← phd-thesis-overview-seminar
松井先生セミナー__main.tex
\def\pgfsysdriver{pgfsys-dvipdfmx.def} % ★PGFドライバを強制
\documentclass{amsart}
\usepackage[left=2cm, right=2cm]{geometry}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts, amsthm, amssymb, mathtools,etoolbox}
\usepackage{blindtext}
\usepackage[colorlinks=true, urlcolor=blue, linkcolor=blue, citecolor=blue]{hyperref}
\usepackage{tikz,tikz-cd}
\usepackage{cleveref}
\usepackage{array}
\usepackage[style=alphabetic,sorting=nyt]{biblatex}
\renewbibmacro{in:}{}
% \addbibresource{biblio.bib}
\addbibresource{CommonBiblio20240922.bib}
\tikzset{pullback/.style={minimum size=1.2ex,path picture={
\draw[opacity=1,black,-,#1] (-0.5ex,-0.5ex) -- (0.5ex,-0.5ex) -- (0.5ex,0.5ex);%
}}}
\usetikzlibrary{calc}
\usepackage{epigraph}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{todo}[theorem]{Todo}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{fact}[theorem]{Fact}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{question}[theorem]{Question}
\newtheorem{answer}[theorem]{Answer}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{slogan}[theorem]{Slogan}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newcommand{\dq}[1]{``#1"}
\newcommand{\memo}[1]{\textcolor{red}{memo: #1}}
\newcommand{\invmemo}[1]{\textcolor{blue}{本当は話したいこと: #1}}
\newcommand{\summary}[1]{\textcolor{green!70!black}{\textbf{summary: #1}}}
\newcommand{\para}[1]{\paragraph{\textbf{#1}}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathcal{C}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\ob}{\mathrm{ob}}
\newcommand{\Set}{\mathbf{Set}}
\newcommand{\Top}{\mathbf{Top}}
\newcommand{\Group}{\mathbf{Group}}
\newcommand{\fg}{\mathrm{f.g.}}
\newcommand{\fgf}{\mathrm{f.g.f.}}
\newcommand{\Topprof}{\mathbf{Top}_{\textrm{prof.}}}
\newcommand{\BoolAlg}{\mathbf{BoolAlg}}
\newcommand{\Topoi}{\mathbf{Topoi}}
\newcommand{\FinSet}{\mathbf{FinSet}}
\newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}}
\newcommand{\Sh}{\mathbf{Sh}}
\newcommand{\Cont}{\mathbf{Cont}}
\newcommand{\Func}[2]{\mathbf{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Funcpd}[2]{\mathbf{Func}^{\mathrm{fin.prd.}}(#1,#2)}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}
\newcommand{\demph}[1]{\textbf{#1}}
\font\maljapanese=dmjhira at 2.5ex
\newcommand{\yo}{\textrm{\!\maljapanese\char"48}}
\newcommand{\Pow}{\mathcal{P}}
\newcommand{\Open}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Int}{\mathrm{Int}}
\newcommand{\ignore}[1]{{\color{red!70!black} #1}}
\title{Topos理論と博論の概略 (松井先生用)}
\author{Ryuya Hora}
\thanks{Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo. \url{hora@ms.u-tokyo.ac.jp}}
% % \date{\today}
% \subjclass[2020]{MSC}
% \keywords{Keywords}
\begin{document}
