説明をする．1,9章はお話パートで，2,3,6章は理論パートで，4,5,7,8章は具体例パートになっている．具体例パート(4,5,7,8章)がこの文章で重視した章だが，同時に読者の知識やモチベーションによっては適切に読み飛ばされることを想定した章でもある．

1章では全員に向けて指数関数の拡張を例に，拡張問題になぜ順序集合が関係するかを説明する．1章により，2章以降の議論のモチベーションを明確にする．
2章では順序集合を知らない読者に向けてこの文章の基礎となる順序集合論を速修する．
3章では全員に向けてこの文章のメイントピックである(順序集合における)Kan拡張の定義を述べる．
4章では全員に向けて主に実数から実数への関数のような高校数学的な例を紹介し，それらを通してKan拡張の基本性質に触れる．
5章では数学を勉強している読者に向けて，位相空間や測度空間などの学部の数学科で習うような例を紹介する．複数の分野からの例を提示することでKan拡張が様々な場面で現れていることを実感してもらいたい．
6章では全員に向けてKan拡張の計算公式を紹介する．5章までに紹介した全てのKan拡張を統一的に計算する方法を得る．
7章では一部の意欲的な読者に向けて，Kan拡張の理論的な性質についての演習を挙げる．圏論におけるKan拡張で一般に成立する定理を順序集合に落とし込んだものを挙げ，一般の場合と同様の証明を与える．Kan拡張既修者にとっては良い復習に，今後圏論のKan拡張を勉強する意思のある読者にとっては良い予習になると信じている．
8章では全員に向けて，6章の計算公式を知っていることを前提にちょっと変わったKan拡張を紹介する．
9章では圏論におけるKan拡張について軽く紹介し，その役割について言及する．


\section{導入 : 自然な拡張とは何か？}
部分的に定義された関数を拡張したいことはよくある．例えば高校数学では，有理数上で定義された指数関数$2^q:\Q\to \R$を実数上の関数$2^r:\R\to \R$に拡張することを考えた．図式で書けば次の点線を作ることに対応する．ここで$\iota$は単なる埋め込み写像である．
\[
\begin{tikzcd}
\Q \ar[rr,"2^q"] \ar[rd,"\iota"']& & \R \\
&\R \ar[ru, dotted]& 
\end{tikzcd}
\]
普通の拡張は実数$r$について，$r$に収束する有理数列$q_1, q_2, \dots \to r$を取り$2^r\defeq \lim_{n\to \infty} 2^{q_n}$と定めていた．この普通の拡張は，可能なただ一つの拡張ではないことに注意したい．実際，
\[
\begin{tikzcd}
\Q \ar[rr,"2^q"] \ar[rd,"\iota"']& & \R \\
&\R \ar[ru, dotted, "f"']& 
\end{tikzcd}
\]
を可換にする(つまり$2^q$を拡張する)関数$f$は無理数での値を好きに変更しても再び条件を満たし，よってそのような$f$は無数に存在する．普通の拡張$2^r$は数ある拡張の一つに過ぎない．このように，残念ながら\textgt{写像の自然な拡張は存在しない}\footnote{数学的な主張はKan拡張の定義の後にExample \ref{写像の拡張}で行う．}．

普通の拡張$2^r$が自然な拡張であることを主張したければ，$\Q,\R$を単に集合とみなすだけでは不十分である．一つの解決策は，$\Q,\R$を大小関係という順序の構造も含めて考えることである．$f$として順序を保つもの(広義単調増加なもの)のみを許せば，普通の拡張$2^r$は唯一の拡張になる\footnote{極限を保たせるという$2^r$の定義からも示唆されるように，$f$に連続性を課すことも一つの解決策である．しかし，順序構造は至る所に現れるため一般性が非常に高いというメリットがある．実は極限の保存という手法さえも，後に見るKan拡張の計算公式の基本的なアイデアになる!}．

このように，自然な拡張を得ようという目的においては，単に集合と写像を考えるのでは不十分である．集合の元の間の関係まで考慮すれば，自然な拡張が得られるかもしれない．


自然な拡張を探す問題の枠組みは，順序集合と順序を保つ写像の理論がふさわしそうだ．\textgt{順序の理論では自然な拡張は存在するかもしれない!}
%自然な拡張を探す問題の枠組みは，関係性も含めた集まりと関係性を保つ写像の理論，すなわち圏と関手の理論がふさわしそうだ．\textgt{関手の自然な拡張は存在するかもしれない!}

\begin{remark}[圏論]
集合の元の間の関係性として順序より豊かな構造を扱いたければ，順序集合の一般化として圏というものを考えられる．Kan拡張は圏論の枠組みで語られるのが(少なくとも2021/11の私の知る限り)普通である．このことは9章でもう少し詳しく述べる．
\end{remark}

\section{順序集合論速習}
順序集合論の基本的な定義を述べる．
\begin{definition}[順序集合]
順序集合とは集合$X$と二項関係
%\footnote{集合$X$の元のペア$x,y\in X$に対して$x\leq y$が}
$\leq$の組$(X,\leq)$で，以下の三つの条件を満たすものをいう．
\begin{itemize}
    \item 任意の$x\in X$について$x\leq x$
    \item 任意の$x,y,z\in X$について$x\leq y$かつ$y\leq z$なら$x\leq z$
    \item 任意の$x,y\in X$について$x\leq y$かつ$y\leq x$なら$x=y$
\end{itemize}
\end{definition}

これらの$3$つの条件は，上から順に反射律，推移律，反対称律と呼ばれている.

\begin{example}[整数，有理数，実数]
整数の集合$\Z$，有理数の集合$\Q$，実数の集合$\R$は普通の大小関係$\leq$で順序集合になる．
\end{example}

\begin{example}[冪集合]
集合$A$について，$A$の冪集合(部分集合全体の集合) $\ca{P}(A)$は包含関係$\subset$で順序集合になる．
\end{example}

\begin{example}[自明な順序]
どんな集合$X$についても，任意の$x,y\in X$について$x\leq y \iff x=y$とすることで順序集合になる．これを自明な順序という．
\end{example}

\begin{exercise}[剰余関係]
非負整数の集合$\N$は剰余関係$\mid$で順序集合になることを確認せよ．
\end{exercise}

\begin{exercise}[人間関係!?]
厳密ではない演習を一つ挙げておく．人間の集合を$P$とする．$P$上の二項関係$\leq$を，$p\leq q$を以下のようにして定める．どれが順序になるか考えよ．順序にならないものは反射律，推移律，反対称律のうちどれが成り立たないのかを答えよ．

\begin{enumerate}
    \item $p$は$q$の子孫である．
    \item $p$は$q$の子孫であるか，$p=q$である．
    \item $p$と$q$はお互いのことを知っている．
    \item $p$は$q$のことを好意的に思っている．
    \item $p$から知り合いを有限回辿ることで$q$に到達できる．
    \item $p$と$q$は同い年である．
\end{enumerate}
\end{exercise}

順序集合$(P,\leq)$を，今後は二項関係を略して$P$と書いてしまう．これは数学でよくある便利だが不適切な慣習である．
\begin{definition}[順序保存写像]
順序集合$P,Q$について，$P$から$Q$への写像$f:P\to Q$が順序保存写像であるとは，任意の$x,y\in P$について
\[x\leq y \implies f(x)\leq f(y)\]
なることをいう．
\end{definition}

\begin{example}[実数での例]
写像$f:\R\to \R$が順序保存写像であることと広義単調増加関数であることは同値である．$f(x)=x$や$f(x)=0$や$f(x)=2^x$は順序保存写像だが$f(x)=-x$や$f(x)=2^{-x}$や$f(x)=\sin (x)$は順序保存写像ではない．
\end{example}

\begin{definition}[順序保存写像の大小]
順序集合$P,Q$と$P$から$Q$への順序保存写像$f,g:P\to Q$について，$f\leq g$を
\[\text{任意の}p\in P\text{について} f(p)\leq g(p)\]
と定める．
\end{definition}

\begin{example}[実数での例]
$f(x)=x+2,\ g(x)=x+3$なら$f\leq g$であるが，$f(x)=2^x,\ g(x)=3^x$なら$f\leq g$でも$g\leq f$でもない．
\end{example}

\begin{exercise}[順序保存写像全体の順序集合]
順序集合$P,Q$について，$P$から$Q$への順序保存写像全体の集合$Q^P$は順序保存写像の大小$\leq$で順序集合になることを確かめよ．
\end{exercise}

\begin{definition}[最小元，最大元]
順序集合$P$の元$p\in P$について，$p$が$P$の最小元であるとは
\[\text{任意の}q\in P\text{について} p\leq q\]
となることをいい，$p$が$P$の最大元であるとは
\[\text{任意の}q\in P\text{について} q\leq p\]
となることをいう．
\end{definition}

\begin{example}[実数での例]
$\R$には最大元も最小元も存在しない．
\end{example}

\begin{example}[非負整数での例]
$\N$では$0$が最小元である．最大元は存在しない．
\end{example}

最小元と最大元は互いの逆の概念である．このように互いに逆になっている概念を双対的な概念という．(この文章における)双対という言葉についてもう少しまともに説明しておく．順序集合$(P,\leq)$について，順序を逆にした$(P,\geq)$も順序集合になる．この順序を逆転させた順序集合における概念$C$は$P$における$C$の双対概念であると言われる．

2章でここまで述べてきた知識のみでいくつかの具体例を除いて5章までと9章を読める．6,7,8章を読むには次の知識が必要になる．
\begin{definition}[上界，下界]
順序集合$P$とその部分集合$S\subset P$について，$p\in P$が$S$の上界であるとは
\[\text{任意の}s\in S\text{について} s\leq p\]
なることをいう．
$p\in P$が$S$の下界であるとは
\[\text{任意の}s\in S\text{について} p\leq s\]
なることをいう．
\end{definition}
上界と下界も双対である．
任意の元は空集合の上界でもあり，下界でもあることに注意．

\begin{definition}[$\sup,\inf$]
順序集合$P$とその部分集合$S\subset P$について，$S$の$\sup$(上限)とは$S$の上界のうち最小のものをいう．
$S$の$\inf$(下限)とは$S$の下界のうち最大のものをいう．
\end{definition}
$\sup$と$\inf$も双対である．
上界のうち最小，下界のうち最大というアイデア自体は小学校で次を習っている．
\begin{example}[最小公倍数，最大公約数]
非負整数と剰余関係の順序集合$(\N,\mid)$について，$\{12,18,30\}$の$\sup$は$180$であり，$\inf$は$6$である．一般に$S\subset \N$の$\sup$は$S$の元たちの最小公倍数で$\inf$は最大公約数である．
\end{example}

\begin{example}[和集合と共通部分]
集合$A$について，$A$の冪集合(部分集合全体の集合) $\ca{P}(A)$を包含関係$\subset$で順序集合とみなしたもの$(\ca{P}(A),\subset)$を考える．$\ca{P}(A)$の部分集合$S\subset \ca{P}(A)$ ($A$の部分集合の集合!)について，$S$の$\sup$は$S$の元($A$の部分集合)たちの和集合であり，$\inf$は$S$の元($A$の部分集合)たちの共通部分である．
\end{example}

\begin{example}[実数での例]
$\R$の部分集合$S=\{x\in \Q(\subset \R)\mid x^2\leq 2\}$の上限は$\sqrt{2}$であり下限は$-\sqrt{2}$である．
一方，$\Q$の部分集合としてみた$S=\{x\in \Q\mid x^2\leq 2\}$には上限も下限も存在しない．
\end{example}

\begin{remark}[圏論との対応]
圏論を知っている読者のために，2章で述べた順序集合の概念と圏論の概念の対応を明示しておく．
\begin{align*}
    \text{順序集合}&\leftrightarrow\text{圏}\\
    \text{順序保存写像}&\leftrightarrow\text{関手}\\
    \text{順序保存写像の大小}&\leftrightarrow\text{自然変換}\\
    \text{最小元，最大元}&\leftrightarrow\text{始対象，終対象}\\
    \text{上限，下限}&\leftrightarrow\text{余極限，極限}\\
\end{align*}
右に書いた圏論の概念は，圏として順序集合のみを考えるときには，左に書いた順序集合の概念とちょうど一致する．
\end{remark}

