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トポス模試__トポス模試.tex
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\setlist[enumerate]{label = (\arabic*), ref = (\arabic*)}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{prob}{問題}
\newtheorem{ans}{解答}
\title{Math Power記念\\数理空間トポス模試}
\author{}
\begin{document}
\maketitle
\begin{description}[style = multiline, leftmargin = 5mm]
\item[※] 数理空間トポス模試という名前ですが、トポスに参加するために試験があるわけではありません。
トポスは数学に関心のある中高生であればどなたでもご参加いただけます。
\item[※] もし解けた問題がある場合には、問題公表以降トポスアカウントからツイートされる各問題の画像ツイートに引用RTで解答を添付してもらえると嬉しいです。
\item[※] 解答はMath Power期間中(9/24~25)に公開いたします。
\item[※] 問題に記載された☆の数の意図は以下の通りです（チューターの主観では難易度も概ね星の数とともに上がります）。\\
\begin{tabularx}{110mm}{Xl}
（☆） \dotfill & 高校までの数学の知識で解ける\\
（☆☆） \dotfill & 高校までの数学の知識で挑戦可能\\
（☆☆☆） \dotfill & 高校までの数学の知識で解ける保証なし\\
（☆☆☆☆） \dotfill & 高校までの数学の知識では解けない\\
\end{tabularx}
\item[※] 各問題の得点 …… $2^{\text{(\text{☆の個数})}+1}$点
\item[※] 問題は全部で9問あり、全ての問題が解けると100点になります。ただし、解けた方に賞品などがあるわけではありません。また、解答の採点・添削等の実施は控えさせていただきます。緩やかな企画としてお楽しみください。
\end{description}
\newpage
\begin{center}
\Large \textbf{トポス模試 問題1から問題5}
\end{center}
\vspace{5mm}
\begin{prob}[☆]\label{fib}
$0$以上の整数$n$に対し、数列$F_n$を次のように定める。
\begin{align*}
F_{0}=0, \quad F_{1}=1, \quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}
\end{align*}
このとき、座標平面上の点列
\begin{align*}
\left(\frac{F_{2 n}}{F_{2 n+1}}, \frac{1}{F_{2 n+1}}\right)
\end{align*}
は全て同一円周上にあることを示し、その円の方程式を求めよ。
\end{prob}
%出典：https://arxiv.org/pdf/2003.00852.pdf
\vspace{3mm}
\begin{prob}[☆]\label{tan}
以下の2つの問いに答えよ。
\begin{enumerate}
\item すべての実数$u$について$\displaystyle \tan\left(\int_0^u \frac{dx}{x^2 + 1}\right) = u$が成り立つことを示せ。
\item $\dfrac{1}{\sqrt{13}}$と$\tan\dfrac{1}{\sqrt{14}}$はどちらが大きいか。
\end{enumerate}
\end{prob}
\vspace{3mm}
\begin{prob}[☆]\label{gray}
$n$を$1$以上の整数とし、$1$から$n$までの整数 のうちいくつかを要素とする集合が全通り描かれたカードがある(空集合と全体集合も含め、カードは全部で$2^n$枚ある)。このカードの中から任意に1枚をとり、そこから残ったカードを一枚ずつ次のルールに従って上に重ねていく。\\
ルール：上に重ねることができるカードは、そこに描かれた集合が一番上のカードに描かれた集合に含まれるか、含むかのいずれかである\\
このルールに従ってカードを重ねていった時に、全てのカードを使い切るような重ね方が存在することを示せ。
\end{prob}
\vspace{3mm}
\begin{prob}[☆☆]\label{dice}
$n$個のサイコロをふり、出た目の二乗の和が$7$の倍数となる確率を求めよ。
\end{prob}
\vspace{3mm}
\begin{prob}[☆☆]\label{Rubik}
ルービックキューブに対する操作$A$であって、条件「どんな状態のルービックキューブに対しても操作$A$を有限回繰り返せば全面揃えることができる」を満たすものは存在しないことを示せ。ただし操作$A$としては、ルービックキューブの事前に決まったいくつかの面を事前に決まった順番で事前に決まった角度回転させることのみを許し、その他の突飛な操作(ルービックキューブの破壊や交換、確率的及び条件分岐を含む操作など)は考えないものとする。
\end{prob}
\newpage
\begin{center}
\Large \textbf{トポス模試 問題6から問題9}
\end{center}
\vspace{5mm}
\begin{prob}[☆☆]\label{TM}
次の数列の極限値を求めよ。
\begin{align*}
\frac{1}{2}, \frac{\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{3}{4}\right)}, \frac{\left(\frac{\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{3}{4}\right)}\right)}{\left(\frac{\left(\frac{5}{6}\right)}{\left(\frac{7}{8}\right)}\right)}, \ldots