\begin{abstract}
このノートは，松井先生に洞の博士論文の内容を一時間で概説するセミナーの参考資料である．Part 1でtopos理論の概説をして，数理物理からの影響についても触れる．Part 2で博士論文の中身について説明する．厳密な証明は博士論文に書いてあるから，この参考資料は歴史やアイデアを中心にまとめた．
\end{abstract}
\maketitle
\tableofcontents
\ignore{無視すると幾らかの正確さが失われるが，}圏論に詳しくなければ赤い文字は無視して良い．
\part{Topos理論の概説 (30 min)}
要約:
\begin{description}
\item[\Cref{sec:AsSpace}] Grothendieckは，整数論の文脈で位相空間の概念を拡張する必要に迫られ，\demph{幾何学的対象として(Grothnedieck) toposを定義}した．
\item[\Cref{sec:inLogic}] Lawvereは，数学が展開できる枠組み(集合論の宇宙)として\demph{論理学的対象として(elementary) toposを定義}した．そして全ての(Grothnedieck) toposは(elementary) toposであることを示した．
\item[$\to$] 二人に共通するのは，実際に可能な操作に着目するという視点である．その言語として\demph{圏論}が用いられた．
\item[\Cref{sec:Physics}] (特にLawvere以降の)topos理論は，数理物理から強い影響を受けてきた(らしい)．
\end{description}
\section{Grothendieck: 幾何学におけるtopos (7.5 min)}\label{sec:AsSpace}
Grothendieckは，幾何学的道具(コホモロジーや基本群など)を数論へ応用できるようにするため，空間概念を拡張しようと試みた．そして彼が辿り着き，遂に「空間にとって最も本質的なものの受肉\cite{grothendieck1992recoltes}」であるとした概念こそが，\demph{topos}である．\cite{grothendieck1972SGA4}
\begin{definition}[Topos (詳細は無視して良い)]
Toposとは\ignore{局所小}圏$\E$であって，\ignore{次の}条件を満たすものである．\ignore{
\begin{itemize}
\item ある小圏$\C$が存在し，
\item $\C$の前層圏$\PSh(\C)\coloneqq \Func{\C^{\op}}{\Set}$に$\E$は忠実充満に埋め込め$i\colon \E \hookrightarrow \PSh(\C)$,
\item さらに埋め込み$i$は左随伴$L\dashv i$を持ち，
\item さらに$L$は有限極限を保つ.
\end{itemize}
}
\end{definition}
\begin{example}
Toposは，\ignore{次の意味で}位相空間の概念の一般化である．
\ignore{位相空間$X$について，その上の\demph{層の圏}$\Sh(X)$を$X$への局所同相写像全体からなる$\mathbf{Top}/X$の充満部分圏として定義する．すると，$\Sh(X)$はtoposである．さらに，位相空間$X$は，「$X$がsoberである」という非常にマイルドな条件を満たすとき，topos $\Sh(X)$から復元される．
}
\end{example}
% 連続写像の概念の一般化も同様に存在する．
\begin{definition}[幾何学的射]
Topos $\E$からtopos $\F$への\demph{幾何学的射}とは，(逆向きの)関手$f^*\colon \F \to \E$\ignore{であって有限極限と小さい余極限を保つものと，その右随伴$f_*$の組$(f^*,f_*)$}のことをいう．
\end{definition}
\begin{example}
幾何学的射は，\ignore{次の意味で}連続写像の概念の一般化である．
\ignore{連続写像$f\colon X\to Y$について，引き戻し関手$f^*\colon \Sh(Y)\to \Sh(X)$を$X$は幾何学的射である．さらに，連続写像$f$は，「$X,Y$がsoberである」という非常にマイルドな条件を満たすとき，幾何学的射$f^*\colon \Sh(Y)\to \Sh(X)$から復元される．
}
\end{example}
\invmemo{その思想}
\section{Lawvere: 論理学におけるtopos (7.5 min)}\label{sec:inLogic}
\subsection{オイラーの手紙}
\dq{最も幾何学的な対象}であるtoposが，論理学との関わりを持つのはある程度必然的であった．Toposによる幾何学と論理学の交流の源流を辿れば，\ignore{直観主義論理の位相的意味論やストーン双対を経由し，}少なくともオイラーまで遡れる．
\begin{quote}Leonhard Euler \cite{Euler1761LettreCIII}:
これらの丸い図形，いやむしろ(どのような形を与えようともかまわないのですから)\textbf{空間}は，この主題についての考察を容易にするのに非常に適しており，\textbf{論理学}の中で自慢げに語られ，多大な苦労をして証明される神秘の全てを，私たちに明らかにしてくれるのです\footnote{著者訳, 強調も著者による．原文: Ces figures rondes, ou plutôt ces espaces (car il n'importe quelle figure nous leur donnions) sont très propres à faciliter nos réflexions sur cette matière, \& à nous découvrir tous les mystères dont on se vante dans la Logique, \& qu'on y démontre avec bien de la peine, ...
