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\newtheorem{thm}{Theorem}
\theoremstyle{plain}
	\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
	\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
	\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
	\newtheorem{conj}[theorem]{Conjecture}
	\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
	\newtheorem{question}[theorem]{Question}

\theoremstyle{definition} 
	\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
	\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
	\newtheorem{example}[theorem]{Example}
	\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
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\newcommand{\nbinom}[2]{{}_{#1} \mathrm{C}_{#2}}
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\cornersize{2}

\begin{document}

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\begin{section}{ドミノタイリングの圏と分解}

\begin{definition}
    有限集合$R\subset\Z^2$を盤面と呼ぶ. 
    盤面のドミノタイリング全体を$\D(R)$で表す.
    盤面$R$と$D\in\D(R)$に対し, $D$の横のドミノの個数を$h(D)$で表す. 
    盤面$R$に対し, $\bs(R)$を
    $$
    \bs(R)=\sum_{D \in \D(X)} \sqrt{-1}^{h(D)}.
    $$
    で定める. 
\end{definition}
\begin{definition}
    $p=(x,y)\in \Z^2$に対し, $\wt(p)$で$\sqrt{-1}^x$を表す. 
    盤面$R$に対し,$\wt(R)$を$\wt(r)(r\in R)$の積として定める. 
\end{definition}
\begin{definition}
    $V$を, $\ket{0}$および$\ket{1}$で自由生成される$\C$線形空間とする. 
    集合$A$に対し, $V_{A}$で$V^{\otimes{A}}$を表す. 
\end{definition}
\begin{definition}
    集合$A$および, $S\subset A$に対し, $e_{S}\in V_{A}$を次のように定める:
    \[
    e_{S,i}=  \begin{cases}
        \ket{0} & (i \in S)\\
        \ket{1} & (i \not\in S)
    \end{cases}
    \]
    とし, 
    \[
    e_S=\bigotimes_{i\in A} e_{S,i}
    \]
\end{definition}
\begin{example}
    $A=\{0,1,2,3,4\}$,$S=\{1,4\}$なら, $e_{S}=\ket{0}\otimes\ket{1}\otimes\ket{0}\otimes\ket{0}\otimes\ket{1}$
\end{example}
\begin{remark}
定義より, $\{e_S|S\subset A\}$ は $V_{A}$の基底をなす. 
\end{remark}
\begin{definition}{ドミノタイリングの圏}
    $\dominocat$を次で定める:\\
    object: 盤面全体の集合\\
    morphism: 盤面$R,R'$の間の射全体の集合を, $\Hom_{\C}(V_R,V_{R'})$と定める.\\
    composition: 線形写像の合成
\end{definition}
この圏の定義には深い意味がなくて, 大事なのは次のmorphism:
\begin{definition}(転送行列)
    盤面$R$および$A,B\subset R$に対して, $\phi^R_{A,B}\in \dominocat(A,B)$を, 次を満たすような射として定める. 
    \[
    \phi^R_{A,B}(e_S)=\sum_{T\subset B} c_{S,T}e_T
    \]
    ただし, 
    \[
    c_{S,T}=\bs(R\setminus ((A\setminus S)\cup T)) \wt(S) \wt(T)^{-1}.
    \]
    また, $\phi_{A,B}$で$\phi^{A\cup B}_{A,B}$を表すものとする. 
\end{definition}
\begin{proposition}
    $\phi^R_{\emptyset,\emptyset}=\bs(R)$
\end{proposition}
\begin{proof}
    定義より自明. 
\end{proof}
\begin{proposition}
    盤面$R,S$および$A,B,C$が次の条件を全て満たしていたとする.
    \begin{itemize}
        \item $A\subset R$, $C\subset S$
        \item $B=R\cap S$
        \item $p,q\in R\cup S$が(辺で)隣接していたら, $p,q\in R$または$p,q\in S$のちょうど一方を満たす. 
    \end{itemize}
    このとき, 次式が成立する. 
    \[
        \phi^S_{B,C} \circ \phi^R_{A,B} = \phi^{R\cup S}_{A,C}
    \]
\end{proposition}
\begin{proof}
    $e_T$をいれ, 定義にしたがって整理していくと, 示すべきは次の事実:\\ 
    $T\subset A,V\subset C$に対し, 
    \[
        \bs((R\cup S)\setminus ((A\setminus T)\cup V)) = \sum_{U\subset B} \bs(R\setminus ((A\setminus T) \cup U)) \times \bs(S\setminus ((B\setminus U) \cup V))
    \]
    これは, 任意の$D\in\D((R\cup S)\setminus ((A\setminus T)\cup V))$に対し, $D$のドミノが$R$に入ってるか$S$に入ってるかのどちらかちょうど一方が成り立つことからわかる. 
\end{proof}

