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main20240731.tex

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\title{観測的再構成としての各点Kan拡張\\ 洞は各点Kan拡張をどのように理解しているか}
\author{洞龍弥}
\date{2024/07/31}

\begin{document}

\maketitle

\section{導入}
この文章は，半分以上本気で次の主張を説明することにある:
\begin{equation}
% \label{statement}
    \textbf{各点Kan拡張は，観測的再構成の一つの数学的記述を与える．}
\end{equation}

この主張は，数学的な主張ではなく，むしろ一つの信念である．この点で，次の信念とパラレルに語られるものである:
\begin{quote}
    群論は，対称性の一つの数学的記述を与える．
\end{quote}

\begin{itemize}
    \item この信念は，「対称性」という(必ずしも数学的に定式化されていない)構造と群論という数学的理論を結びつけるものである．同様に，我々の信念も，「観測的再構成」と我々が呼ぶ(必ずしも数学的でない)構造と，各点Kan拡張という数学的理論を結びつけるものである．
    
    \begin{table}[ht]
        \centering
        \begin{tabular}{c|c}
 数学理論&非数学的構造\\ \hline
             群論& 対称性\\
             各点Kan拡張& 観測的再構成\\ 
        \end{tabular}
    \end{table}
    \item 日常的に対称性と呼ばれるものが必ずしも群論で説明されるとは限らないという意味で，不完全な信念である．そして，我々の信念も同様の理由で不完全である．
    \item 群論は，対称性以外の構造の数学的記述も与えうる．例えば，群論の対称性としての直観は，加法群$\Z$の数としての直観を否定するものではない．同様に，観測的再構成としての直観は，各点Kan拡張の他の直観を否定するものではない．
\end{itemize}

この文章は次の構成を持つ
\begin{itemize}
    \item まず\Cref{Section観測的再構成}で，観測的再構成と我々が名づける構造について説明する．
    \item そして，\Cref{Section各点Kan拡張}で各点Kan拡張と観測的再構成を結びつける．
\end{itemize}

\section{観測的再構成}\label{Section観測的再構成}
数学的でない構造へ確定的な定義を与えることは非常に難しいので，曖昧な定義を一つ挙げ，具体例を大量に挙げることで定義の代わりとする． この節では専門外のことに言及するから，誤りを含むかもしれない．
\begin{definition}[曖昧な定義] 
ある対象$X$の観測手法$Y$による\textbf{観測的再構成}とは，$Y$による観測データのみによって$X$の近似を構成すること，およびその近似結果のことをいう．
\end{definition}

\subsection{あからさまな例}
\begin{example}[Google mapのストリートビュー]
    Google mapでは，地球($=X$)を，実際に車で走って撮影するという観測手法$=Y$によって観測し，ストリートビュー機能を実現している．この意味で，Google mapは地球の画像撮影による観測的再構成である．
\end{example}

\begin{example}[カメラ]
    山の写真をデジタルカメラで撮ることを考える．この時，完成した画像データは，山のデジタルカメラ(による離散的な電圧データ)による観測的再構成である．
\end{example}

\subsection{あからさまでない例}

\begin{example}[歴史, 古生物]
    現在に残されている痕跡から，過去に起こった現象を推測すること．痕跡の観察を，過去の事実に対する観測と捉えれば，観測的再構成と言える．実在したかもわからない聖徳太子という人格を``再構成"することがあり得るし，情報が更新されるたびに再構成の姿が変わるティラノサウルスみたいな例もある．
\end{example}

\begin{example}
    電場から電荷を再構成することを考える．帯電した球体を周辺の電場から観測的再構成すると，(再構成の方針によっては)原点にある帯電した点が近似として得られるかもしれない．
\end{example}

\begin{example}[言語的観測]
ある対象を言語的に観測することがありうる．例えば，チューリングテストで箱の中に人格を見るのは，言語による観測的再構成である．LLMに人格を見出すのも同様である．数学的類似としては，一階述語論理のモデル$M,M'$が任意の文に対し等しい返答をする(初等同値)なら，区別できないという原理を置いておく．(このことはtheoryとmodelの間のGalois connectionのKan拡張としての記述として数学的に解釈できる．)
\end{example}

\begin{example}
    位相空間$X$について，標準単体からの射を考えることはある種の観測である．$\mathrm{Sing}(X)$は位相空間の単体による観測的再構成である．
\end{example}

\begin{example}
    (多くの科学者がそうしているように認識に先立つ世界を仮定すると)我々にとっての空間概念はそれ自体観測的再構成の産物である．つまり，我々は我々の感覚器官(目や耳など)を介して世界を一度完全にシナプスのデータへ落としてしまってから，(それらのなすある種の整合性をもってして)脳内で再構成している．(当然のことながら，我々に現れているものは，世界そのものではない．この辺りの言葉遣いはフッサールに影響を受けているが，私に厳密な言及をする能力はない．) 従って，私にとっての「世界の状態」は「私の脳の状態」のみに依存するのであって，ここには観測的再構成の構造を見て取れる．(そして，私個人は，pointless topologyやtoposはこの事実のある程度優れた数学的対応物であると信じている．)
\end{example}

\begin{example}[キュビスム]
    少なくともキュビスムの信念の一部は観測的再構成と密接に関わっていると思うのだが，私に厳密な言及をする能力はない．
\end{example}

\begin{example}
    対人関係において，その人の行為からその人の精神を推測する行為も観測的再構成と言いうる．(cf. 現象学的心理学)
    一般に，超越的に与えられた観念を経験から基礎づけようとする立場に観測的再構成を見出せる．(例えば，神という超越的観念を，実際に起こっていること(神について語る個人や個人のなす宗教的行為など)の総体へ解体する作業など．)
\end{example}

\subsection{数学的な例}



\section{各点Kan拡張}\label{Section各点Kan拡張}

\begin{example}
    Elementary equiv
\end{example}
\memo{to be written}
\end{document}