% pendant que par le moyen de ces signes tout saute d'abord aux yeux.
}．
\end{quote}
Toposが幾何(特にトポロジー)と論理をつなぐ理由の根幹は，1761年2月のオイラーの手紙から一貫しており，それはつまり我々が論理を扱うときに用いる幾何学的直観である．
\subsection{Toposによる幾何と論理の架橋} Lawvereは，彼の論文「量化子と層」(Quantifiers and Sheaves \cite{lawvere1970quantifiers})の中で，Grothendieckの理論と論理の関係を明らかにした．そして，\demph{toposに対する理論は幾何学的解釈と論理学的解釈の二面性を持つ}ことがわかった．数あるそのような「架橋の定理」の中でも，\cite{lawvere1970quantifiers}に現れる最も古典的な例が次である．
% 本来ならその主題である量化子の解釈について述べるべきだが(その時間はないので)，ここでは次の言葉を引用する．
\begin{quote} F. William Lawvere \cite{lawvere1970quantifiers}:
Grothendieck「位相」は様相演算子という形で最も自然に現れる．
\footnote{著者訳．原文:
... a Grothendieck \dq{topology} appears most naturally
as a modal operator ...}
% , of the nature \dq{it is locally the case that},
\end{quote}
この言葉は，通常次の定理の形で述べられる．
\begin{fact}
任意のtopos $\E$について，以下の$2$つのデータには一対一対応が存在する．
\begin{description}
\item[部分空間] \ignore{$\E$の部分topos, つまり$\E$への幾何学的射$\E \leftarrow \F \colon f^*$であって，忠実充満な右随伴を持つもの．}
\item[様相演算子] \ignore{$\E$の部分対象分類子$\Omega$上の自己射$j\colon \Omega \to \Omega$ であって，
\begin{enumerate}
\item $j(\top )=\top$
\item $j(j(p))=j(p)$
\item $j(p\land q)=j(p)\land j(q)$
\end{enumerate}
を満たすもの．}
\end{description}
\end{fact}
\invmemo{ゲーデルの完全性定理とDeligneの存在定理，強制法とCohen topos，Kripke意味論とKripke-Joyal意味論，内部選択公理とBoolean étendue，排中律とBoolean topos．}
\section{Topos\texorpdfstring{$\leftrightarrow$}{leftrightarrow}数理物理(?) (15 min)}\label{sec:Physics}
洞自身は物理学に関して全くの無知なのだが，topos理論と数理物理学の関係の歴史はとても深いことを知識としては知っている．今回のために改めて少しsurveyしたので，文献とともにここにまとめておく．
\subsection{Topos\texorpdfstring{$\leftarrow$}{leftarrow}連続体力学(?)}
圏論のような抽象理論で革新をもたらす人は，往々にして別分野から現象を持ってきた人であるが，\cite{renato2010william}によるとLawvereも例外ではないらしい．
\begin{quote}\cite{renato2010william}
He began in experimental physics, but went from that to theoretical physics because he was looking for a guide to direct his practice.
% The next step was deciding to work actively with mathematics: better, mathematics connected to physics – more specifically, to rational mechanics – which at that time at the University of Indiana was taught by Clifford Truesdell.
[...]
He finally arrived to the discovery of category theory, which had not yet been put to the test but which promised to explain mechanics, analysis, geometry, and even how these were related.