\section{Kan拡張の定義}
この章ではまずKan拡張の定義を述べる．定義に出てくる$hg$は写像の合成である．

\begin{definition}[Kan拡張]\label{Kan拡張の定義}
順序集合$P,Q,R$と順序保存写像$f:P\to R, \  g:P\to Q$について，$f$の$g$に沿った左Kan拡張とは，$f\leq hg$
\[
\begin{tikzcd}
P \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rd,"g"']&&R\\
&Q \ar[ur,"h"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]&
\end{tikzcd}
\]
なる順序保存写像$h:Q\to R$のうち最小のものである．$f$の$g$に沿った左Kan拡張を$\Lan_g f:Q\to R$と書く．
$f$の$g$に沿った右Kan拡張とは，$f\geq hg$
\[
\begin{tikzcd}
P \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rd,"g"']&&R\\
&Q \ar[ur,"h"'] \ar["\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom, to=U]&
\end{tikzcd}
\]
なる順序保存写像$h:Q\to R$のうち最大のものである．$f$の$g$に沿った右Kan拡張を$\Ran_g f:Q\to R$と書く．
\end{definition}

少しだけ口語的に言えば左Kan拡張$h$は，$f$を上(大きい方)から抑える$f\leq hg$ことができる程度には大きいことが要求されているが，その要求を満たすものの中では最小のものとして定義されている．双対的に，右Kan拡張$h$は，$f$を下から抑える$f\geq hg$ことができる程度には小さいことが要求されているが，その要求を満たすものの中では最大のものとして定義されている．
もちろんこの定義は具体例を用いて解きほぐす必要があるが，それは後の章に任せて一旦いくつかの注意をしておく．

定義を書き換えれば，$f$の$g$に沿った左Kan拡張とは順序保存写像$\Lan_g f:Q\to R$であって，
\[
\begin{tikzcd}
P \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rd,"g"']&&R\\
&Q \ar[ur,"\Lan_g f"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]&
\end{tikzcd}
\]
を満たし，かつ任意の順序保存写像$h:Q\to R$について
\[
\begin{tikzcd}[row sep=5pt]
P \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rdd,"g"']&&R && P \ar[rr,"f",""{name=V, below}] \ar[rdd,"g"']&&R\\
&&&\implies&&&\\
&Q \ar[uur,"h"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& && &Q \ar[uur,
"\Lan_{g} f" description,
bend left=20,""{name=a,below}] \ar[uur,""{name=b, below},bend right=50, "h"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=V]&
\ar["\rotatebox{135}{$\geq$}",phantom, from=a, to=b]
\end{tikzcd}
\]
なるものをいう．
% \begin{exercise}[一意性と双対]\
% \begin{enumerate}
%     \item Kan拡張の標準的な同型を除いた一意的を示せ．
%     \item 右Kan拡張を圏論的双対として定義せよ．自然変換の向きが逆転するだけである．
% \end{enumerate}
% \end{exercise}


% したがって少なくとも順序集合の文脈においては\textgt{Kan拡張は拡張の最適近似である}．$\eta$が等号($\id{F}$)のときは$G$は本当の拡張になる．

Kan拡張は最大元および最小元として定義されているから存在すれば一意的である\footnote{圏論版では，他の普遍性と同様に存在すれば標準的な同型を除いて一意的である．}．したがって，「〜とは〜の〜に沿った左Kan拡張と定める」のような定義は存在証明さえすれば曖昧さなく使える．

Kan拡張は，存在するとは限らない．このことの例は後に見る．好意的に捉えれば，\textgt{存在してほしくないときにはちゃんと存在しない}とも言えるかもしれない．このポジティブな解釈は次の章で具体例を通して同意してもらえるものだと信じている．

Kan拡張の定義においては本当の拡張になること$f=(\Lan_g f) \circ  g$は要求されていない．後に見るように，Kan拡張は一般には本当の拡張にはならない\footnote{本当の拡張になるための便利な十分条件が知られている．}．この意味で不等号$f\leq(\Lan_g f) \circ  g$は\textgt{不可避な誤差}を表しているとも捉えられる．良く言えば，本当の拡張が存在しないときでも\textgt{Kan拡張は拡張の最適近似を探してくれる}．

% 順序集合論(そして一般に圏論)ではいつものことだが，
また(順序集合論や圏論ではいつもそうであるように)双対的に二つの拡張，つまり左Kan拡張と右Kan拡張，が考えられることにも注意してもらいたい．次の節から例を見ていく．

\begin{remark}[圏論のKan拡張との関係]
順序集合のKan拡張は，圏論のKan拡張の単なる類似ではなく特別な場合である．
\end{remark}

\section{易しめなおもちゃ}
この章では，主に実数や有理数を使った簡単で直感的な例を通して定義を解きほぐし，Kan拡張のアイデアや性質に慣れ親しんでもらいたい．Kan拡張であることの確認はできればして欲しいが，難しければ今神経質になりすぎる必要はない．8章以外の章のKan拡張は6章で与えられるKan拡張の計算公式で全て容易にチェックできる．

\subsection*{モチベーション回収}
\begin{example}[指数関数の拡張]
1章で導入に使った指数関数の例が本当にKan拡張であることを確認しよう．Kan拡張の定義(Definition \ref{Kan拡張の定義})における$P$は有理数のなす順序集合$\Q$であり，$Q,R$は$\R$である．$2^q:\Q \to \R$を$\iota : \Q \to \R$(単なる埋め込み)に沿って拡張する．

順序保存写像$h:\R\to \R$であって，
\[
\begin{tikzcd}
\Q \ar[rr,"2^q",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \R \\
&\R \ar[ru, "h"',dotted] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
(つまり$\forall q\in \Q,\ 2^q\leq h(q)$)なるものの中で最小のものが左Kan拡張である．これは普段の$2^r:\R\to \R$であることを説明する．実際，$\forall q\in \Q,\ 2^q\leq h(q)$なる任意の順序保存写像$h:\R\to \R$は$2^r:\R\to \R$以上になることは次のように説明できる.

詳細な証明を書くより，$r=\pi$のときに$2^\pi\leq h(\pi)$となることを納得してもらおう. $\pi$へ(下から)収束する有理数列$3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415 \dots$を考える.
そして
\begin{align*}
    2^{3}\leq h(3)&\leq h(\pi)\\
    2^{3.1}\leq h(3.1)&\leq h(\pi)\\
    2^{3.14}\leq h(3.14)&\leq h(\pi)\\
    2^{3.141}\leq h(3.141)&\leq h(\pi)\\
    2^{3.1415}\leq h(3.1415)&\leq h(\pi)\\
    &\vdots
\end{align*}
という列を考えると，$2^\pi \leq h(\pi)$が分かる．

\begin{center}
\begin{tikzpicture} [scale = 1]
    \draw[gray, thick] (-11,0) -- (0,0);
    \draw[red, thick] (0,0) -- (1,0);
    % \fill[black] (8.00000,0) circle (0.01) node[below]{$2^{3}$};
    \fill[black] (-9.737,0) circle (0.06) node[below]{$2^{3.14}$};
    \fill[black] (-3.625,0) circle (0.06) node[below]{$2^{3.141}$};
    \fill[black] (-0.567,0) circle (0.06) node[below]{$2^{3.1415}$};
    \fill[black] (-0.100,0) circle (0.06);%恣意的なあたい
    %\fill[black] (-0.050,0) circle (0.06);%恣意的なあたい
    \fill[red]   (0,0)      circle (0.06) node[above,red]{$2^{\pi}$};
    \fill[red]   (0.5,0)      circle (0.06) node[below,red]{$h(\pi)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

この議論を精密に見れば，普段の$2^r:\R\to \R$が左Kan拡張になっていることを確認できる．

\[
\begin{tikzcd}
\Q \ar[rr,"2^q",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \R \\
&\R \ar[ru, "2^r=\Lan_{\iota}2^q"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]

同様に，右Kan拡張も$2^r$である．今回のケースでは二つの双対的な拡張，左Kan拡張と右Kan拡張，は一致している．
1章では単に写像として拡張しようとすると自然な拡張は得られないことを説明した．集合と写像といった等式$=$の言葉でなく，順序集合と順序保存写像という不等号$\leq$(さらには一般の圏における射)の言葉で拡張を議論した結果うまくいったのである!
\end{example}

\subsection*{左右のKan拡張の不一致}
双対的な二つの拡張が一致しない例として，多くの読者は既に床関数と天井関数を知っている．
\begin{example}[床関数と天井関数(実数の整数近似)]\label{floor}
今度は，$\id{\Z}:\Z\to \Z$を埋め込み$\iota: \Z\to \R$に沿って拡張しよう．つまり，実数から整数を得る自然な方法は何か？を考える．実数の自然な整数近似は何か?と言ってもよい．
\[
\begin{tikzcd}
\Z \ar[rr,"\id{\Z}",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \Z \\
&\R \ar[ru, "h"',dotted] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
なる最小の$h$，つまり$\iota$に沿った$\id{\Z}$の左Kan拡張は床関数$\floor{\ }$である．双対的に右Kan拡張は天井関数$\ceil{\ }$である.
\begin{center}
\begin{tikzpicture} [scale = 2] 
    \draw[gray, thick] (-1.5,0) -- (4.5,0);
    \foreach \x in {-1,0,1,2,3,4} {
        \draw (\x,0)node[below]{\x};
        \fill[black] (\x,0) circle (0.03);
    }
    \fill[black] (2,0) circle (0) node[above,red]{$\floor{e}$};
    \fill[black] (2,0.4) circle (0) node[red]{左};
    \fill[black] (3,0) circle (0) node[above,red]{$\ceil{e}$};
    \fill[black] (3,0.4) circle (0) node[red]{右};
    % \fill[black] (2.5,0.4) circle (0) node[red]{$\neq$};
    \fill[red] (2.71828,0) circle (0.03) node[above]{$e$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
このように\textgt{左右のKan拡張は必ずしも一致しない}．
\end{example}

\begin{exercise}[実数値関数の最大拡張]
実数$r\in \R$について，順序保存写像$s_r:\Q\to \R$を
\[
s_{r}(q)\coloneqq 
\begin{cases}
1 & (q \geq r)\\
0 & (q<r)
\end{cases}
\]
と定める．埋め込み$\iota:\Q\to \R$に沿った$s_r$の左右のKan拡張$\Lan_{\iota}s_r,\Ran_{\iota}s_r$を考える．
\[
\begin{tikzcd}[row sep=8pt]
\Q \ar[rr,"s_r",""{name=U, below}] \ar[rdd,"\iota"']&&\R & 
\Q \ar[rr,"s_r",""{name=V, below}] \ar[rdd,"\iota"']&&\R\\
&&&&&\\
&\R \ar[uur,"\Lan_{\iota} s_r"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& & &\R \ar[uur, "\Ran_{\iota} s_r"'] \ar["\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom, to=V]
\end{tikzcd}
\]
\begin{enumerate}
    \item 左右のKan拡張が存在することを示せ．
    \item 左右のKan拡張が一致する($\Lan_{\iota}s_r=\Ran_{\iota}s_r$)ための$r \in \R$についての必要十分条件を求めよ．
\end{enumerate}
\end{exercise}