\begin{definition}
    整数$n$に対し, $DL_n\subset \Z^2$を次のように定める:
    \[
        DL_n = \{(x,y)\in \Z^2|x+y=n\}
    \]
    盤面$R$に対し, $R_n$を$R\cap DL_n$として定める. 
\end{definition}
ここまでこねくりまわして欲しかったのは次の分解:
\begin{proposition}
    任意の盤面$R$にたいし, 十分大きい$M$をとれば, 次式が成立する:
    \[
        \bs(R) = \phi_{R_{M-1},R_M}\circ \phi_{R_{M-2},R_{M-1}}\circ \dots \phi_{R_{-M},R_{-M+1}}
    \]
\end{proposition}
\begin{proof}
prop1.9, 1.10より自明
\end{proof}

$\phi_{R_n,R_{n+1}}$をもう少し具体的に書き下す. 

\begin{definition}
    (有限)全順序集合$R$に対し, $V_{R}$と$\bigwedge \C^{R}$を同一視する.
    すなわち, $\{s_0,s_1,\ldots s_{n-1}\}=S\subset R,s_0<s_1<\dots <s_{n-1}$のとき, $e_S$と$e_{s_0}\wedge e_{s_1}\wedge \dots e_{s_{n-1}}$を同一視する. 
    とくに, $R$が盤面なときは, $\Z^2$の辞書式順序($x$成分を優先する)の$R$への制限によって $V_{R}$と$\bigwedge \C^{R}$を同一視する.
\end{definition}

\begin{lemma}
    盤面$A,B$が$A\subset DL_n$および$B\subset DL_{n+1}$を満たすとし,  $A=\{a_0,a_1,\ldots,a_{k-1}\}$ および$B=\{b_0,\ldots b_{l-1}\}$と小さい方から列挙する. このとき, $\bs(A\cup B)\neq 0$は次の条件がすべて成立することと同値:
    \begin{itemize}
        \item $k=l$
        \item 任意の$i$に対し, $a_i$と$b_i$は隣接する
    \end{itemize}
    さらに, このとき, 
    \[
    \bs(A\cup B)=\wt(B)\wt(A)^{-1}
    \]
\end{lemma}
\begin{proof}
    $A\cup B$のドミノタイリングを考えると, $A$と$B$をまたぐようにしか置けず,また交差ができないので, 結局$a_i$と$b_i$を覆うようなドミノでタイリングするしかない. ここから最初の主張は従う. 後半は, このようなタイリングに対して, 縦のドミノの個数は
    \[
        \sum_{i=0}^{k-1} ((b_i\text{の}x\text{成分})-(a_i\text{の}x\text{成分}))
    \]
    と書けることからわかる. 
\end{proof}