\end{align*}
\end{prob}
%出典：https://sites.math.washington.edu/~morrow/336_12/papers/christopher.pdf
\vspace{3mm}
\begin{prob}[☆☆☆]\label{DeleteNim}
２人のプレイヤーが次のようなゲームを行う。\\
いくつかの石からなる$n$個の山があり、$2$人のプレイヤーは各手番で、以下の2つの操作を続けて行う。交互に操作を行い、最後に操作ができなくなくなったプレイヤーの負けである。
\begin{itemize}
\item 1つの山を選び、その山を削除する。
\item 残りの$n-1$山のうち、1つの山を選んで（空でない）
2つの山に分割する。
\end{itemize}
このとき、次の問に答えよ。
\begin{enumerate}
\item $n=2$のとき、ゲームの局面を$(x,y)$で表す。後手必勝となる$(x,y)$をすべて求めよ。
\item $n=3$のとき、ゲームの局面を$(x,y,z)$で表す。後手必勝となる$(x,y,z)$をすべて求めよ。
\end{enumerate}
\end{prob}
\vspace{3mm}
\begin{prob}[☆☆☆]\label{WQO}
$\{a_n\}$を、各項$a_n$が正の有理数であるような数列とする（$n = 1, 2, 3, \dotsc$）。
さらに、どの正の整数$m, n$についても、$m < n$のとき$\dfrac{a_n}{a_m}$は整数でないとする。
このとき正の整数の狭義単調増加列$n(1) < n(2) < n(3) < \dotsb$であって、次の2条件のいずれか一方をみたすものが存在することを示せ。
\begin{enumerate}
\item すべての正の整数$k$について、$\dfrac{a_{n(k)}}{a_{n(k + 1)}}$は$2$以上の整数である。
\item 相異なるすべての正の整数$k, l$について、$\dfrac{a_{n(k)}}{a_{n(l)}}, \dfrac{a_{n(l)}}{a_{n(k)}}$はどちらも整数でない。
\end{enumerate}
\end{prob}
\vspace{3mm}
\begin{prob}[☆☆☆☆]（顧問の加藤文元先生からの出題）
以下の問に答えよ。
\begin{enumerate}
\item 2つの生成元$x,y$と基本関係式 $xy^2=y^3x, yx^3=x^2y$ で定まる群を求めよ。
\item 2つの生成元$x,y$と基本関係式 $xyx^{-2}yx=1, y^3=1$ で定まる群の位数を求めよ。
\end{enumerate}
\end{prob}
\newpage
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{center}
\large \textbf{- 問題1 -}
\end{center}
$0$以上の整数$n$に対し、数列$F_n$を次のように定める。
\begin{align*}
F_{0}=0, \quad F_{1}=1, \quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}
\end{align*}
このとき、座標平面上の点列
\begin{align*}
\left(\frac{F_{2 n}}{F_{2 n+1}}, \frac{1}{F_{2 n+1}}\right)
\end{align*}
は全て同一円周上にあることを示し、その円の方程式を求めよ。
\end{minipage}
}
\end{center}
\vspace{10mm}
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\vspace{2mm}
\begin{center}
\large \textbf{- 問題2（☆） -}
\end{center}
以下の2つの問いに答えよ。
\begin{enumerate}
\item すべての実数$u$について$\displaystyle \tan\left(\int_0^u \frac{dx}{x^2 + 1}\right) = u$が成り立つことを示せ。
\item $\dfrac{1}{\sqrt{13}}$と$\tan\dfrac{1}{\sqrt{14}}$はどちらが大きいか。
\end{enumerate}
\vspace{2mm}
\end{minipage}
}
\end{center}
\vspace{10mm}
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\vspace{2mm}
\begin{center}
\large \textbf{- 問題3（☆） -}
\end{center}
$n$を$1$以上の整数とし、$1$から$n$までの整数 のうちいくつかを要素とする集合が全通り描かれたカードがある(空集合と全体集合も含め、カードは全部で$2^n$枚ある)。このカードの中から任意に1枚をとり、そこから残ったカードを一枚ずつ次のルールに従って上に重ねていく。\vspace{2mm}
ルール：上に重ねることができるカードは、そこに描かれた集合が一番上のカードに描かれた集合に含まれるか、含むかのいずれかである\vspace{2mm}
このルールに従ってカードを重ねていった時に、全てのカードを使い切るような重ね方が存在することを示せ。
\vspace{2mm}
\end{minipage}
}
\end{center}
\vspace{10mm}
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\vspace{3mm}
\begin{center}
\large \textbf{- 問題4（☆☆） -}
\end{center}
$n$個のサイコロをふり、出た目の二乗の和が$7$の倍数となる確率を求めよ。
\vspace{2mm}
\end{minipage}
}
\end{center}
\vspace{10mm}
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\vspace{3mm}