\subsection*{Kan拡張の非存在}
また，Kan拡張はそもそも存在するとは限らない．
% 自然な拡張はないと読者が感じるとき，Kan拡張の理論も存在しないことを数学的に主張してくれる．
Kan拡張が存在しない例もいくつか挙げておく．

\begin{example}[写像の自然な拡張は存在しない]\label{写像の拡張}
1章で「写像の自然な拡張は存在しない」と主張した.
この直感的な事実は次のように定式化できる．集合$X$とその部分集合$S$を考える．$S$から集合$Y$への写像$f:S\to Y$を$X$上に拡張したい.
集合を自明な順序で順序集合とみなす．埋め込み$\iota:S\to X$に沿った$f$の(左)Kan拡張
\[
\begin{tikzcd}
S \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & Y \\
&X \ar[ru, "?"', dotted] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
は自明な場合($S=X$か$Y$が一点の場合)を除いて存在しない．
\end{example}

\begin{exercise}[実数の自然な有理数近似は存在しない]
Example \ref{floor}を真似して，$\id{\Q}:\Q\to \Q$の埋め込み$\iota: \Q\to \R$に沿ったKan拡張を考えてみる．つまり，実数の自然な有理数近似は何か?を考えることになる．
\[
\begin{tikzcd}
\Q \ar[rr,"\id{\Q}",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \Q \\
&\R \ar[ru, "?"',dotted] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
\begin{enumerate}
    \item 正整数$n\geq 1$について，$h_n:\R\to \Q$を$h_n (x) \coloneqq \frac{\ceil{nx}}{n}$と定めると$h_n$は順序保存写像であり，
    \[
        \begin{tikzcd}
            \Q \ar[rr,"\id{\Q}",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \Q \\
            &\R \ar[ru, "h_n"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]&
        \end{tikzcd}
    \]
    を満たすことを示せ．
    \item 実数の自然な有理数近似($\iota$に沿った$\id{\Q}$の左Kan拡張$\Lan_{\iota} \id{\Q}$)は存在しないことを示せ．
\end{enumerate}
\end{exercise}

\subsection*{順序構造への依存}
Kan拡張の定義では当然ながら順序構造が本質的である．順序構造が変わるとKan拡張が変わることの簡単な例を紹介する．
\begin{example}[ディリクレの関数]
$\Q$から$\Ri\coloneqq \{x\in \R\mid 0\leq x \leq 1\}$への順序保存写像$\rm{c}_1 :\Q\to \Ri$を$\rm{c}_1 (q)=1$，つまり1への定数関数として定義する．このとき，埋め込み$\iota:\Q\to \R$に沿った$\rm{c}_1$の左Kan拡張
    \[
        \begin{tikzcd}
            \Q \ar[rr,"\rm{c}_1",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \Ri \\
            &\R \ar[ru, "\Lan_{\iota} \rm{c}_1"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]&
        \end{tikzcd}
    \]
    は$\R$から$\Ri$への1を取る定数関数$(\Lan_{\iota} \rm{c}_1)(x)=1$である．
    一方，$\Ri$の順序は普通のままで，$\Q,\R$の順序を自明な順序に変更した場合，$\Lan_{\iota} \rm{c}_1$はディリクレの関数
    \[
        (\Lan_{\iota} \rm{c}_1)(x)=
        \begin{cases}
            1 & (x\in \Q)\\
            0 & (x \notin \Q)
        \end{cases}
    \]
    となる．
\end{example}

順序構造が大切だと言った直後で混乱を招くかもしれないが，実は順序集合のKan拡張では$P$(一番定義域側にいる順序集合)の順序は本質的には使っていない\footnote{圏のKan拡張の場合は重要である．今回は順序構造を考えているため，圏として見れば任意の図式が可換になっており，自然変換の自然性が自明になっている}．このことを示す演習を挙げておく．
\begin{exercise}[$P$の順序への非依存]
(順序集合の)Kan拡張
\[
\begin{tikzcd}
P \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rd,"g"']&&R\\
&Q \ar[ur,"\Lan_g f"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]&
\end{tikzcd}
\]
について，$P$上の順序を$f,g$が順序保存写像になる範囲で変更しても$\Lan_g f$は変わらず左Kan拡張であることを示せ．特に，$P$に自明な順序を入れても左Kan拡張である．
\end{exercise}

\subsection*{本当の拡張ではない例}

ここまで挙げたKan拡張は全て本当の拡張になっていた．言い換えれば，不可避な誤差を表す不等式$f\leq (\Lan_g f) \circ g$は等式であった．
ここからはKan拡張が本当の拡張にはなっていない例を見ていく．さらに，不可避な誤差$f\leq (\Lan_g f) \circ g$が慣れ親しんだ不等式になっていることも確認してもらう．
\begin{example}[量化子 $\exists,\forall$]\label{量化子}
順序集合$\Omega$を$\Omega=\{\true, \false
 \hspace{-0.3pt}
\}$なる集合の上で$\false \leq \true$という不等号で定義する．真偽値と論理的包含関係$\Rightarrow$(「ならば」)に関する順序集合といっても同じことである．
% \[
% \begin{tikzcd}
% \true \arrow[loop left]\\
% \false \arrow[loop left] \ar[u, ]
% \end{tikzcd}
% \]
集合$X$に自明な順序を入れたとき，全ての写像$X\to \Omega$は順序保存写像である．したがって順序保存写像$X\to \Omega$と「各元に$\true$か$\false$を対応させる対応」は一対一に対応する．この視点をもって，順序保存写像$X\to \Omega$のことを$X$上の命題と呼ぶことにする．集合$X,Y$について，$X\times Y$上の命題は$2$変数の命題と捉えることができる．

では，命題の変数の個数を減らす自然な方法は存在するだろうか．つまり$X\times Y$上の命題$\phi:X\times Y \to \Omega$が与えられたとき，第一成分射影$\pi_1:X\times Y \to X$に沿ったKan拡張は存在するだろうか．
\[
\begin{tikzcd}
X\times Y \ar[rr,"\phi",""{name=U, below}] \ar[rd,"\pi_1"']& & \Omega \\
&X \ar[ru, "?"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
実は，\[x\mapsto \exists y \in Y,\ \phi(x,y)\]

が左Kan拡張を与える．この左Kan拡張を$\exists y \in Y,\ \phi (-,y)$と書く．$\exists y \in Y,\ \phi(x,y)$は「ある$y\in Y $が存在して$\phi(x,y)$が真」という意味である．不可避な誤差$\phi \leq (\exists y \in Y,\ \phi(-,y))\circ \pi_1$は$(x_0,y_0)\in X\times Y$ごとの
\[
\phi(x_0,y_0)\implies \exists y \in Y,\ \phi(x_0,y)
\]
である．ここでの$\implies$は論理的包含関係(「ならば」)である．不可避な誤差を口語的に言えば，「「組$(x_0,y_0)$が条件$\phi$を満たす」ならば「ある$y$が存在して組$(x_0,y)$は条件$\phi$を満たす」」($y=y_0$とすればいいので!)という論理的な主張のことである．

この左Kan拡張が本当の拡張になるのは$2$変数命題$\phi$の真偽が第$2$変数に依存せず第$1$変数のみによって定まるときである．双対的に，$x\mapsto \forall y \in Y,\ \phi(x,y)$が右Kan拡張を与え，不可避な誤差は$(x_0,y_0)\in X\times Y$ごとの
\[
\forall y \in Y,\ \phi(x_0,y) \implies \phi(x_0,y_0)
\]
である．\textgt{命題の変数を減らす$2$つの自然な方法は$\exists$と$\forall$である．}
この例の詳しい話は\cite{awodey}の9.5節や\cite{SGL}の1.9節などを見るとよい．
\end{example}

6章以降で本質的な役割を果たす$\sup$と$\inf$も(一般には)本当の拡張ではないような重要なKan拡張の例である．
\begin{example}[$\sup$と$\inf$]\label{sup}
元をちょうど$1$つ持つ順序集合を$\1$と書く．
% 任意の順序集合$R$について$R$から$\1$への(順序保存)写像はちょうど$1$つ存在する．それを$!_R :R\to \1$と書く．
$\1$から(順序)集合$R$への(順序保存)写像は像を見ることで$R$の元と一対一に対応する．
% このことを利用して，$\1$から$R$への(順序保存)写像を対応する$R$の元を用いて記述する．
順序集合$R$とその部分集合$S\subset R$と$r\in R$について，$r$が$S$の$\sup$であることは，
$r$に対応する(順序保存)写像$\ceil{r}:\1 \to R$が一意的な(順序保存)写像$!:S\to \1$に沿った埋め込み$\iota:S\to R$の左Kan拡張であること
\[
\begin{tikzcd}
S \ar[rr,"\iota",""{name=U, below}] \ar[rd,"!"']& & R \\
&\1 \ar[ru, "\ceil{r}"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
と同値である．双対的に$\inf$は右Kan拡張として定義できる．したがって，順序集合の\textgt{部分集合から元を得る$2$つの自然な方法は$\sup$と$\inf$である．}
% 結果としてこの左Kan拡張は各点Kan拡張になる．
不可避な誤差は$s\in S$ごとの
$s \leq \sup S$と$\inf S \leq s$である．
このKan拡張が本当の拡張になるのは$S$が元を高々1つしか持たないときである．
\end{example}

\begin{example}[逆像]
写像$f:X\to Y$について，順像をとる順序保存写像$f(-):\ca{P}(X)\to \ca{P}(Y)$を考える．考える順序は包含関係によるものである．
\[
\begin{tikzcd}
\ca{P}(X) \ar[rr,"\id{\ca{P}(X)}",""{name=U, below}] \ar[rd,"f(-)"']& & \ca{P}(X) \\
&\ca{P}(Y) \ar[ru, "f^{-1}"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
逆像をとる順序保存写像$f^{-1}$が$\id{\ca{P}(X)}$の$f(-)$に沿った左Kan拡張である．不可避な誤差は$S\subset X$ごとの\[S\subset f^{-1}(f(S))\]なる包含関係である．言い換えれば，$f$での送り先が等しいような$X$の元たちは区別できなくなると言っている．
この左Kan拡張が本当の拡張になるのは$f$が単射なときである．
\end{example}




\section{難しめなおもちゃ}

少し前提知識が必要な具体例も一部の読者に向けて挙げておく．以下の分野におけるKan拡張は一般の圏を考えてこそ本領を発揮するのだが，順序集合の中でも例を見つけることができる．


\subsection*{位相空間}
\begin{example}[内部]\label{内部}
位相空間Xについて，$X$の冪集合$\ca{P}(X)$と$X$の開集合全体の集合$\ca{O}(X)$を考える．$\ca{P}(X),\ca{O}(X)$は共に包含関係で順序集合とみなす．このとき，埋め込み$\iota$に沿った$\id{\ca{O}(X)}$の左Kan拡張は何か？つまり，部分集合の開集合による最適近似は何か？を考える．
\[
\begin{tikzcd}
\ca{O}(X) \ar[rr,"\id{\ca{O}(X)}",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \ca{O}(X) \\
&\ca{P}(X) \ar[ru, "\Int"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
期待通り，内部(開核)$\Int: \ca{P}(X)\to \ca{O}(X)$が求めるKan拡張である．
\end{example}

右Kan拡張については演習にしておく．

\begin{exercise}[開集合族への右Kan拡張]
Example \ref{内部}の状況で以下を示せ．

\begin{enumerate}
    \item 右Kan拡張も存在することを示せ．
    \item 左右のKan拡張が一致するためには$X$が$T_1$空間であることが必要十分であることを示せ．
\end{enumerate}
\end{exercise}
%\cite{toy}ではより一般的な議論がなされている．