\begin{definition}
    盤面$R$および$p\in R$に対し, $\iota_{R,p}\in \End(V)$を次式で定める. 
    $$
    \iota_{R,p} \ket{0} = \ket{1}, \iota_{R,p}\ket{1} = \wt(p)^2\ket{0}
    $$
    そして, $\iota_R\in\End(V_R)$を次式で定める.
    \[
    \iota_R=\bigotimes_{p\in R} \iota_{R,p}
    \]
\end{definition}
\begin{remark}
    定義より, $\iota_R\circ \iota_R=\wt(R)^2$.
\end{remark}
\begin{definition}
    盤面$A,B$に対し,  $\psi_{A,B}:\C^A\to\C^B$を次式を満たす線形写像として定める:
    \[
    \psi_{A,B}(e_p)= \sum_{q\in N(p)\cap B} e_q
    \]
    ただし, $N(p)$で$p$の4近傍を表す. 
\end{definition}
\begin{theorem}
    盤面$A,B$が$A\subset DL_n$および$B\subset DL_{n+1}$を満たすとする. このとき, 
    $\phi_{A,B}=\wt(B)^{-1}\cdot (\iota_B\circ (\bigwedge\psi_{A,B}))$. 
\end{theorem}
\begin{proof}
    両辺に$\iota_B$を掛けて, $\iota_B\circ \phi_{A,B}=\wt(B)\bigwedge\psi_{A,B}$を示せばよい. 
    $S\subset A,T\subset B$を任意に取り, 両辺に$e_S$を代入したときの$e_T$の係数が等しいことを示せばよい. すなわち, 示すべき式は, 
    \[
        \wt(T^c)^2 c_{S,T^c} = \wt(B)\left((\bigwedge\psi_{A,B})(e_S)\text{の}e_T\text{の係数}\right)
    \]
ただし, $T^c$で$B\setminus T$を表す
    $c_{S,T}$の定義およびlem1.14より, 
    \[
    \wt(T^c)^2 c_{S,T^c} = \wt(T^c)\wt(S)\bs(S\cup T)=\wt(B) \lvert \bs(S\cup T) \rvert
    \]
    よって, $\psi_{A,B}$の定義とlem1.14より従う. 
\end{proof}





というわけで, $\lvert \bs(R)\rvert \leq 1$を示すためには, $(\iota_{R_{n+1}}\circ (\bigwedge\psi_{R_n,R_{n+1}}))$の写像の様子, もうちょっと言うと適当な閉性を知りたいです. そのためにいい感じの$V_A$の部分集合, $X_A$および$X_A'$を定義していきます. 



\end{section}


\begin{section}{$X_A$}
    議論をスムーズに回すために, まず$X_A$の"syntax"に相当するものを定義する. 
    \begin{definition}[2色木]
        (赤い/青い)2色木を次のように帰納的に定める:
        \begin{itemize}
            \item $\sigma_0,\sigma_1\ldots \sigma_{n-1}$が青い2色木のとき, $[\sigma_0,\sigma_1,\ldots ,\sigma_{n-1}]$は赤い2色木
            \item $\sigma_0,\sigma_1\ldots \sigma_{n-1}$が赤い2色木のとき, $\langle\sigma_0,\sigma_1,\ldots ,\sigma_{n-1}\rangle$は青い2色木
            \item 以上で定義されるもののみが(赤い/青い)2色木
        \end{itemize}
        赤い2色木と青い2色木をまとめて2色木とよぶ. 
    \end{definition}
    \begin{definition}[2色木のサイズ]
        2色木$\sigma$に対して, $\sigma$のサイズ, $\sz(\sigma)$を次で再帰的に定義する:\\
        $\sigma_0,\sigma_1\ldots \sigma_{n-1}$が2色木のとき
        \begin{itemize}
            \item $\sz[\sigma_0,\sigma_1,\ldots ,\sigma_{n-1}]=\sum_{i=0}^{n-1} \sz(\sigma_i)$
            \item $\sz\langle\sigma_0,\sigma_1,\ldots ,\sigma_{n-1}\rangle=\sum_{i=0}^{n-1} \sz(\sigma_i)+(n+1)$
        \end{itemize}
    \end{definition}
    \begin{definition}
        2色木$\sigma$および全順序集合$A$が$\sz(\sigma)=\#A$を満たしているとき, $\alpha(A;\sigma)\in V_{A}$を次のように定める:
        
