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{
  \begin{frame}
    \frametitle{Table of Contents}
    \tableofcontents[currentsection]
  \end{frame}
}

\title{圏論の利用と濫用}
\author{洞龍弥}
\institute[]{東京大学数理科学研究科博士1年, NII RA}
\date[2024年4月24日]{2024年4月24日\\}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{自己紹介}
\begin{description}
    \item[所属1] 東京大学数理科学研究科博士1年
    \item[所属2] NII 宇野研究室 RA
    \item[専門] 数学$\overset{?}{\supset}$圏論$\supset$Topos理論(など)
    \item[動機] あまりにも数学が楽しい！！
    \item[趣味] 散歩，ボルダリング，発熱．
\end{description}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{どう聞くか，なぜ聞くか}
\begin{itemize}
    \item 圏論ってなんだ $\to$ 圏論を知るために．(研究に関わるかも?)
    \item 圏論ってooだよね $\to$ 圏論の実態を知るために
    \item 興味ないなあ $\to$ 洞を助けるために
\end{itemize}

\end{frame}
\input{WholePicture}
\section{圏論の現状: 爆発！！}
\include{WholePicture}
% \begin{frame} \frametitle{圏論の爆発: 純粋数学}
%     \begin{itemize}
%     \item 現代数学(特に代数や幾何学)では圏論は最も基本的なツールの一つ
%     \begin{itemize}
%         \item フェルマーの最終定理
%         \item IUT理論
%         \item ホモロジカルミラー対称性
%     \end{itemize}
%     \item 論理学や計算機科学との関連も歴史のある分野
%     \begin{itemize}
%         \item 型理論の圏論的意味論
%         \item 連続体仮説の独立性証明のtopos解釈
%         \item Haskell
%     \end{itemize}
% \end{itemize}
% \end{frame}

\begin{frame}{圏論の爆発: デモンストレーション}
    学術分野と圏論との関係を調べると，(理系ならかなりの確率で，人文でも稀に)出てくる．\\

\pause
\fbox{\textbf{Neuro-symbolic AI and Category theory $\mid$ 検索}}
\pause

\begin{block}{Neuro-Symbolic Causal Reasoning Meets Signaling Game for Emergent Semantic Communications \\{\tiny Thomas, Christo Kurisummoottil, and Walid Saad. IEEE Transactions on Wireless Communications (2023).}}
    To this end, category theory has excellent algebraic structural properties that allows the grouping of all the syntactic and semantic objects part of the language. 
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{圏論の爆発: 純粋数学}
現代数学(特に代数や幾何学)では圏論は最も基本的なツールの一つ
    \begin{itemize}
        \item 数学的対象の同一性の定式化や，各種の構成に使われる
        \item Grothendieck による代数幾何学の革新
        \item 代数トポロジーにおける関手性
        \item 型理論の圏論的意味論
        \item 連続体仮説の独立性証明のtopos解釈
    \end{itemize}

    例えば，フェルマーの最終定理の証明やIUT理論にも当然圏が出てくる. 高校数学における数のようなもの(?)
\end{frame}

\begin{frame} {圏論の爆発: 応用数学}
近年(?)，応用圏論も確立されてきた．
    \begin{itemize}
    \item プログラミング言語の圏論的意味論
    \item 蓮尾先生(NII)やDavid Spivakの安全性検証
    \item 数理物理( Foundations of Quantum Theory,
From Classical Concepts to Operator Algebras (Springer 2017) やホモロジカルミラー対称性など)
    \item Topos institute
    \item 活躍する圏論 (Brendan Fong 著・ David I. Spivak 著・ 川辺 治之 訳) 共立出版 2023.
    \end{itemize}

    % \item Neural Network (前回のAFSAコロキウム)
    % \item 圏論との関係を調べると，(理系ならかなりの確率で，人文でも稀に)出てくる．
\end{frame}

\begin{frame}{圏論の爆発: 数学の外(?)}
そして，一見数学とは関係なさそうなところでも考察されている
    \begin{itemize}
        \item 万物の理論としての圏論 (丸山善宏, 2023, 青土社)
        \item “現実”とは何か―数学・哲学から始まる世界像の転換 (西郷 甲矢人/田口 茂, 筑摩選書, 2019)
        \item Categories for the Working Philosophers (Elaine Landry (ed.)
Oxford, 2017)
        \item かわんご「圏論はやっぱり素晴らしいな。世界の成り立ちが根本からわかる感じ。」(2024/03/26)
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{誤解，軋轢}
\begin{itemize}
    \item 幅広く認知され始めた
    \item 「関係性で物事を捉える」というわかりやすいスローガンがある
\end{itemize}
    $\to$誤解や軋轢が多い．
\end{frame}

\begin{frame}{なぜ幅広く注目されているのか？}
    (今日向けに非常に単純化した答えとしては)圏論の持つ二面性によるものである．
    \begin{itemize}
        \item 数学理論としての圏論
        \item 思考様式としての圏論
    \end{itemize}
\end{frame}




