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\title{行列による自由モノイド}
\author{hora-algebra}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\section{問題}
二つの$2\times 2$行列$A_0,A_1$であって，$A_0,A_1$を好きな順で好きな回数掛け合わせたとき，積として出来上がった行列から掛けた順番と回数を復元できるようなものは，どんな体の上で存在するだろうか．
この問題を二通りの(もちろん同値な)方法で書いておく．一つ目はモノイドの言葉を明示的に使った方法である．
\begin{question}
$K$を体とする．$K$上の$2\times 2$正方行列と積の為すモノイド$\M{K}$が階数$2$の自由モノイドを部分モノイドとしてもつための$K$についての必要十分条件を求めよ.
\end{question}
二つ目はもう少し初等的な書き方である．
\begin{question}
$K$を体とする．$K$上の$2\times 2$正方行列$A_0,A_1$であって，次の条件を満たすものが存在するための$K$についての必要十分条件を求めよ．
\begin{enumerate}
    \item[条件] $0,1$からなる有限文字列の集合$\coprod_{n=0}^{\infty} \{0,1\}^{n}$から$\M{K}$への写像$\coprod_{n=0}^{\infty} \{0,1\}^{n}\to \M{K}: (i_1,\dots, i_n)\mapsto A_{i_1}\dots A_{i_n}$が単射である
\end{enumerate}
\end{question}

例を挙げておく．
\begin{example}[有限体]
$K$が有限体なら，$\M{K}$は有限集合なので条件を満たさない．
\end{example}

\begin{example}[有限体の代数拡大]\label{有限体の代数拡大}
上の例は少し一般化できる．$K$の標数が正$(p>0)$でさらに素体$\F{p}$上代数的だとする．このとき$\M{K}$の元$A_0,A_1$を任意に取ると，$A_0,A_1$の$8$つの成分で$\F{p}$上生成される中間体$\F{p}\subset L \subset K$は有限体である．従って$\M{L}$は有限集合になり，$A_0,A_1$は条件を満たさない．従って$K$は条件を満たさない．
\end{example}

\begin{example}[ユークリッドの互除法]
標数$0$の体$K$について
$A_{0}=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
$と$A_{1}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1 
\end{pmatrix}
$は条件を満たす二つの行列になっている．実際，長さ$2$の縦ベクトル$v=
\begin{pmatrix}
1 \\
1  
\end{pmatrix}
$に左から$A_0,A_1$を掛けることを考える．$A_0$を左からかけることは下の成分を上の成分に足すことに対応し，$A_1$を左からかけることは上の成分を下の成分に足すことに対応する．$v$に左からら$A_0,A_1$を好きな順番で好きな回数かけると，互いに素な正整数の組が出来上がる．逆に，ユークリッドの互除法を考えることにより，全ての互いに素な正整数の組は$v$に$A_0,A_1$を左から掛ける方法で一意的に実現できる．つまり，\emph{互いに素な正整数の組と二文字の有限文字列は，ユークリッドの互除法により一対一に対応する．}例えば，$00101$という有限文字列は${A_0} {A_0} {A_1} {A_0} {A_1} v=
\begin{pmatrix}
13 \\
5  
\end{pmatrix}
$に対応する．逆方向の対応の例として，
$
\begin{pmatrix}
19 \\
27  
\end{pmatrix}
$をユークリッドの互除法で``復号"する．大きい方から小さい方を引くことを
$
\begin{pmatrix}
1 \\
1  
\end{pmatrix}
$
になるまで繰り返し，上から下を引くなら$0$を，下から上を引くなら$1$を記録する．
\[
\begin{pmatrix}
19 \\
27  
\end{pmatrix}
\xrightarrow{1}
\begin{pmatrix}
19 \\
8  
\end{pmatrix}
\xrightarrow{0}
\begin{pmatrix}
11 \\
8  
\end{pmatrix}
\xrightarrow{0}
\begin{pmatrix}
3 \\
8  
\end{pmatrix}
\xrightarrow{1}
\begin{pmatrix}
3 \\
5  
\end{pmatrix}
\xrightarrow{1}
\begin{pmatrix}
3 \\
2  
\end{pmatrix}
\xrightarrow{0}
\begin{pmatrix}
1 \\
2  
\end{pmatrix}
\xrightarrow{1}
\begin{pmatrix}
1 \\
1  
\end{pmatrix}
\]

