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Ver1__main.tex

\documentclass{book}

% パッケージの読み込み
\usepackage{amsmath} % 数式用
\usepackage{amsthm} % 定理環境用
\usepackage{amsfonts} % 数学フォント用
\usepackage{amssymb} % 数学記号用
\usepackage[utf8]{inputenc} % 文字エンコーディング
\usepackage[T1]{fontenc} % フォントエンコーディング
\usepackage{graphicx} % 画像挿入用
\usepackage[colorlinks=true, urlcolor=blue, linkcolor=blue, citecolor=blue]{hyperref}
\usepackage{tikz,tikz-cd}
% \usepackage[english, japanese]{babel} % 言語設定
\usepackage[style=alphabetic,sorting=nyt]{biblatex}
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% \addbibresource{biblio.bib}
\addbibresource{CommonBiblio.bib}
\tikzset{pullback/.style={minimum size=1.2ex,path picture={
\draw[opacity=1,black,-,#1] (-0.5ex,-0.5ex) -- (0.5ex,-0.5ex) -- (0.5ex,0.5ex);%
}}}

% 定理、定義などの環境設定
\newtheorem{theorem}{定理}[chapter]
\newtheorem{definition}[theorem]{定義}
\newtheorem{proposition}[theorem]{命題}
\newtheorem{corollary}[theorem]{系}
\newtheorem{lemma}[theorem]{補題}
\newtheorem{example}[theorem]{例}
\newtheorem{remark}[theorem]{注}

\newcommand{\dig}[1]{#1}

% ドキュメント開始
\begin{document}

% タイトルページ
% \title{具体例で遊ぶ圏論}
% \title{初めて学ぶ数学としての圏論}
% \title{Kan拡張から始める圏論}
% \title{Category theory in REAL contexts}
\title{Enjoy勢のための圏論}
\author{洞龍弥}
\date{\today}
\maketitle

% 目次
\tableofcontents

% 序論
\chapter{序論}
\section{この教材のコンセプト}
この教材の想定読者は，以下のような人である．
% 数学をバックグラウンドに持たない人が初めて学ぶ数学とし
\begin{itemize}
    % \item 集合や写像の言葉は知っているが，専門は数学ではない．
    \item 本職や趣味の中で圏論という言葉を聞いて興味が出た．
    \item 集合や写像の言葉は知っているが，特に詳しい現代数学の分野があるわけではない.
    \item 圏論をある程度数学的に学びたい．
\end{itemize}

B3のSセメの数学の授業になりうるように．

普通の教科書との大きな違いは以下である：
\begin{itemize}
    \item 日本語で書かれている．
    \item やや応用圏論よりの内容である．数学科生向けのアーベル圏やホモロジー代数のようなトピックは含まず，"現実世界"に根付いたモナドやmonoidal圏に力を入れる．
    \item Enjoyすることが目的．
    \item pure mathではない例を積極的に挙げていく
\end{itemize}

このような読者向けの本はすでに存在している．代表例は\cite{awodey2010category}である．

\section{この教材の楽しみ方}

\cite{riehl2017category}
\chapter{圏，関手，自然変換，Kan拡張}
このChapterで理解すべきこと:
\begin{itemize}
    \item 圏の定義
    \item 関手の定義
    \item 自然変換の定義
\end{itemize}
\section{数学的対象の集まりとしての圏}
\begin{example}
集合と写像の圏
\end{example}
\begin{example}
線型空間と線形写像の圏
\end{example}
\begin{example}
群と群準同型の圏
\end{example}
\begin{example}
環と環準同型の圏
\end{example}
\begin{example}
体と(環)準同型の圏
\end{example}
\begin{example}
位相空間と連続写像の圏
\end{example}
\begin{example}
$C^r$級多様体と$C^r$級写像の圏 ($r=0,1, \dots \infty$)
\end{example}
\begin{example}
加群と加群準同型の圏
\end{example}
\begin{example}
バナッハ空間と有界線型写像の圏
\end{example}
\begin{example}
chain complexとchain complexの射の圏
\end{example}
\begin{example}
一階述語論理による理論$T$について，$T$のモデルと構造を保つ写像の圏
\end{example}
\begin{example}
    位相空間と，連続写像のhomotopy類の圏
\end{example}
\begin{example}
集合と部分写像の圏
\end{example}
\begin{example}
基点つき集合と基点を保つ写像の圏
\end{example}
\begin{example}
Heyting algebraとHeyting algebra準同型の圏
\end{example}
\begin{example}
リー環とリー環準同型の圏
\end{example}
\begin{example}
群$G$について，$G$表現とequivaliant linear mapの圏
\end{example}
\begin{example}
無向グラフと無向グラフ準同型の圏
\end{example}
\begin{example}
有向グラフと有向グラフ準同型の圏
\end{example}
\begin{example}
オートマトンとオートマトン準同型の圏
\end{example}
\begin{example}
simplicial setとsimplicial set準同型の圏
\end{example}
\begin{example}
圏と関手の圏
\end{example}


\begin{example}
組合せゲームと必勝戦略の圏
\end{example}
\section{順序集合の一般化としての圏}
\section{群の一般化としての圏}
\begin{example}
群は圏
\end{example}
\begin{example}
モノイドは圏
\end{example}
\begin{example}
花瓶の操作は圏
\end{example}
\begin{example}
    SEG木に乗るのは圏？
\end{example}
\section{プログラムのなす構造としての圏}
\subsection{Examples}

\section{他の圏たち}
\begin{itemize}
    \item 哲学
    \item 脳科学
    \item 統計力学
    \item Music(!?)
    \item topos
    \item 熱力学
    \item 量子論
    \item 言語学
    \item type theory
    \item Neural network
    \item 幾何学的AI
    \item Automaton
    \item Game theory
    \item 組合せ論
    \item 安全性証明
    \item database
\end{itemize}
\section{Kan拡張}

\chapter{圏論の考え方}
\section{関係性から考える: 米田の補題}
\section{普遍性から考える: 極限,余極限}
\section{等しさとは何か: 同型，圏同値}

\chapter{圏論の諸概念}
\section{極限，余極限}
\section{随伴とモナド}
\subsection{Kleisli圏}
\section{Kan拡張: 再び}
\section{Monoidal圏}
\subsection{CCC and type theory}
\subsection{Compact closed category and TQFT}
String diagram


\printbibliography

% ドキュメント終了
\end{document}