\end{quote}
Lawvereは，2023年に亡くなるまで常にtopos理論のリーダー的存在であった．彼は論理学だけでなく幾何，物理，哲学など多くが見えている人で，topos理論が論理学者に占有されている状況に時に文句を言っていた．
現代ではかなり忘却されているが，彼のtopos理論への情熱の中心には常に物理学，特に連続体力学(?)，があったらしい．
(参考: \url{https://ncatlab.org/nlab/show/William+Lawvere#MotivationFromFoundationsOfPhysics})
(現代の圏論の受け止められ方からすると逆説的に聞こえるが，)彼は実際に可能な操作のみに着目して理論を組み立てるために，圏論という道具を使ったと思われる．現在 Synthetic Differential Geometryと呼ばれている分野の最初の論文とされる論文，Toposes of laws of motion\cite{lawvere1997toposesLaws} も彼の物理への興味と無関係ではなさそう．
% \begin{itemize}
% \item \cite{lawvere1996unity},
% \end{itemize}
彼の意思を継いだ形で数理物理におけるtopos理論をやっている人は存在するが
\cite{schreiber2025higher}，そこまで多くない印象である．
\subsection{Topos\texorpdfstring{$\to$}{to}量子力学(?)}
Toposを用いた量子力学の教科書が，近年幾つか出ている．
この分野に関しては私は本当に無知なのだが，初期(2000年代)で引用数が100を超えているものを探すと，先行した\cite{doring2008toposI,doring2008toposII, doring2008toposIII, doring2008toposIV}と\cite{heunen2009topos}が見つかり，これらの影響が大きいようである．(後者はtopos理論のコミュニティでもいくらか知られている印象がある．)
その後，\cite{flori2013first, flori2018second}という教科書が出て，2017年の量子基礎論\cite{landsman2017foundations}の教科書では(タイトルでも副題でもtoposに触れられてないにも関わらず)toposの幾何と論理の双方を用いた結構ハードなtopos理論が用いられている．東大だと，村尾美緒先生の研究室で少なくとも一度topos的量子力学の研究があったらしく，面談中にtoposの内部論理における関数解析の話が出て驚いた記憶がある．
興味深いことに，1980年代にはすでにGrothendieck本人によって量子力学とtopos理論の類似が(全く数学的ではなく彼らしい文学的な表現で)以下のように指摘されていた．
\begin{quote}
\cite[Promnade 20.]{grothendieck1992recoltes} そして，昔の安心感のある物質的粒子に取って代わるこれらの「確率的な雲」は，\demph{topos}に満ちている捉えどころのない「開近傍」を，奇妙なくらい思い出させる---それらは，仮想的な「点」を取り囲むための，消え入りそうな幽霊のようなものだ．そして，その仮想的な点に対しては，強情な直観がいまだにどうしようもなくしがみつき続けている...\footnote{翻訳と強調は著者による．「imagination」を「直観」と訳したのはちょっと強引かもしれないが，これが本人の意図に近いと洞は思う．原文: Et ces “nuages probabilistes”, remplaçant les rassurantes particules matérielles d’antan, me rappellent étrangement les élusifs “voisinages ouverts” qui peuplent les topos, tels des fantômes évanescents, pour entourer des “points” imaginaires, auxquels continue à se raccrocher encore envers et contre tous une imagination récalcitrante. . .}
\end{quote}
\subsection{Lawvereの7つの未解決問題}
残念ながらLawvereは2023年に亡くなった．しかし2009年，既に70歳を超えていたLawvereは，集会でtoposの7つの未解決問題を提示し，次のように述べた．
\begin{quote}
F. William Lawvere \cite{lawvere2025opennLab}: ここに挙げる七つの問題は，私がまだ解くことができていないものである．
これらが明確になれば，topos理論やその熱力学，代数幾何学，論理学への応用の研究は，さらに前進するだろう\footnote{著者訳.原文: Here are seven problems that I have not yet been able to solve. Clarification on them would further advance work on topos theory and its applications to thermomechanics, to algebraic geometry, and to logic.}.
\end{quote}
\begin{enumerate}
\item Quotient Toposes
\item Subquotients and Idempotents
\item Boundaries of classes of models
\item The jump operator on levels within a topos
\item Coverings that admit averaging and microlinearity
\item How strong is the adjointness of fractional exponents?