\begin{center}
\large \textbf{- 問題5（☆☆） -}
\end{center}
ルービックキューブに対する操作$A$であって，条件「どんな状態のルービックキューブに対しても操作$A$を有限回繰り返せば全面揃えることができる」を満たすものは存在しないことを示せ．\\
ただし操作$A$としては，ルービックキューブの事前に決まったいくつかの面を事前に決まった順番で事前に決まった角度回転させることのみを許し，その他の突飛な操作(ルービックキューブの破壊や交換，確率的及び条件分岐を含む操作など)は考えないものとする．
\vspace{2mm}
\end{minipage}
}
\end{center}
\vspace{10mm}
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\vspace{3mm}
\begin{center}
\large \textbf{- 問題6（☆☆） -}
\end{center}
次の数列の極限値を求めよ。
\begin{align*}
\frac{1}{2}, \frac{\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{3}{4}\right)}, \frac{\left(\frac{\left(\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{3}{4}\right)}\right)}{\left(\frac{\left(\frac{5}{6}\right)}{\left(\frac{7}{8}\right)}\right)}, \ldots
\end{align*}
\vspace{2mm}
\end{minipage}
}
\end{center}
\vspace{10mm}
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.85\linewidth}
\vspace{3mm}
\begin{center}
\large \textbf{- 問題7（☆☆☆） -}
\end{center}
２人のプレイヤーが次のようなゲームを行う．\\
いくつかの石からなる$n$個の山があり，$2$人のプレイヤーは各手番で，以下の2つの操作を続けて行う．交互に操作を行い，最後に操作ができなくなくなったプレイヤーの負けである．
\begin{itemize}
\item 1つの山を選び，その山を削除する．
\item 残りの$n-1$山のうち，1つの山を選んで（空でない）
2つの山に分割する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
\begin{enumerate}
\item $n=2$のとき，ゲームの局面を$(x,y)$で表す．後手必勝となる$(x,y)$をすべて求めよ．
\item $n=3$のとき，ゲームの局面を$(x,y,z)$で表す．後手必勝となる$(x,y,z)$をすべて求めよ．\end{enumerate}
\vspace{2mm}
\end{minipage}
}
\end{center}
\vspace{30mm}
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.85\linewidth}
\vspace{3mm}
\begin{center}
\begin{align*}
1^1+2^1-3^1+4^1-5^1-6^1+7^1+8^1-9^1-10^1+11^1-12^1+13^1+14^1-15^1=0 \\
1^2+2^2-3^2+4^2-5^2-6^2+7^2+8^2-9^2-10^2+11^2-12^2+13^2+14^2-15^2=0 \\
1^3+2^3-3^3+4^3-5^3-6^3+7^3+8^3-9^3-10^3+11^3-12^3+13^3+14^3-15^3=0
\end{align*}
\end{center}
\vspace{2mm}
\end{minipage}
}
\end{center}
\vspace{10mm}
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.85\linewidth}
\vspace{3mm}
\begin{center}
\large \textbf{- 問題8（☆☆☆） -}
\end{center}
$\{a_n\}$を、各項$a_n$が正の有理数であるような数列とする（$n = 1, 2, 3, \dotsc$）。
さらに、どの正の整数$m, n$についても、$m < n$のとき$\dfrac{a_n}{a_m}$は整数でないとする。
このとき正の整数の狭義単調増加列$n(1) < n(2) < n(3) < \dotsb$であって、次の2条件のいずれか一方をみたすものが存在することを示せ。
\begin{enumerate}
\item すべての正の整数$k$について、$\dfrac{a_{n(k)}}{a_{n(k + 1)}}$は$2$以上の整数である。
\item 相異なるすべての正の整数$k, l$について、$\dfrac{a_{n(k)}}{a_{n(l)}}, \dfrac{a_{n(l)}}{a_{n(k)}}$はどちらも整数でない。
\end{enumerate}
\vspace{2mm}
\end{minipage}
}
\end{center}
\vspace{10mm}
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{0.85\linewidth}
\vspace{3mm}
\begin{center}
\large \textbf{- 問題9（☆☆☆☆） -}
\end{center}
以下の問に答えよ。
\begin{enumerate}
\item 2つの生成元$x,y$と基本関係式 $xy^2=y^3x, yx^3=x^2y$ で定まる群を求めよ。
\item 2つの生成元$x,y$と基本関係式 $xyx^{-2}yx=1, y^3=1$ で定まる群の位数を求めよ。
\end{enumerate}
\vspace{2mm}
\end{minipage}
}
\end{center}
\end{document}