\section{数学理論としての圏論}
\include{WholePicture}
\begin{frame}{圏の定義(存在だけ)}

{\small
\begin{block}{定義: 圏}
    \textbf{圏}とは，以下のデータ
    \begin{itemize}
    \itemsep -2pt
        \item 対象の集合(注)$O$
        \item 射の集合族$\{\mathrm{Hom}(x,y)\}_{(x,y)\in O^2}$
        \item 恒等射$\{\mathrm{id}_x \in \mathrm{Hom}(x,x)\}_{x\in O}$
        \item 合成$\{\circ\colon \mathrm{Hom}(y,z)\times \mathrm{Hom}(x,y)\to \mathrm{Hom}(x,z)\}_{(x,y,z)\in O^3}$
    \end{itemize}の組であって，以下の二つの条件を満たすもの．
    \begin{itemize}
    \itemsep -2pt
        \item 任意の$f\in \mathrm{Hom}(x,y)$について，$f\circ \id_{x}=\id_{y}\circ f =f$
        \item 任意の$f\in\mathrm{Hom}(x,y),g\in\mathrm{Hom}(y,z),h\in\mathrm{Hom}(z,w)$について$(h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)$.
    \end{itemize}
\end{block}
}

\end{frame}
\begin{frame}{生まれ: 代数トポロジー}
複数の数学分野をつなぐために生み出された．
% ”自然な同一視”とは何か，を数学的に定式化するために生み出された．
\begin{figure}
        \centering
        \includegraphics[width=1\linewidth]{images/Brouwer.jpeg}
    \end{figure}
\end{frame}



\begin{frame}{圏の直感}
\begin{itemize}
    \item 圏=数学分野
    \begin{itemize}
        \item 「数学的対象とその構造を保つ写像」は圏を為す．
        \item 「集合と写像」,「グラフとグラフ準同型」,「線型空間と線型写像」,「多様体と$C^{\infty}$写像」は圏を為す．
    \end{itemize}
    \item 圏=操作の為す代数
    \begin{itemize}
        \item 定理:群やモノイドは圏である．
        \item セグ木に載るのは圏!
    \end{itemize}
    \item 圏=関係性のなす構造
    \begin{itemize}
        \item 定理:順序集合は圏である．
        \item 束論の一般化としての圏論
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

% \begin{frame}{圏論}
% 圏の概念を出発地点として，豊かな理論が展開されている
% \begin{description}
%     \item[圏の中の構造] 同型，極限，
%     \item[複数の圏の関係] 関手，自然変換，自然同型，圏同値
%     \item[圏の上位概念] 2圏，無限圏，豊穣圏，...
%     \item[数学的対象としての圏] topos (空間), lawvere theory (理論), 
% \end{description}
% \end{frame}

% \begin{frame}{数学における圏論の有用性}
% 「圏=数学分野」という視点において，次のようなメリットがある．
% \begin{itemize}
%     \item 
% \end{itemize}
% \end{frame}



\section{思考様式としての圏論}
\include{WholePicture}

\begin{frame}{思考様式としての圏論}
    「圏=数学分野」と思ったとき，圏論は数学に対する新しい(注)視点を提供する．その視点(やそれをスローガンにしたもの)をここでは「思考様式としての圏論」と呼ぶことにする．
\end{frame}

\begin{frame}{思考様式 1: 抽象的現象の受肉}
% 圏の直感のうち「圏=数学分野」という視点に立てば，数学的現象を圏のレベルで記述することが可能になる(ことも少なくない)．
数学的現象の一部は単に圏論のレベルで発生しており，各種の数学的現象はそれが具体的な文脈の中で受肉したものだ，という考え方．

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{images/incarnation.jpeg}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{思考様式 1: 抽象的現象の受肉}
メリット
\begin{itemize}
    \item 一般化: より強い定理をより早く，より単純に示せる．(「殴る」)
    \item 抽象化: オッカムの剃刀(文脈を削る)
    \item 数学の数学: Grothendieck 「The Rising Sea」
    \item 道標として: Tomasic「アリアドネの糸」
    \item 直感の交流: Baez, Stay「Physics, Topology, Logic and Computation: A Rosetta Stone」
\end{itemize}
デメリット
\begin{itemize}
    \item 固執すると，現象を忘れる
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{思考様式 2: 構成から関係性へ}
圏論では，(対象が何から構成されているかよりも)他の対象との関係性に注目する．