\item The algebra of time
\end{enumerate}
進捗状況は\url{https://ncatlab.org/nlab/show/Open+problems+in+topos+theory}で
見ることができる．
\part{博士論文概説(30 min)}\label{part:PhDthesis}
\section{Toposの完全連結性 (15 min)}\cite{hora2025grothendieck}\\
Topos $\E$の持つ様々な幾何学的な性質は，$\E$から$\Set$への唯一の幾何学的射
\[
f\colon \E\leftarrow \Set
\]
の性質で表現される．
例えば，
\begin{description}
\item[連結性] Topos $\E$が\demph{連結}であるのは，\underline{$f^*$が忠実充満}であるとき．
% これは位相空間の連結性と整合的である．
任意の位相空間$X$について，$X$が位相空間として連結なこととtopos $\Sh(X)$が連結なことは同値である．
\item[局所連結性] Topos $\E$が\demph{局所連結}であるのは，\underline{$f^*$が左随伴を持つ}とき．
% これは位相空間の局所連結性と整合的である．
任意の位相空間$X$について，$X$が位相空間として局所連結なこととtopos $\Sh(X)$が局所連結なことは同値である．
\item[局所性] Topos $\E$が\demph{局所}であるのは，\underline{$f^*$が右随伴の右随伴を持つ}とき．
任意の可換環$A$について，$A$が局所環なこととtopos $\Sh(\mathrm{Spec}A)$が局所なことは同値である．
\end{description}
\cite{hora2025grothendieck}を元にした博論の第一部では，まず$f^*$の左右に続く随伴列を分類することで，「随伴の存在」として語ることができるtoposの性質が$5$つであることを示した．さらに，その中で極端に研究が少ない\footnote{ないわけではない．\cite{hemelaer2021monoid}}ものを「完全連結性」と呼ぶことにした\footnote{本当のモチベーションはこのような技術的なものではなくて別にあるのだが...}．
\begin{definition}
Topos $\E$が\demph{完全連結}であるとは，$f^*$が左随伴の左随伴を持つことをいう．
\end{definition}
完全連結性は，これまで調べられてきたtoposの連結性概念\ignore{(連結性，局所連結性，安定局所連結性\cite{johnstone2011remarks}強連結性，トータル連結性\cite{bunge1996spreads})}のどれよりも強い，非常に極端な連結性概念である．それにもかかわらず，次が成立する．
\begin{proposition}[完全連結toposは少なすぎない{\cite{hora2025grothendieck}}]
\ignore{任意のtoposはある完全連結toposの閉部分toposである．}
\end{proposition}
完全連結性の定義は，\ignore{局所toposの定義の「右随伴」を「左随伴」に形式的に変更したものになっており，}一見双対概念のように見える．しかし，\ignore{そもそもtoposの双対圏がtoposになることはほとんどなく\footnote{$\E$も$\E^\op$もtoposであれば，どちらも$1$点圏になる．}，}この双対性を数学的に記述するのは難しそうに見える．しかし，\cite{hora2025grothendieck}では，完全連結性が局所性と\dq{双対な\ignore{景による}特徴づけ}を持つことを示した．\ignore{この定理は，論文中の用語を用いて次のように述べられている．
\begin{theorem}\cite{hora2025grothendieck}
Toposが完全連結であることと，ある完全連結景上の層の圏であることとは同値である．
\end{theorem}}
\invmemo{次の予想を示したい．良いtoposには，その双対toposが存在する．互いに双対であるtoposについては，それらの次元の完備束が同型になる．}
\section{Toposの商に関するLawvereの問題 (15 min)}\cite{kamio2026Solution}\\
Toposにも，商の概念がある．
\begin{definition}[商topos]
\ignore{Topos $\E$の(連結)\demph{商topos}とは，$\E$からの幾何学的射$f\colon \E \leftarrow \F$であって$f^*\colon \F \to \E$が忠実充満なものをいう．}
\end{definition}
商の概念は，toposの論理学でも自然に現れる．例えば，(内部)選択公理を満たさないようなtoposの最も簡単な構成\footnote{基礎の公理を満たさないので独立性証明には使えないらしい．}は，Freydの論文「選択公理\cite{freyd1980axiom}」の導入部にも書かれている通り，\ignore{群$\Z$作用のtopos $\PSh(\Z)$の}商をとることである．
\invmemo{Grothendieck-Galois / Permutation modelとの関係}
しかし，\ignore{「部分toposと様相演算子の対応定理」と対照的に，}商toposの振る舞いに関する理論的成果はあまり知られていなかった．商toposは本当に統制できないほどめちゃくちゃに氾濫しているのだろうか?それとも実は\ignore{部分toposのように，商toposにも}「商toposと??の対応定理」が存在しているのだろうか?この問いこそがLawvereの未解決問題の第一問であった．
\begin{quote}\cite{lawvere2025opennLab}
Is there a Grothendieck topos for which the number of these quotients is not small? At the other extreme, could they be parameterized internally, as subtoposes are?