% \begin{exercise}[開集合についての右Kan拡張]\
% \begin{enumerate}
%     \item 一般には，位相空間$X$とその部分集合$S\subset X$について，$S$を含む最小の開集合は存在しないことを示せ．(ヒント:例えば$X=\R$と$S=\{0\}$を考えるとよい．)
%     \item Example \ref{内部}の状況(位相空間と内部の左Kan拡張)において，右Kan拡張は一般には絶対でないことを示せ．
%     \item 気が向いたら，$X$がAlexandrov topologyであることが右Kan拡張が絶対である必要十分条件であることを示せ\footnote{\cite{toy}で一般的な議論がなされている}．
% \end{enumerate}
% \end{exercise}


\subsection*{集合演算}
ここで紹介する集合演算の例は，\cite{toy}に一般論と圏論との関係が書いてある．
% 以下は\cite{toy}のメイントピックの一つである．

\begin{exercise}[各種の閉包作用素]
集合$X$とその冪集合$\ca{P}(X)$と$\ca{P}(X)$の部分順序集合$\ca{B}$を考える．このとき，埋め込み$\iota:\ca{B}\to \ca{P}(X)$に沿った$\id{\ca{B}}$の右Kan拡張を考えたい\footnote{一般には存在するとは限らない}．
\[
\begin{tikzcd}
\ca{B} \ar[rr,"\id{\ca{B}}",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \ca{B} \\
&\ca{P}(X) \ar[ru, "f"', dotted] \ar["\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
\begin{enumerate}
    \item $X$が線型空間(群,モノイド,束,環など他の代数構造でもよい)で$\ca{B}$が部分線型空間(対応して他の部分代数でもよい)全体の集合なら，部分線形空間(対応して部分代数)の生成が右Kan拡張を定めることを示せ．
    \item $X$が$\R^2$で$\ca{B}$が凸部分集合全体の集合なら，凸包を取る操作が右Kan拡張を定めることを示せ．
    \item $X$が位相空間で$\ca{B}$が$X$の閉集合全体なら，閉包作用素が右Kan拡張を定めることを示せ．
    %\item 右Kan拡張の存在は
\end{enumerate}
\end{exercise}

% \begin{example}[二項関係に誘導されるガロア接続]
% 集合$X,Y$上の$2$変数命題$\phi:X\times Y\to \Omega$について，(curry化で)対応する 射$\phi^{\flat}:X\to \ca{P}(Y)$を考える．つまり，$\phi^{\flat} (x)\coloneqq \{y\in Y\mid \phi(x,y)=\text{真}\}$である．
% \[
% \begin{tikzcd}
% X \ar[rr,"","\phi^{\flat}", ""{name=U, below}] \ar[rd,"\yo{X}"']& & \ca{P}(Y) \\
% &\ca{P}(X) \ar[ru, "\Lan_{\yo{X}} \phi^{\flat}"'] \ar["\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom, to=U]& 
% \end{tikzcd}
% \]
% \end{example}
\begin{exercise}[存在量化子と順像]
集合$X$の部分集合$S\subset X$は$X$上の命題$\chi_S:X\to \Omega$と\[\chi_S (x)=\true \iff x\in S\]によって対応する．
%で定める．$\chi_S$を$S$の特性関数という．
Example \ref{量化子}における写像$\pi_1:X\times Y \to X$を一般の写像$g:X\to Y$に置き換えたものを考える．
\begin{enumerate}
    \item 左Kan拡張は対応する部分集合の言葉で書けば順像になっていることを確認せよ．
    \[
    \begin{tikzcd}
    X \ar[rr,"\chi_S",""{name=U, below}] \ar[rd,"g"']& & \Omega \\
    &Y \ar[ru, "\chi_{g(S)}"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
    \end{tikzcd}
    \]
    \item 右Kan拡張に対応する部分集合\footnote{nLab \url{https://ncatlab.org/nlab/show/internal+logic}では dual image と呼ばれているもの}を書き下せ．
    \[
    \begin{tikzcd}
    X \ar[rr,"\chi_S",""{name=U, below}] \ar[rd,"g"']& & \Omega \\
    &Y \ar[ru, "\chi_{g_{!}(S)}"'] \ar["\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom, to=U]& 
    \end{tikzcd}
    \]
\end{enumerate}
\end{exercise}


\subsection*{測度論}
測度論における幾つかの重要な定義はKan拡張の言葉で記述されることを紹介する．
\begin{example}[測度空間上の積分]
測度空間上の積分を定義する際，非負値単関数の積分から非負値可測関数の積分への拡張は本質的なステップの一つであった．この拡張問題もKan拡張の例である．測度空間$(X,\ca{B},\mu)$について，非負値可測関数と関数の大小関係のなす順序集合${\rm{Mea}}_X$を考える．積分$\int d\mu : {\rm{Mea}}_X \to \Rc$は， 非負値単関数と関数の大小関係のなす順序集合${\rm{Sim}}_X$からの埋め込み$\iota:{\rm{Sim}}_X\to {\rm{Mea}}_X$に沿った単関数の積分$\int d\mu : {\rm{Sim}}_X \to \Rc$の左Kan拡張である．
\[
\begin{tikzcd}
{\rm{Sim}}_X \ar[rr,"\int d\mu",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \Rc \\
&{\rm{Mea}}_X \ar[ru, "\int d\mu"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
\end{example}
順序保存写像$f:P\to R$のKan拡張を考える際はどんな$g:P\to Q$に沿って拡張するかをこちらで指定する．特にKan拡張$\Lan_{g}f:Q\to R$の定義域$Q$はこちらで指定する．したがって「可能な限り広い定義域へ拡張したい」という類の拡張問題とは相性が悪そうに思える．しかし，\textgt{左右のKan拡張
%が一般には一致しない現象
両方を利用することで可能な限り広い定義域を得る}ことも考えられる．具体的に言えば，左右のKan拡張が一致する範囲に制限したものを最大拡大と考えるのである\footnote{圏論を知っている人に向けて圏論の言葉で言えば，測度$\mu$の完備化は$\Lan_{\iota}\mu$と$\Ran_{\iota}\mu$の，圏の圏$\Cat$における(一般性は失われるが，順序集合の圏$\Poset$や集合の圏$\Set$でもいい)equalizerであると言える．}．自然な拡張概念は双対的な2つのKan拡張だが，どうしても1つの拡張が欲しいという場合はその共通部分をとる，というアイデアとも言える．
%典型例である測度空間の完備化について述べる前に，測度空間論を知らない読者のために単純な計算問題を出しておく．



\begin{example}[測度空間の完備化]\label{測度}
測度空間$(X,\ca{B},\mu)$について，$\mu:\ca{B}\to \Rc$は順序保存写像である．$\mu$を$X$の冪集合$\ca{P}(X)$のうち可能な限り広い部分へ拡張したい．そこで，まず埋め込み$\iota: \ca{B}\to \ca{P}(X)$に沿った$\mu$の左右のKan拡張を考える．
 \[
 \begin{tikzcd}
 \ca{B} \ar[rr,"\mu",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \Rc \\
 &\ca{P}(X) \ar[ru, "\Lan_{\iota}\mu",bend left=10]\ar[ru, "\Ran_{\iota}\mu"',bend right=10] & 
 \end{tikzcd}
 \]
 そして，$\Lan_{\iota}\mu$と$\Ran_{\iota}\mu$が一致する部分$\bar{\ca{B}}\subset \ca{P}(X)$に$\Lan_{\iota}\mu$と$\Ran_{\iota}\mu$を制限したものを$\bar{\mu}:\bar{\ca{B}}\to \Rc$とする．
  \[
 \begin{tikzcd}
 \ca{B} \ar[rr,"\mu"] \ar[rd,"\iota"']& & \Rc \\
 &\ca{P}(X)\ar[phantom, ""{name=U, below}]  \ar[ru, "\Lan_{\iota}\mu",bend left=10]\ar[ru,"\Ran_{\iota}\mu"' description, bend right=10] 
 & \\
 \bar{\ca{B}} \ar[ru,tail] \ar["\bar{\mu}"', rruu,bend right=40, ""{name=V, below}]
 &&
 \ar["\rotatebox{130}{$\coloneqq$}", from=U ,to=V, phantom]
 \end{tikzcd}
 \]
 このとき，$(X,\ca{B},\mu)$が有限$\mu (X) < \infty$なら\footnote{測度空間が有限でないときもだいたい完備化になるのだが，$\infty$のところでズレがおきる(測れすぎる)．$\bar{\mu}(S)=\infty$なら$S$より大きい集合$S\subset S'$についても$\bar{\mu}(S')=\infty$となる．一見合理的だが，$\bar{\ca{B}}$の$\sigma -$加法性が失われるかもしれない．}$(X,\bar{\ca{B}},\bar{\mu})$は測度空間$(X,\ca{B},\mu)$の完備化になっている．
 %つまり測度の「最大拡大」は測度の完備化に等しい．
\end{example}

この測度空間の例を確認する演習は，計算公式を獲得した6章以降に回す．ここでは定義の形だけから簡単に確認できることだけ演習にしておく．
\begin{exercise}[測度の最大拡大は完備]
Example \ref{測度}で定義された$(X,\bar{\ca{B}},\bar{\mu})$を考える．
%$S'\subset S\subset X$が
$\bar{\mu}(N)=0$なる$N\in \bar{\ca{B}}$について，$N$の任意の部分集合$S\subset N$は$S\in \bar{\ca{B}}$かつ$\bar{\mu}(S)=0$を満たすことを示せ．
\end{exercise}



% 1,2章では順序集合という限られた圏のクラスのみから例を出した．それでもKan拡張が拡張問題の自然な一般論であり，様々な分野にKan拡張が現れるだろうと想像できていてくれたら嬉しい．前半最後に半分冗談半分本気で次の演習を出しておく．
% \begin{exercise}
% あなたが最近勉強した数学の中から順序集合のKan拡張を探し，面白いものを見つけ次第私に教えてください．
% \end{exercise}
% 圏の最低限の知識で読めるのはここまでである．次の節からは圏論における極限の概念を必要とする．ここで読むのをやめる人に向けて，ここまでの話とここからの話の関係を要約しておく．

% 3章では，2章で挙げたKan拡張は全て本質的に同じ方法で構成されていることを観察し，圏論的文脈に一般化する．一般化の際に圏論における極限の概念が必要になる．一般化されたKan拡張計算公式が様々な数学的構成の統一原理であることを観察する．

% 4章ではKan拡張の理論が現代数学でどう活用されているか一部紹介する．その際に2章までに紹介したKan拡張も例に用いる．

\section{Kan拡張の計算公式}
ここまでに出したKan拡張の例を全て含め，この文章におけるほぼ全てのKan拡張は本質的に同じ方法(すぐに紹介する Theorem  \ref{順序集合におけるKan拡張の計算公式})で構成できる．このことを観察するため，指数関数の例
\[
\begin{tikzcd}
\Q \ar[rr,"2^q",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \R \\
&\R \ar[ru, "2^r=\Lan_{\iota}2^q"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
に立ち返ろう．$2^r$という自然な拡張(左右のKan拡張)は1章でも復習したように$r$へ収束する有理数列$q_1,q_2,\dots \to r$を一つ取り，$2^{q_1},2^{q_2},\dots$の収束先として定義した．$r=\pi$のときで書くと
\[
\begin{tikzcd}[row sep=3pt, column sep =3pt]
    3,\  3.1,\  3.14, \ 3.141, \ \dots &\to& \pi \\
   &\rotatebox{-90}{$\rightsquigarrow$} &\\
    2^{3},\  2^{3.1},\  2^{3.14}, \ 2^{3.141}, \ \dots &\to& 2^\pi
\end{tikzcd}
\]
などである．この定義では数列の極限の概念が使われているが，
% 圏論の話にするため
順序集合の言葉で次のように書き換えよう．

\begin{align*}
    2^\pi &\coloneqq \sup_{q\leq \pi} 2^q\\
    (&= \sup \{2^q\in \R\mid q\in \Q \land q\leq \pi\})  
\end{align*}