となり，文字列$1001101$と対応する．体$K$の標数が$0$なら全ての正整数は互いに相異なるので，$K$は条件を満たす．

\end{example}

\begin{remark}[別の次数と階数]
この問題では，$2\times 2$行列の中で階数$2$の自由モノイドを作ることを考えているが，一般に$n\times n$行列の中で階数$m$の自由モノイドを作ることを考え得る．しかし，$n,m\geq 2$なら結果は$n=2,m=2$の場合と同じになる．例えば，階数$m$の自由モノイドはそもそも階数$2$の自由モノイドの部分モノイドである．
\end{remark}

\begin{remark}[群として]
今回の問題では，モノイドの元として関係式を持たない二つの行列を考えているが，(仮に考えている行列が正則だったとしても)群の元として関係式を持たないわけではない．例えば，ユークリッドの互除法の例で挙げた
標数$0$の体$K$についての
$A_{0}=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
$と$A_{1}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1 
\end{pmatrix}
$が生成する群は(自由群ではなく)$\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{Z})$である．余談だが，代わりに
$B_{0}=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
$と$B_{1}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
2 & 1 
\end{pmatrix}
$を考えれば自由群を生成する．この$\mathrm{SL}_{2}$の部分自由群はSanov部分群と呼ばれている．
\end{remark}


\section{解答}
実は，Remark \ref{有限体の代数拡大}で挙げた体以外全ての体は条件を満たす，というのが結論である．

\begin{proposition}[解答]\label{解答}
体$K$についての求めている条件は，以下のどちらかを満たすことである.
\begin{itemize}
    \item $K$の標数は$0$である．
    \item $K$の標数は正$p>0$であり，さらに$K$は素体$\F{p}$上超越的である．
\end{itemize}
\end{proposition}

% 言い換えれば，条件を満たすような二つの行列$A_0,A_1$が存在しないための必要十分条件は，「正標数かつ素体上代数的」であることである．

証明の基本的なアイデアは，文字列の多項式へのencodingである．安直にencodingするなら，文字列$00101$を多項式$0x^4+0x^3+1x^2+0x^1+1x^0(=x^2+1)$へ変換したくなる．しかしこれでは先頭の$0$の分情報量が落ちてしまうので，長さ$n$の文字列には$x^n$を足して考えてみる(文字列の先頭に$1$を追加してから変換すると言っても同じことである)．例えば，文字列$00101$は長さが$5$なので$x^5+0x^4+0x^3+1x^2+0x^1+1x^0(=x^5+x^2+1)$を対応させる．この対応が情報を損なわないような状況を考えてみるのが次のメモリの定義である\footnote{この問題のために定義した安直な概念で，数学的な自然さは(少なくとも2022/05の私から見れば)全く感じられない対象である．}．

\begin{definition}[メモリ]
体$K$について，$x\in K$がメモリであるとは，写像$\coprod_{n=0}^{\infty} \{0,1\}^{n}\to K: (i_1,\dots, i_n)\mapsto x^n+\sum_{k=0}^{n} {i_k x^{n-k}}$が単射であることをいう．
\end{definition}
Informalに言い換えれば，メモリとは係数が$0$か$1$のみのモニック多項式$f(z)\in K[z]$に対して，$z=x$を代入した値$f(x)\in K$のみから$f(z)$を復元できるような$x\in K$のことである．

\begin{example}[$2$進数表記]
体$K$の標数が$0$なら，$2$進数表記を考えることで$2\in K$はメモリである．
\end{example}

\begin{example}
$K$の標数は正$p>0$であり\footnote{正標数であることはこの具体例では使っていない}，さらに$K$は素体$\F{p}$上超越的であるとする．この時，$\F{p}$上超越的な元$x\in K$を一つ取れば，$x$は$K$のメモリである．
\end{example}

では，Proposition \ref{解答}の証明に移る．
\begin{proof}
ここまでの具体例によれば，体$K$がメモリ$x\in K$を持てば条件を満たすことを証明すればいい．実はこのとき$A_{0}=
\begin{pmatrix}
x & 0 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
$と$A_{1}=
\begin{pmatrix}
x & 1 \\
0 & 1 
\end{pmatrix}
$は条件を満たす二つの行列になっている．実際，$x$の多項式$f(x)$について
$
\begin{pmatrix}
f(x) \\
1  
\end{pmatrix}
$
に左から$A_0$を掛けると
$
\begin{pmatrix}
xf(x) \\
1  
\end{pmatrix}
$
になり左から$A_1$を掛けると
$
\begin{pmatrix}
xf(x)+1 \\
1  
\end{pmatrix}
$
になることを用いれば，長さ$2$の縦ベクトル$v=
\begin{pmatrix}
1 \\
1  
\end{pmatrix}
$に左から$A_0,A_1$を掛けることで$A_0,A_1$が条件を満たすことを確認できる．．
\end{proof}
この証明では本質的には，($x$を掛けたり，)$x$を掛けた後に$1$を足すという$K$上$1$次元\emph{アフィン変換}を使おうとしている．$2\times 2$行列の話に書き換えるために$1$次元アフィン変換を$2$次元の線形変換へ加工したものが($A_0$と)$A_1$である．
\end{document}