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\linewidth]{images/VectR.jpeg}
\end{figure}

特に，圏論における\textbf{Yoneda Lemma}は．(非常に雑に言えば)数学的対象は他の同種の対象との関係性の中で特徴づけられることを主張している．
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{images/Yoneda.jpeg}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{思考様式 2: 構成から関係性へ}
メリット
\begin{itemize}
    \item 普遍性による定義: 欲しい性質で数学的対象を定義できる
\end{itemize}
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{images/ConstructionVSProperty.jpeg}
\end{figure}
デメリット
\begin{itemize}
    \item (現状では)具体計算にはやっぱり具体的な構成が便利なことも多い．
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{思考様式 3: 対象たちの総体を考える}
圏($\simeq\footnote{これはこの発表の信念とはズレる}$ 同種の数学的対象の総体 $\simeq$ 数学分野)，それ自体も研究対象になった．分野間の関係(圏の間の関手)も考えられるようになった．

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{images/Homology.jpeg}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}{思考様式 3: 対象たちの総体を考える}
メリット
\begin{itemize}
    \item 定式化: Topos, ホモロジカルミラー対称性, (私の持っていた直感や信念が，数学になった)
    \item 数学分野の同一性: Gelfand duality, stone duality, ...
    \item 圏の間の射(= functor): Baez「every sufficiently good analogy is yearning to become a functor.」
    \item 圏の圏へ，無限階層への入り口．(無限圏の整備へ)
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{思考様式 4: Compositionality}
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{images/Compositionality.jpeg}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{思考様式 4: Compositionality}
メリット
\begin{itemize}
    \item 複雑な対象を単純な対象に分割して調べられる．
    \item 圏論的意味論: 論理，計算，結び目など，単純なピースから組み立てられる複雑なシステムを解析する数学的手法を提供している．
    \item 応用数学と相性がいい．
\end{itemize}
\end{frame}


% \begin{frame}{圏論が数学にもたらした思考様式}
% \begin{itemize}
%     \item \textbf{数学的対象を．(何からできているか，ではなく)他の対象とどう関わるかで記述する．}
%     \item 特に，等しさの概念を，他の対象との関係で記述する．
%     \item 数学的現象の発生理由を多少語れるようになった．(一見異なる分野のooとxxが対応するのは何故か？ooという分野でxx定理の類似定理が見られるのは何故か？など)
%     \item 数学的対象を，同種の対象の総体の中で観察するようになった．
% \end{itemize}
% \end{frame}




\section{応用圏論へ}
\include{WholePicture}
\begin{frame}{応用圏論へ}
AFSAで，
    数学理論としての圏論も，思考様式としての圏論も，どちらも話したい！(それも大胆に！)
    
    % 数学外への応用の可能性に満ちている．
    \vspace{10pt}\pause

    \textbf{応用圏論}への注目の高まり
    \begin{itemize}
        \item 純粋数学からは，新たな数学の誕生に期待して
        \item 応用の視点からは，有用な道具に期待して
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{これまでの議論は，比喩である}
これまでの議論は，全て本体ではなくて比喩である．

やはり，しっかり応用するには圏論の本体を勉強するしかなさそう．(「濫用だ！」という非難の声は大きい．)
\end{frame}

% \begin{frame}{Monoidal圏}
%     圏論を応用する上でのキーワードは，\textbf{monoidal圏}！
%     \begin{itemize}
%         \item String diagrams
%         \item Categories in Control
%         \item Symmetric monoidal category: a rosetta stone
%         \item Categories in quantum theory
%         \item Machine learning
%         \item Enriched profunctors ($\supset$ graphs and metric spaces)
%         \item (Combinatorial game theory)
%     \end{itemize}
% \end{frame}


\begin{frame}{数学理論としての圏論の学び方}
\begin{itemize}
    \item 教科書を読む
    \item YouTubeを見る(Category Theory for Programmers など)
    \item 個人的には，神田ラボで時間の許す限り協力します．

    \pause
    \item 東京圏論コミュニティやります
    \item (10月から授業やるかもしれない)
\end{itemize}
洞龍弥(hora@ms.u-tokyo.ac.jp)
\end{frame}

\begin{frame}{文献案内}
\begin{itemize}
    \item Category Theory (Steve Awodey, 2006)
    \item 活躍する圏論 (Brendan Fong, David I. Spivak. 川辺 治之 訳 2023)
    \item Physics, Topology, Logic and Computation: A Rosetta Stone (John C. Baez, Mike Stay, 2009)
    \item Category Theory in Context (Emily Riehl, 2014)
\end{itemize}

洞龍弥(hora@ms.u-tokyo.ac.jp)
\end{frame}
\end{document}


\begin{frame} \frametitle{}

\end{frame}