ここで$q$は$\pi$以下の有理数全てを渡る．$\pi$へ収束する有理数列を一つ選択するのではなく，$\pi$以下の有理数を全て考えるのである．

この構成方法は順序集合に一般化できる．
% 一般の圏の前に順序集合に限られた計算公式を記述しておく．

\begin{theorem}[順序集合におけるKan拡張の計算公式]\label{順序集合におけるKan拡張の計算公式}
順序集合$P,Q,R$と順序保存写像$f:P\to R$と$g:P\to Q$を考える.
\[
\begin{tikzcd}
P \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rd,"g"']&&R\\
&Q 
%\ar[ur,"G"'] 
%\ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]
&
\end{tikzcd}
\]
任意の$q\in Q$について$\displaystyle \sup_{g(p) \leq q} f(p)  \ (\in R)$が存在するとき,
\[q\mapsto \sup_{g(p) \leq q} f(p)\]
は$f$の$g$に沿った左Kan拡張を与える．
\[
\begin{tikzcd}
P \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rd,"g"']&&R\\
&Q \ar[ur," \displaystyle \sup_{g(p) \leq -} f(p)"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]&
\end{tikzcd}
\]
\end{theorem}
\begin{proof}\ 

主張内で定義された写像$q\mapsto \sup_{g(p) \leq q} f(p)$を$l:Q\to R$と書くことにする．

まず，$l$が順序保存写像であることを示す．$q\leq q'$なら$\{f(p)\mid p\in P \land g(p)\leq q\}\subset \{f(p)\mid p\in P \land g(p)\leq q'\}$となるので両辺の$\sup$をとれば$l(q)\leq l(q')$がわかる．

次に，$f\leq lg$を示す．任意に$p\in P$をとる．自明な(不)等式$g(p)\leq g(p)$より，\[f(p)\leq \sup_{g(p') \leq g(p)} f(p') =l(g(p))\]となる．

最後に$f\leq hg$なる任意の順序保存写像$h:Q\to R$について$l\leq h$なることを示す．任意に$q\in Q$をとる．$\sup$の定義を考えれば，$h(q)$が$\{f(p)\mid p\in P \land g(p)\leq q\}$の上界となることを示せばよい．$g(p)\leq q$なる任意の$p\in P$について，$h$は順序を保つので$hg(p)\leq h(q)$となる．また，仮定より$f(p)\leq hg(p)$となる．合わせて$f(p)\leq h(q)$となる．
\end{proof}

\begin{exercise}[右Kan拡張の計算公式]
双対的に，必要な$\inf$が存在すれば右Kan拡張は$\inf$で計算できることを示せ．
\end{exercise}

この計算公式を口語的に説明しようと試みてみる．まず，(左)Kan拡張を考える状況では，
\[
\begin{tikzcd}
P \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rd,"g"']&&R\\
&Q 
%\ar[ur,"G"'] 
%\ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]
&
\end{tikzcd}
\]
の状態から$Q\to R$に写像を伸ばしたい．$Q$の元$q$を受け取り，$R$の元を返したい．もちろん何かの意味で$P$を経由したいのだが，$g$の向きを考えれば安直にはうまく書けない．

そこでKan拡張の計算公式では，$Q$の元を受け取り，$P$の元たちで\textgt{型取り}をしてから$R$へ送る，ということをする！具体的に言えば，$q\in Q$を受け取ると，
\[\{p\in P\mid g(p)\leq q\}\subset P\]
という$P$の部分集合を作る．これは，($g$を介して)$q$より小さい$P$の元を集めている．これが先ほど言った「型」の役割を果たす．そして，この型を使って$R$の元を得る．どのようにするかと言えば，「型」を$f$で送って
\[\{f(p)\mid p\in P, g(p)\leq q\} \subset R\]
を得た後にこの上限をとるのである．この$Q,P,R$と移りながら型取りをして再現をする工程が，Kan拡張の計算公式
\[q\mapsto \sup_{g(p) \leq q} f(p)\]
の正体(の一つ)である！

もう少ししつこく言えば，この計算公式では「自分以下の元たちの上限($\sup$)をとる」という本来であれば自身の再構築になる操作を，順序集合を移りながらで行うことによって自然な拡張を得ているのである．次の自明な拡張問題を例にそのことを体験して欲しい．

\begin{exercise}[教育的牛刀割鶏]
順序集合$P$について，$\id{P}$に沿った$\id{P}$の左Kan拡張が$\id{P}$であることをTheorem \ref{順序集合におけるKan拡張の計算公式}を用いて再確認せよ．
\[
\begin{tikzcd}
P \ar[rr,"\id{P}",""{name=U, below}] \ar[rd,"\id{P}"']& & P \\
&P \ar[ru, "\id{P}"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
\end{exercise}

次の演習は，(Exercise \ref{あなた}と並んで)この文章中で最重要の演習の一つである．ぜひ取り組んで欲しい．
\begin{exercise}[ここまでの例]
この文章にこれまで出てきたKan拡張は全てこの公式で計算できる．このことを可能な限り多くの例で確認せよ．
\end{exercise}

この演習で計算公式の威力をいくらか感じ取ってもらえたと思う．9章で触れるように，圏論のKan拡張へ話を広げれば計算公式の適用範囲はさらに(比べ物にならないほど!)広がる．

\begin{definition}[各点Kan拡張]
Theorem \ref{順序集合におけるKan拡張の計算公式}で計算されるKan拡張を各点Kan拡張 (pointwise Kan extension) という．
\end{definition}

\begin{remark}[計算公式で計算できないKan拡張]
% 全ての左Kan拡張が計算公式で計算できるわけではない．順序集合の範囲でも各点でないKan拡張はあるので探してみるといい．計算公式で計算できるKan拡張を各点(pointwise)Kan拡張という．詳しくは\con{6.3.節}
Example \ref{反例}で紹介するように，各点Kan拡張でないKan拡張も存在する．

しかし，あまり悲観的になる必要もない．ここまでの例が全て各点Kan拡張であったことからも示唆されるように，\textgt{重要なKan拡張は各点Kan拡張である}という経験則($\neq$数学的主張)が知られている．\cite{context}の6.3.節では
\begin{quote}
By the categorical community's consensus, the important Kan extensions are pointwise Kan extensions. 
\end{quote}
と書かれている．
\cite{Benri}に至っては(この文章における)Kan拡張のことをweak Kan extensionと呼び，(この文章における)各点Kan拡張のみをKan extensionと呼んだ上で
\begin{quote}
Our present choice of nomenclature is based on our failure to find a single instance where a weak Kan extension plays any mathematical role whatsoever.
\end{quote}
とまで言っている．この経験則の真偽は今後読者一人一人が確かめて欲しい．
\end{remark}

Theorem \ref{順序集合におけるKan拡張の計算公式}の状況において，順序集合$R$がより多くの部分集合について$\sup$を持つほど左Kan拡張は存在しやすい．極端な場合が次の完備束である．

\begin{definition}[完備束]\label{完備束}
順序集合$P$が完備束であるとは，$P$の任意の部分集合が$\sup$を持つことを言う\footnote{実は，$P$の任意の部分集合が$\inf$を持つこと，と言っても同値になる．}．
\end{definition}

\begin{corollary}[Kan拡張の存在定理]\label{存在定理}
$R$が完備束なら，任意の順序保存写像$f:P\to R, g:P\to Q$について各点左Kan拡張$\Lan_g f$が存在する．
\end{corollary}

ここまでの例で言えば$\Omega,\ca{P}(X),\ca{O}(X),\Rc $ や演習における各種閉集合族(位相空間の閉集合や部分代数や凸集合など)などが完備束である．$\R$は空集合\footnote{空集合の$\sup$は最小元だと捉えている}と上に非有界な部分集合についてのみ$\sup$を持たない．集合を自明な順序で順序集合とみなしたものや$\Q$は，$\sup$を持たない部分集合がたくさんある\footnote{1元集合を順序集合と見なしたものは完備束なので例外}のでKan拡張も存在しにくかったのである．

演習として，Corollary \ref{存在定理} の逆を紹介しておく．

% その前に準備として$\sup$をKan拡張として記述しておく．

\begin{exercise}[Kan拡張の存在定理の逆]
$R$を順序集合とする．以下の$3$つの条件が同値なことを示せ．(ヒント: Example \ref{sup})
\begin{enumerate}
    \item $R$は完備束である．
    \item 任意の順序保存写像$f:P\to R, g:P\to Q$について，各点左Kan拡張$\Lan_g f$が存在する．
    \item 任意の順序保存写像$f:P\to R, g:P\to Q$について，左Kan拡張$\Lan_g f$が存在する．
\end{enumerate}
\end{exercise}


\section{計算公式の興味深い性質}
Kan拡張が本当の拡張になるための十分条件などKan拡張の興味深い性質を6章の計算公式を前提に紹介する．他の章に比べて理論的な話が多いため，興味を持てる演習のみ解けばよい．

この章は圏論のKan拡張の学習補助も目的としている．
以下で紹介する性質は圏論におけるKan拡張で一般に成立する定理を順序集合に落とし込んだものである．演習の形で紹介する証明も一般の場合と同様のものである．
% 圏論におけるKan拡張でも成立するような重要な性質を，圏論におけるKan拡張と同様の方法で証明する演習を並べる．
しかし，この文章の趣旨から外れないように圏論的背景は(面白くて力強くて直感的な理解のためにも非常に重要なのだが)一言触れるだけで説明しない．
対応する圏論の定理を今後勉強する人は簡単な場合でアイデアに触れておくために，既に勉強した人は簡単な例によるより良い理解を求めて，読むことを勧める．

% この章はどちらかといえば順序集合のKan拡張の事実の紹介というよりは，

% しかし，圏論のKan拡張を勉強する気がない読者ともモチベーションを共有できるように工夫した．
% どちらでもない人は事実自体に興味を持てるようなもののみを解けばいい．

\begin{definition}[順序集合の埋め込み]\label{埋め込み}
順序保存写像$f:P\to Q$が埋め込みであるとは，任意の$p,p'\in P$について
\[p\leq p' \iff f(p)\leq f(p')\]
なることをいう．
\end{definition}
対応する圏論の概念は\cite{context}の Definition 1.5.7. (関手のfully faithful)である．
ここまで埋め込みと呼んでいた順序保存写像は，全てこの意味で埋め込みになっている．
% 順序を引き%戻す順序保存写像は本質的には部分順序集合の埋め込みの形をしている．

\begin{exercise}[本当の拡張を与える十分条件]\label{本当の拡張}
順序保存写像$g:P\to Q$が埋め込みである
% (つまり，任意の$p,p'\in P$について$g(p)\leq g(p') \implies p\leq p'$)
とする．このとき，任意の順序保存写像$f:P\to R$について$f$の$g$に沿った各点左Kan拡張$\Lan_g f$は$f=(\Lan_g
f) \circ g$
\[
\begin{tikzcd}
P \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rd,"g"']&&R\\
&Q \ar[ur,"\Lan_g f"'] \ar["\rotatebox{90}{$=$}",phantom, to=U]&
\end{tikzcd}
\]
を満たすことを示せ．\textgt{埋め込みに沿った各点Kan拡張は本当の拡張である．}
対応する圏論の定理は，\cite{context}のCorollary 6.3.9.である．
%fully faithful functorに沿った各点Kan拡張は標準的な自然同型を除いて本当の拡張になっている，というものである．
\end{exercise}