\end{quote}
未解決問題は二つの部分に分かれている．後半は，「商toposと??の対応定理」が存在するかを聞いていて，これは著者の修論の一部\cite{hora2024internal}で部分的に\footnote{部分的と言ったものの，\cite{johnstone2025remarks}でJohnstoneが言ったように，これこそがLawvereが\dq{本来問うべきだった問い}の答えであったと思う．}肯定した．博論第二部の元になった\cite{kamio2026Solution}では，前半の問いにYesと回答している．つまり，あるtoposが真クラス個の商を持つことを示した．
\begin{theorem}\cite{kamio2026Solution}
\ignore{可算無限生成自由モノイド作用の}topos\ignore{$\PSh(M_\omega)$}は真クラス個の商toposをもつ．
\end{theorem}
これは一元生成自由モノイド$\N$作用のtopos($=$離散力学系のtopos)の商toposが完全にわかること\cite{hora2024quotient}と対照的である．
\ignore{そこでは，任意の集合上にリジッドな二項関係が入るというVopenka, Pultr, Hedrlinの結果\cite{vopvenka1965rigid}を用いている．}
\section{Toposの次元に関するLawvereの問題 (15 min)}\cite{hora2025lawvere}\\
Lawvereは，彼の物理学的および関数解析的バックグラウンドから，特定のtoposに強い興味(執着?)を抱いていた．その一つが，\demph{ブール代数の分類topos}\ignore{$\PSh(\FinSet_{>0})$}である．例えば，彼の論文「組合せトポロジーと関数解析における，余離散的対象で生成されたtopos
\cite{lawvere1988toposesGenerated}」の中で彼は，次のことを考えている．
\begin{question}[真と偽を幾何的に同一視するブール代数]
Hausdorffな位相ブール代数\footnote{位相空間上のブール代数構造であって，全てのブール演算が連続になるようなもの．}であって，$\bot \neq \top$だが可縮なものはあるか？
\end{question}
\begin{answer}
(weak)無限次元球面$S^\infty$ \cite{lawvere1988toposesGenerated}.
\end{answer}
彼はこのことを，まず$S^\infty$を関数空間$L^2([0,1])$に埋め込むことで実現し，さらにブール代数の分類topos $\PSh(F)$の言葉で記述した．
この問題は，おそらく彼のヘーゲル哲学への情熱と関連している．(絵を書いて説明する) 実際，彼はtoposにおける\demph{アウフヘーベン}の概念を定義し\cite{lawvere1989display, lawvere1991more}，それを用いてtoposにおける次元論を展開した\cite{lawvere2006some}．Lawvereの未解決問題の4番は，ブール代数の分類toposのアウフヘーベンを計算することである．
\begin{quote}\cite{lawvere2025opennLab}
... What is, in combinatorial or number theoretic terms, the way below relation for this basic topos?
\end{quote}
博論の第三部の元になった\cite{hora2025lawvere}では，\ignore{simplicial setに対する\cite{kennett2011levels}の手法を利用して，}この問題を解いた．その解答は，諸々の定義を省略して，以下の通りである．
\begin{theorem}\cite{hora2025lawvere}
ブール代数の分類toposのアウフヘーベンは，$l\geq 3$に対して$2l-1$である．
\end{theorem}
\printbibliography
\end{document}