8章で，各点性という仮定が必要なことがわかる例を紹介する．

\begin{exercise}[各点性の別定義]\label{別定義}
順序集合$R$とその元$r$について，順序保存写像$r\leq -:R\to \Omega$を考える．$g:P\to Q$に沿った$f:P\to R$の右Kan拡張$\Ran_g f$を考える．右Kan拡張$\Ran_g f$が各点であることは，任意の$r\in R$について

\[
\begin{tikzcd}[row sep=5pt]
P \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rdd,"g"']&&R \ar[r,"r\leq -"]&\Omega && P \ar[rr,"f",""{name=V, below}] \ar[rdd,"g"']&&R\ar[r,"r\leq -"]&\Omega\\
&&&&=&&&R\ar[ur,"r\leq -"']&\\
&Q \ar[uur,"\Ran_g f"'] \ar["\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom, to=U]& &&& &Q \ar[ur,"\Ran_{g} f"']  \ar["\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom, to=V]&&
\end{tikzcd}
\]

が再び右Kan拡張になることと同値なことを示せ．対応する圏論の定理は，\cite{context}のTheorem 6.3.7.である．
\end{exercise}

この別定義を明示的に利用して，各点性の十分条件を紹介する．

\begin{exercise}[最小元があれば各点]
右Kan拡張
\[
\begin{tikzcd}
P \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rd,"g"']&&R\\
&Q \ar[ur,"\Ran_g f"'] \ar["\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom, to=U]&
\end{tikzcd}
\]
を考える．\textgt{$R$が最小元$0_R$を持つなら，この右Kan拡張$\Ran_g f$は各点Kan拡張である}ことを示したい．Exercise \ref{別定義}を使うことを考える．任意に$r\in R$をとる．
\[
\begin{tikzcd}[row sep=5pt]
P \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rdd,"g"']&&R \ar[r,"r\leq -"]&\Omega && P \ar[rr,"f",""{name=V, below}] \ar[rdd,"g"']&&R\ar[r,"r\leq -"]&\Omega\\
&&&&=&&&R\ar[ur,"r\leq -"']&\\
&Q \ar[uur,"\Ran_g f"'] \ar["\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom, to=U]& &&& &Q \ar[ur,"\Ran_{g} f"']  \ar["\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom, to=V]&&
\end{tikzcd}
\]
が右Kan拡張であることを示せばよい．表記上の混乱を防ぐため，$r\leq -:R\to \Omega$のことを$s_r:R\to \Omega$と書く．補助的に，逆向きの順序保存写像$t_r:\Omega \to R$を
\begin{align*}
    t_r(\text{真})&=r\\
    t_r(\text{偽})&=0_R
\end{align*}
と定める．
\begin{enumerate}
    \item $t_r \circ s_r \leq \id{R}$かつ$ \id{\omega}\leq s_r\circ  t_r$であることを示せ\footnote{これを順序集合論ではガロア接続，圏論では随伴という}．
    \[
    \begin{tikzcd}
    R\ar[rd,"s_r"'] \ar[rr,"\id{R}"]&\ar[d,"\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom]&R
    &
    &R\ar[rd,"s_r"] &
    \\
    &\Omega\ar[ru,"t_r"'] &
    &
    \Omega\ar[ru,"t_r"] \ar[rr,"\id{\Omega}"']&\ar[u,"\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom]&\Omega
    \end{tikzcd}
    \]
    \item 1の前半を用い，$hg \leq s_r \circ f$なる任意の順序保存写像$h:Q\to \Omega$について$t_r h g \leq f$なることを示せ．
    \[
    \begin{tikzcd}[row sep=5pt]
    P\ar[rr,"f"] \ar[rdd,"g"']&&R\ar[rdd,"s_r"]&
    &&
    P\ar[rr,"f"], \ar[rdd,"g"']&&R\ar[rdd,"s_r"]\ar[rr,"\id{R}"]&\ &R\\
    &&&
    &\implies&
    &&&&\\
    &Q \ar[rr,"h"'] \ar[ruu, phantom, "\rotatebox{90}{$\leq$}"]&&\Omega
    &&
    &Q \ar[rr,"h"'] \ar[ruu, phantom, "\rotatebox{90}{$\leq$}"]&&\Omega \ar[ruu,"t_r"'] \ar[uu,"\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom]&
    \end{tikzcd}
    \]
    
    \item 2と右Kan拡張$\Ran_g f$の定義より$t_r h \leq \Ran_g f$なることを示せ．
    \[
    \begin{tikzcd}
    Q\ar[rd,"h"'] \ar[rr,"\Ran_g f"]&
    \ar[d,"\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom]&R
    \\
    &\Omega\ar[ru,"t_r"'] &
    \end{tikzcd}
    \]
    
    \item 1の後半と3より$h\leq s_r \Ran_g f$となることを示せ．
    \[
    \begin{tikzcd}
    Q\ar[rd,"h"'] \ar[rr,"\Ran_g f"]&
    \ar[d,"\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom]&R\ar[rd,"s_r"]&
    \\
    &\Omega\ar[ru,"t_r"'] \ar[rr,"\id{\Omega}"']&\ar[u,"\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom]&\Omega
    \end{tikzcd}
    \]
    
    \item 以上とExercise \ref{別定義}より，$\Ran_g f$は各点右Kan拡張であることを結論づけよ．
\end{enumerate}

この演習は，\cite{context}ではLemma 6.3.2.によりExercise 6.3.i.を解くことに対応する．
\end{exercise}
% 悪魔の階段の全射性

以下の二つの演習の準備として次の順序保存写像を定義しておく．
\begin{definition}[$\yo{P}:P\to \ca{D}(P)$]
順序集合$P$について，順序集合$\ca{D}(P)$と順序保存写像$\yo{P}:P\to \ca{
D}(P)$を以下のように定める．
\begin{itemize}
    \item $P$の部分集合$S\subset P$が下に閉じているとは，任意の$p\in S$について$p$以下の$P$の元は全て$S$の元になることをいう．
    % $p'\leq p$なる任意の$p'\in P$が$S$の元になることをいう．
    \item 下に閉じた$P$の部分集合とその包含関係のなす順序集合を$\ca{D}(P)$と書く．
    \item 順序保存写像$\yo{P}:P\to \ca{D}(P)$を
    \[\yo{P}(p) \coloneqq \{ p'\in P\mid p'\leq p\}\]
    で定める．
\end{itemize}
対応する圏論の概念は($\yo{P}$が埋め込みであるという事実も含めると) \cite{context} の Corollary 2.2.8 (前層圏と米田埋め込み)である．
\end{definition}


\begin{exercise}[冪集合の普遍性]\label{冪集合}
集合$X$に自明な順序を入れて順序集合だと思う．
(順序保存)写像$\yo{X}:X\to \ca{D}(X)=\ca{P}(X)$は$\yo{X}(x)= \{x\}$となっている．
$\ca{P}(X)$は完備束(Remark \ref{完備束}をみよ)である．$L$を完備束とする．(順序保存)写像$f:X\to L$について，順序保存写像$\hat{f}:\ca{P}(X)\to L$をTheorem \ref{順序集合におけるKan拡張の計算公式}で存在が保証される左Kan拡張

\[
\begin{tikzcd}
X \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rd,"\yo{X}"']&&L\\
&\ca{P}(X) \ar[ur,"\hat{f}"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]&
\end{tikzcd}
\]
と定める．
\begin{enumerate}
    \item $\hat{f}$は任意の$\sup$を保存する\footnote{$\sup$を保つとは，任意の部分集合について$\sup$の行き先が像の$\sup$と一致することをいう．}ことを示せ．
    \item 対応$f\mapsto \hat{f}$は(順序保存)写像$X\to L$と$\sup$を保つ順序保存写像$\ca{P}(X)\to L$の間の一対一対応を与えることを示せ．したがって\textgt{冪集合は集合の普遍的な完備化}\footnote{圏論的な文脈で言えば，実は余完備化というべきである．}である．
    \item 順序保存写像$\check{f}:L\to \ca{P}(X)$を$\check{f}(l)\coloneqq \{x\in X\mid f(x)\leq l\}$で定める．任意の$S\in \ca{P}(X), l\in L$について
    \[
    S\subset \check{f}(l) \iff  \hat{f}(S)\leq l
    \]
    となることを示せ\footnote{これを順序集合論ではガロア接続，圏論では随伴という}．
    % \item ガロア接続を知っている読者は，$L\ni l\mapsto \{x\in X\mid f(x)\leq l\} \in \ca{P}(X)$ が$\hat{f}$の上随伴を与えガロア接続をなすことを示せ．
    
    \item この演習における自明な順序による順序集合$X$を一般の順序集合$P$に一般化し，\textgt{$\ca{D}(P)$は$P$の普遍的な完備化である}ことを結論づけよ．
    % (ヒント : 全ての部分集合の集合$\ca{P}(X)$の代わりに下に閉じた部分集合の集合を考えよ)
\end{enumerate}
対応する圏論の定理は，Kan拡張に関するもっとも興味深い定理の一つであるNerve and realization\footnote{他にもKanの随伴や普遍随伴などと呼ばれることもあるらしい．} (nLab の\url{https://ncatlab.org/nlab/show/nerve+and+realization}や\cite{context}のRemark 6.5.9.など)である．
\end{exercise}

\begin{exercise}[稠密性]\label{稠密性}
順序保存写像$f:Q\to R$が稠密であるとは，$\id{R}$が$f$の$f$に沿った\textgt{各点}左Kan拡張になることをいう．
\[
\begin{tikzcd}
Q \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rd,"f"']& & R \\
&R \ar[ru, "\id{R}"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
口語的に言い換えれば，$R$の元が$Q$の元との関係性のみによって(計算公式で)復元できることをいう．

\begin{enumerate}
    \item 順序保存写像$f:Q\to R$について，
    % 下に閉じた\footnote{$S\subset Q$が下に閉じているとは$q\in s$かつ$q'\leq q$なら$q'\in Q$なることをいう．}$Q$の部分集合と包含関係のなす順序集合を$\ca{D}(Q)$と書く．
    順序保存写像$\check{f}:R\to \ca{D}(Q)$を$\check{f}(r)\coloneqq \{q\in Q\mid f(q)\leq r\}$で定める\footnote{これは Exercise \ref{冪集合}のものと等しい．圏論的にはrestricted Yoneda embedding というものになっている．
    %詳しくは\url{https://ncatlab.org/nlab/show/restricted+Yoneda+embedding}をみるとよい．
    }．
    % 順序集合$\ca{D}(R)$を下に閉じた$R$の部分集合($S\subset R$)
    このとき，$f$が稠密であることは$\check{f}$が埋め込みであること
    % 順序を引き%戻すこと
    % \[
    % r\leq r' \iff \check{f}(r) \subset \check{f}(r')
    % \]
    と同値なことを示せ．($R$の元は$Q$の部分集合として記述できる)
    \item 任意の順序集合$P$について，$\yo{P}:P\to \ca{D}(P)$は稠密なことを示せ.
\end{enumerate}
対応する圏論の定理は\cite{context}の Theorem 6.5.8. や\cite{CWM}のX章6節である．
\end{exercise}
各点性がないときについては，8章をみるといい．最後の稠密性の演習は，各点性が稠密の定義に出てきただけで，演習を解いただけではモチベーションを共有できなかったかもしれない．そこで，稠密性に関して親しみ深い例を挙げておく．
\begin{example}[実数における稠密性]
$\R$の部分集合$S\subset \R$の埋め込み$\iota:S\to \R$が稠密であることは，$S$が$\R$の部分集合として(位相空間的に)稠密であること，つまり任意の相異なる実数の組$r < r'$についてある$s\in S$が存在して$r< s <r'$となること，と同値である．特に$\iota:\Q\to \R$は稠密である．Exercise \ref{稠密性}の1により，$\check{\iota}:\R\to \ca{D}(\Q)$は埋め込みになり，実数は下に閉じた$\Q$の部分集合として記述できる．これはいわゆる\textgt{デデキント切断}である
% \footnote{$\check{\iota}:\R\to \ca{D}(\Q)$は全単射ではないから，デデキント切断による実数の定義を全て再現したわけではない．実際，距離についての$\Q$の完備化$\R$と順序についての$\Q$の完備化$\ca{D}(\Q)$はそもそも一致していない．
% しかし，$\Q$と二つの完備化$\R,\ca{D}(\Q)$には$\Q\subset \R ``\subset" \ca{D}(\Q)$なる関係があり，対応する圏論の概念( \url{https://ncatlab.org/nlab/show/Cauchy+complete+category#idea} )もある．}．
\end{example}

% これらの演習は強調してきた通り圏論のKan拡張の豊かな理論を背景に持っている．この文章の趣旨から離れるので背景の詳細には踏み込まないが，






\section{予想外のおもちゃ}
この章では少し変わったKan拡張の例を4つ挙げる．最初の二つは各点でないKan拡張であり，7章で各点性を仮定した2つの演習の各点性を外した場合の反例になっている．残りの2つはカントールの悪魔の階段のKan拡張としての記述とケイリー・ハミルトンの定理のKan拡張を用いた\textgt{証明}である．
\begin{example}[各点でないKan拡張1]\label{反例}
次の$3$つの順序集合を考える．$P=\{a,c\}$には自明な順序を入れる．
$Q=\{a,b,c\}$には$a\geq b \leq c$なる順序を入れる．
$R=\{a,a^{+},b^{+},c^{+},c\}$には$a\leq a^{+}\geq b^{+}\leq c^{+}\geq c$なる順序を入れる．

% $f:P\to R$を$f(a)\coloneqq a, f(b)\coloneqq b$で，$g:P\to Q$を$g(a)\coloneqq a, g(b)\coloneqq b$で定める．

\begin{center}
\begin{tikzpicture} [scale = 1]
    \draw[thick, rounded corners=10pt] (-4.5,-0.5)--(-2.5,-0.5)--(-2.5,1.5)--(-4.5,1.5)-- cycle;
    \fill[black] (-4,0.5) circle (0.06) node[above]{$a$};
    \fill[black] (-3,0.5) circle (0.06) node[above]{$c$};
    \fill[black] (-3.5,-0.5) circle (0) node[below]{$P$};
    
    \draw[thick, rounded corners=10pt] (-1.5,-0.5)--(1.5,-0.5)--(1.5,1.5)--(-1.5,1.5)-- cycle;
    \draw[black, thick] (-1,1) -- (0,0)--(1,1);
    \fill[black] (-1,1) circle (0.06) node[above]{$a$};
    \fill[black] (0,0)  circle (0.06) node[below]{$b$};
    \fill[black] (1,1)  circle (0.06) node[above]{$c$};
    \fill[black] (0,-0.5) circle (0) node[below]{$Q$};
    
    \draw[thick, rounded corners=10pt] (2.5,-0.5)--(7.5,-0.5)--(7.5,1.5)--(2.5,1.5)-- cycle;
    \draw[black, thick] (3,0)--(4,1)--(5,0)--(6,1)--(7,0);
    \fill[black] (3,0) circle (0.06) node[below]{$a$};
    \fill[black] (4,1) circle (0.06) node[above]{$a^{+}$};
    \fill[black] (5,0) circle (0.06) node[below]{$b^{+}$};
    \fill[black] (6,1) circle (0.06) node[above]{$c^{+}$};
    \fill[black] (7,0) circle (0.06) node[below]{$c$};
    \fill[black] (5,-0.5) circle (0) node[below]{$R$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

順序保存写像$f:P\to R$と$g:P\to Q$を$a$は$a$に，$c$は$c$に移すことで定める．順序保存写像$(-)^{+}:Q\to R$を$a$は$a^{+}$に，$b$は$b^{+}$に，$c$は$c^{+}$に移すことで定める．

このとき，$f\leq (-)^{+} \circ g$となる．
\[
\begin{tikzcd}
P \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rd,"g"']&&R\\
&Q \ar[ur,"(-)^{+}"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]&
\end{tikzcd}
\]
さらに，$f\leq h \circ g$なる順序保存写像$h:Q\to R$は$(-)^{+}$しか存在しない．したがって$(-)^{+
}$は$f$の$g$に沿った左Kan拡張である．しかし，\textgt{この左Kan拡張は各点Kan拡張ではない．}さらに，$g$は埋め込みであるにもかかわらず$(-)^{+}$は$f$の真の拡張になっていない．したがって\textgt{ Exercise \ref{本当の拡張}における各点性の仮定は必要である．}
\end{example}

次の例は\texttt{@LiEat\textunderscore D}に教えてもらったものである．
私が書き直しているので，間違いがあれば私に責任がある．
\begin{example}[各点でないKan拡張2]\label{反例2}
次の$2$つの順序集合を考える．$Q=\{a,1\}$には自明な順序を入れる．
$R=\{a,0,1\}$には$0\leq 1$なる順序を入れる．

\begin{center}
\begin{tikzpicture} [scale = 1]
    \draw[thick, rounded corners=10pt] (-4.5,-0.5)--(-2.5,-0.5)--(-2.5,1.5)--(-4.5,1.5)-- cycle;
    \fill[black] (-4,0.5) circle (0.06) node[above]{$a$};
    \fill[black] (-3,0.5) circle (0.06) node[above]{$1$};
    \fill[black] (-3.5,-0.5) circle (0) node[below]{$Q$};
    
    \draw[thick, rounded corners=10pt] (-1.5,-0.5)--(0.5,-0.5)--(0.5,1.5)--(-1.5,1.5)-- cycle;
    \draw[black, thick] (0,0)--(0,1);
    \fill[black] (-1,0.5) circle (0.06) node[above]{$a$};
    \fill[black] (0,0)  circle (0.06) node[below]{$0$};
    \fill[black] (0,1)  circle (0.06) node[above]{$1$};
    \fill[black] (-0.5,-0.5) circle (0) node[below]{$R$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

順序保存写像$f:Q\to R$を$a$は$a$に，$1$は$1$に移すことで定める．
このとき，$\id{R}$は$f$の$f$に沿った左Kan拡張になる．
\[
\begin{tikzcd}
Q \ar[rr,"f",""{name=U, below}] \ar[rd,"f"']& & R \\
&R \ar[ru, "\id{R}"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
しかし，$0\in R$の行き先を考えればこの左Kan拡張は各点Kan拡張ではないことがわかる．したがって Exercise \ref{稠密性} における\textgt{ 稠密性の定義で各点性を外すと別の概念になってしまう}し，当然Exercise \ref{稠密性} の小問1は成立しなくなる．
\end{example}

\begin{example}[カントールの悪魔の階段]
カントールの悪魔の階段は，3進数評価に沿った2進数評価の右Kan拡張であることを説明する．

\begin{figure}[h]
\caption{カントールの悪魔の階段}
\centering
   \includegraphics[scale=0.15]{images/cantor.png} 
\end{figure}

二つの記号$+,-$の無限文字列全体と$+\geq -$ による辞書式順序順序集合\footnote{つまり，$(a_n)_{n=1}^{\infty}\leq  (b_n)_{n=1}^{\infty}$となるのは二つの無限文字列が等しいとき$(a_n)_{n=1}^{\infty}= (b_n)_{n=1}^{\infty}$か，異なる最初の記号$a_{n_0}\neq b_{n_0}$について$a_{n_0}=-$ かつ $b_{n_0}=+$なることとする．}
% \footnote{例えば辞書式順序でよい}
$\rm{Sq}\coloneqq \{+,-\}^{\{1,2,3,\dots\}}$を考える．
% $\rm{Sq}$の元$(a_n)_{n=1}^{\infty}, (b_n)_{n=1}^{\infty}$の大小を辞書式順序で定める．
正整数$m\geq 1$について，$m$進数評価という順序保存写像${\rm{ev}}_m:\rm{Sq}\to \Ri$を次のように定める．$-$を0へ，$+$を$m-1$へ置き換えて$m$進数少数展開だと思ったときの値，つまり
\[
{\rm{ev}}_m ((a_n)_{n=1}^{\infty}) \coloneqq \sum_{n \geq 1, a_n=+} \frac{m-1}{m^n}
\]
と定める．例えば
\begin{align*}
   {\rm{ev}}_{10} (++++++\dots) &=0.999999\dots=1\\
   {\rm{ev}}_{ 3} (+-+-+-\dots) &=(0.202020\dots)_{3}=0.75
\end{align*}
である．カントールの悪魔の階段$c:\Ri\to \Ri$は${\rm{ev}}_{ 3}$に沿った${\rm{ev}}_{ 2}$の右Kan拡張である．
% \begin{align*}
%   {\rm{ev}}_2 (+-+-+-\dots) &=\frac{1}{2^1}+\frac{0}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{0}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{0}{2^6}+\dots \\&=\frac{2}{3}\\
%   {\rm{ev}}_3 (+-+-+-\dots) &=\frac{2}{3^1}+\frac{0}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{0}{3^4}+\frac{2}{3^5}+\frac{0}{3^6}+\dots \\&=\frac{2}{3000}
% \end{align*}
\[
\begin{tikzcd}
{\rm{Sq}} \ar[rr,"{\rm{ev}}_{ 2}",""{name=U, below}] \ar[rd,"{\rm{ev}}_{ 3}"']&&\Ri\\
&\Ri \ar[ur,"c"'] \ar["\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom, to=U]&
\end{tikzcd}
\]
\end{example}


% \begin{example}[連分数展開]

% \end{example}

\begin{example}[ケイリー・ハミルトンの定理]
$\C$上\footnote{好きな体に変えてもいい}有限次元線型空間$V$と自己線型写像$f:V\to V$の組$(V,f)$を有限次元線形離散力学系(以下，FLDD)と呼ぶことにする．線形代数における正方行列の理論はFLDDの理論とも捉えられる．

FLDD $(V,f)$の最小多項式$\varphi_{(V,f)}$とは，$\varphi (f)=0$なる$\C$上モニック多項式\footnote{最高次の係数が1の多項式のこと}$\varphi(X) \in \CX$のうち最小次数のものであった．最小多項式の定義は「条件を満たす最小のもの」の形であり普遍性の一種である．この普遍性を$\sup$の形で書き，
(各点)左Kan拡張であることを観察しよう．

線型写像$\varphi (f)$が$0$であることの定義は任意の元を$0$に送るということだった．したがって，各元$v\in V$について$\varphi (f)(v)=0$となるモニック多項式$\varphi(X)$のうち最小次数のもの$\varphi_v(X)$を用いれば，最小多項式$\varphi (X)$は$\{\varphi_v\mid v\in V \}$の最小公倍多項式と書ける．最小公倍多項式は$\CX$のモニック多項式と剰余関係のなす順序集合\footnote{環論を知っている人は，代わりに$\CX$のイデアルと包含関係のなす順序集合(の反変順序集合)を考えることを勧める．$\CX$がPIDであることを用いれば($0$をモニックに含むかの流儀に依存するが)反変順序同型が得られる．イデアルとみて議論すれば(モニックだとか言わずに済む分)議論が単純になり，多方向への一般化に耐え，部分代数の順序集合に関する一般論(例えば完備束になること)が直ちに使えるなどのメリットがある．}$\MPoly_\C$の$\sup$なので，
\[
\varphi (X) = \sup_{v\in V} \varphi_v (X) 
%\  \text{in} \Monic_\C
\]
とも書ける．

これが各点左Kan拡張の形になっていることを観察しよう．順序集合$\LDyn$を，FLDDの同型類\footnote{自己射と可換な線形同型の存在で定義している}を元にもち，自己線型写像と可換な単射線形写像$(W,g)\to (V,f)$が存在するとき$(W,g)\leq (V,f)$とする順序集合として定める
% \footnote{この圏が線形離散力学系を扱う普通の圏であるかのような誤解を生みやすい記法になっているが，不要な視覚的煩雑さを回避するための妥協策である．私の流儀では，線形離散力学系の圏$\displaystyle \Vect_{\C}^{\hspace{4pt}\mathbb{N}}$を用いて
% $\displaystyle (\Vect_{\C}^{\hspace{4pt}\mathbb{N}})^{\text{fin.dim.}}_{\text{mono}}$と書いている．ここで$\mathbb{N}$は非負整数と加法のモノイドを一点圏とみなしたものである．}
．
そして，順序集合$\LDyn^\text{cyc}$を一元生成\footnote{$(V,f)$が一元生成とはある元$v\in V$が存在し$\{f^n (v) \mid n \in \mathbb{N}\}$が$V$を線型空間として生成することをいう．ある元$v\in V$が存在し$v$を含む最小の部分線形力学系が$V$全体であることといってもよい
．
%$\C[x]$加群としての一元生成と同じ．
}なFLDDからなる$\LDyn$の部分順序集合とする．部分FLDDの最小多項式は全体の最小多項式を割り切るので最小多項式を取る順序保存写像$\mpo:\LDyn\to \MPoly_\C$が伸びる．その$\LDyn^\text{cyc}$への制限にも$\mpo:\LDyn^\text{cyc}\to \MPoly_\C$という表記を用いる．元を見る代わりに一元生成な部分線形離散力学系を考えれば，ここまでの考察より
\[
\begin{tikzcd}[row sep = 30pt]
\LDyn^\text{cyc} \ar[rr,"\mpo",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']&&\MPoly_\C\\
&\LDyn \ar[ur,"\mpo"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]&
\end{tikzcd}
\]
は各点左Kan拡張であることがわかる．このように，$(V,f)$の最小多項式は，$V$の元を零化する多項式たちの$V$全体への自然な拡張である．

最小多項式がKan拡張であることは，実はケイリー・ハミルトンの定理を含意している．一元生成な有限次元線形離散力学系については，最小多項式と固有多項式は一致している\footnote{生成元$v$について基底$\{f^n (v)\mid 0\leq n< \dim_V\}$での行列表示を見よ．}から，固有多項式をとる順序保存写像\footnote{順序保存写像であることは簡単に確認できる．部分FLDD $W$に関して，$W$の基底を拡張した基底について行列表示を見るといい．}$\Phi_-:\LDyn\to \MPoly_\C$に関して$\mpo= \Phi_- \circ \iota :\LDyn^\text{cyc}\to \MPoly_\C$．なる等式がある．
\[
\begin{tikzcd}[row sep = 30pt]
\LDyn^\text{cyc} \ar[rr,"\mpo=\Phi_-",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']&&\MPoly_\C\\
&\LDyn \ar[ur,"\Phi_-"'] \ar["\rotatebox{90}{$=$}",phantom,to=U]&
\end{tikzcd}
\]
左Kan拡張の定義(普遍性)より
\[
\begin{tikzcd}[row sep = 10pt]
\LDyn^\text{cyc} \ar[rr,"\mpo=\Phi_-",""{name=U, below}] \ar[rdd,"\iota"']&&\MPoly_\C && \LDyn^\text{cyc} \ar[rr,"\mpo=\Phi_-",""{name=V, below}] \ar[rdd,"\iota"']&&\MPoly_\C\\
&&&\implies&&&\\
&\LDyn \ar[uur,"\Phi_-"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom,to=U]& && &\LDyn \ar[uur,"\mpo",bend left=20,""{name=a,below}] \ar[uur,""{name=b, above},bend right=20, "\Phi_-"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=V]&
\ar["\rotatebox{135}{$\geq$}",phantom, from=a, to=b,]
% "\hspace{-10pt}\ ^{\exists !}\text{CH}",start anchor=north east,end anchor=south west
\end{tikzcd}
\]
$\mpo\leq\Phi_- :\LDyn\to \MPoly_\C$となる．つまり，任意のFLDDについて\textgt{最小多項式は固有多項式を割り切る．}これはケーリー・ハミルトンの定理である．
% $\text{CH}$の$(V,f)$成分$\text{CH}_{(V,f)}:\varphi_{(V,f)} \to \Phi_{(V,f)}$は，剰余関係「$\varphi_{(V,f)}(X)$ は$ \Phi_{(V,f)}(X)$を割り切る」である．
% つまり，\textgt{Kan拡張の普遍性で伸びる自然変換の$(V,f)$成分は$(V,f)$におけるケイリー・ハミルトンの定理である．}

この証明は順序集合論より広い圏論の枠組みで記述した方が多少スッキリする．\cite{sekai}におけるケイリー・ハミルトンの定理の証明は，実質的にこの証明を書き下したものになっている．
\end{example}

% \section{例外的なおもちゃ}


% \begin{example}[ffに沿ったKanで真の拡張でないもの]

% \end{example}

% \begin{example}[idのKan拡張で随伴でないもの]
% これはしょうもないな．離散圏1,2,1でいいので
% \end{example}

% \begin{example}[Yoneda extensionで左完全でないもの]

% \end{example}

% \begin{example}[codensity monadで各点でないもの]

% \end{example}
半分冗談半分本気で次の演習を出しておく．
\begin{exercise}\label{あなた}
あなたが最近勉強した数学の中から順序集合のKan拡張を探し，面白いものを見つけ次第私(twitter: \texttt{@hora\textunderscore algebra})に教えてください．
\end{exercise}

\section{圏論の紹介 : Kan拡張はもっとすごい!}
ここまで，順序集合の範囲でKan拡張の概念を説明してきた．普通，Kan拡張は圏論の文脈で記述されるものである．圏論におけるKan拡張に興味がある人は\cite{context}や\cite{CWM}を読むとよい．

順序集合は元の間に大小関係を考えるものだったが，圏は元(普通，対象と呼ぶ)の間により豊かな関係性(普通，射と呼ぶ)を考えられるような順序集合の一般化概念である．圏論が強力な一つの理由は，数学的対象とその間の関係を一つの圏とみなせることである．そして，この文章における順序保存写像に対応する概念(関手)は，数学的対象の構成とみることができる．この視点により，この文章では順序保存写像の拡張理論であった\textgt{Kan拡張は圏の言葉では数学的構成の拡張理論になる．}ここに，Kan拡張の重要性の本質(の一つ)がある．

また，基礎的な圏論の中には他にも米田の補題や米田埋め込みや随伴や極限やモナドなどの理論があるが，Kan拡張はこれらに直感的で統一的な視点を与える．例えば，「関手から対象を得る$2$つの自然な方法が極限と余極限である」などである\footnote{順序集合での対応物はExercise \ref{sup}である． }． このように，\textgt{Kan拡張の理論は基本的な圏論概念の統一理論である}という見方もできるのである．この視点における有名な言葉が「全ての概念はKan拡張である」である．\cite{CWM}から引用すれば
\begin{quote}
    The notion of Kan extensions subsumes all the other fundamental concepts of category theory.
\end{quote}
である．

圏論を学ぶメリットを大量に列挙する代わりに，ここまでの文章で感じ取れるかもしれない圏論の一つの役割を強調してこの文章を終える．それは，\textgt{凡人のための道標としての圏論}である．圏論は数学に対する自然で直感的な視点を提供しようとする．あなたが，よい道筋を自力で思い付けるような天才でなくても，過去の天才が整理した圏論を用いることで\quotes{正しい}方向性を知ることができるかもしれない．測度を可能な限り大きな範囲に拡張したいときに，「任意の零集合の部分集合が...」と考えられなくても，順序集合のKan拡張を知っているあなたは可能な限り大きな範囲に拡張したいとそのままKan拡張の理論に訴えればよい．圏論のKan拡張を学べば，順序集合の枠組みから飛び出して，部分群の表現を全体に拡張したいときも，quasi-isoの逆射を追加した圏に関手を拡張したいときも，自然数に対する標準単体をsimplicial setの位相空間的な実現に拡張したいときも，開集合をbundleとみなす方法を前層をbundleとみなす方法に拡張したいときも，Kan拡張は\quotes{正しい}方向性を教えてくれる．

% 圏論一般:A better understanding of mathematics is itself mathematics!! 

% analogy

% 凡人が"正しい"理論を組み立てるための理論
% e.g.)測度空間の完備化で，null-setの部分集合が全て可測，と最大の拡張，どちらを思いつくか？

% \begin{example}[二項命題に誘導されるガロア接続]
% \end{example}


\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{context} Riehl, Emily. Category theory in context. Courier Dover Publications, 2017.
\bibitem{CWM} Mac Lane, Saunders. Categories for the working mathematician. Vol. 5. Springer Science \& Business Media, 2013.
\bibitem{SGL} MacLane, Saunders, and Ieke Moerdijk. Sheaves in geometry and logic: A first introduction to topos theory. Springer Science \& Business Media, 2012.
\bibitem{awodey}Awodey, Steve. Category theory. Oxford university press, 2010.
\bibitem{Benri}Kelly, G. M.. BASIC CONCEPTS OF ENRICHED CATEGORY THEORY. 2005.
\bibitem{toy} hora-algebra, 圏論のToy Exampleとしての集合演算. \url{https://hora-algebra.github.io/ToyExample1.pdf}

\bibitem{sekai} 斎藤毅. 線形代数の世界 : 抽象数学の入り口. 東京大学出版会, 2007.
\end{thebibliography}
\end{document}

例えば，
\begin{itemize}
    \item 有理数上で定義された指数関数$2^q:\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$を実数上の関数$2^r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$に拡張したい.
    \item 測度空間$(X,\mathcal{B},\mu)$における測度$\mu:\mathcal{B}\to \Bar{\mathbb{R}}$を拡張して完備な測度を得たい．
    \item 部分群$H\subset G$の線形表現を拡張して群$G$の線形表現を得たい．
\end{itemize}
などである．

この文章を読み終わる頃には，
\begin{itemize}
    \item 量化子$\forall, \exists$．
    \item 行列の最小多項式とケーリーハミルトンの定理
    \item 初等的な圏論における「全ての概念\footnote{\cite{CWM}にはAll Concepts are Kan Extensionsという節があり，"The notion of Kan extensions subsumes all the other fundamental concepts of category theory."と主張されている}」.例えば米田，極限，随伴など．
    \item 前層の層化
    \item 二項関係に誘導されるガロア接続
\end{itemize}
など数学の至る所に拡張問題が隠れていること


初期位置に依存して大域最適戦略を取れるか決まって格差拡大するの，Kan拡張じゃないの?

順序集合が完備束であることとなんでもKan拡張が存在することは同値:最終章で回収

親等，もう少し正確には，人間pを受け取って，「私の祖先をn代遡ればpの祖先でもある人間が存在する」という$n \in {\N \cup \{\infty\}}$を返す関数は，{(), M, F, MM, MF, FM, FF, ...}から長さをとる関数の，祖先遡り関数に沿ったKan拡張である．

density書くか!
right Kan extension induces a closure.
・example from real number
・yoneda is dense 
測度空間の完備性は？:うーん
・restrictrd yonedaのff性との同値性!
・counter example of pointedness of Kan extension along it self
dense の合成がdenseでない例は？

[a/mn]=[[a/m]/n]を，随伴版で書きたいね．