        $\#A=m$とし, $A=\{a_0,a_1,\ldots ,a_{m-1}\}$と小さい順から列挙する. 
        \begin{itemize}
            \item $\sigma=[\sigma_0,\sigma_1,\ldots ,\sigma_{n-1}]$のとき: 
            $s_i=\sz(\sigma_i),t_i=\sum_{j=0}^{i-1} s_j$とする. このとき, 
            \[
            \alpha(A;\sigma):=\alpha([a_{t_0},a_{t_1});\sigma_0) \wedge \alpha([a_{t_1},a_{t_2});\sigma_1) \wedge \dots \wedge \alpha([a_{t_{n-1}},a_{t_n});\sigma_{n-1})
            \]
            ただし, $[a_i,a_j)=\{x|a_i\leq x < a_j\}$とする. 
            \item $\sigma=\langle\sigma_0,\sigma_1,\ldots ,\sigma_{n-1}\rangle$のとき: 
            $s_i=\sz(\sigma_i)$, $t_j=\sum_{i=0}^{j-1} (s_i+1)$とおき,
            \[
            \alpha(A;\sigma):=\alpha((a_{t_0},a_{t_1});\sigma_0) \wedge \alpha((a_{t_1},a_{t_2});\sigma_1) \wedge \dots \wedge \alpha((a_{t_{n-1}},a_{t_n});\sigma_{n-1})\wedge \left(\sum_{i=0}^n f_{t_i}\right)
            \]
            ただし, $(a_i,a_j)=\{x|a_i < x < a_j\}$であり, $f_i=(-1)^ie_{a_i}$である. 
        \end{itemize}
    \end{definition}
    \begin{definition}
        2色木$\sigma$に対して, $\iota(\sigma)$を次のように再帰的に定める:
        \begin{itemize}
            \item $\sigma=[\sigma_0,\sigma_1,\ldots \sigma_{n-1}]$のとき:
            $\iota(\sigma)=\langle\iota(\sigma_0),\iota(\sigma_1),\ldots ,\iota(\sigma_{n-1})\rangle$
            \item $\sigma=\langle\sigma_0,\sigma_1,\ldots \sigma_{n-1}\rangle$のとき:
            $\iota(\sigma)=[\iota(\sigma_0),\iota(\sigma_1),\ldots ,\iota(\sigma_{n-1})]$
        \end{itemize}
        また, $\iota'(\sigma)$を次のように定める:
        \begin{itemize}
            \item $\sigma$が赤いとき, $\iota'(\sigma)=\iota(\sigma)$
            \item $\sigma$が青いとき, $\iota'(\sigma)=\langle\iota(\sigma)\rangle$
        \end{itemize}
    \end{definition}
    \begin{definition}
        有限集合$I\subset \Z$が与えれたとする. 
        $i\in I$に対し, $\iota_{n,i}\in \End(V)$ を次式で定める. 
    $$
    \iota_{n,i} \ket{0} = \ket{1},\iota_{n,i} \ket{1} = (-1)^i\ket{0}
    $$
    そして, $\iota_I\in\End(V_I)$を次式で定める.
    $$
        \iota_{I}=\bigotimes_{i\in I} \iota_{I,i}
    $$
    \end{definition}
    \begin{definition}
        $I,J\subset \Z$ に対し, $\psi_I:\C^I\to \C^{J}$を, 次を満たす線形写像として定める:
        \[
            \psi_I (e_i)=\sum_{j\in J} (\delta_{i,j}+\delta_{i+1,j}) e_i
        \]
    \end{definition}
    ようするに$I\subset DL_n,J\subset DL_{n+1}$の時の$\psi_{I,J}$を1次元に「潰した」やつです
    \begin{lemma}
        $A,B\subset \Z$を共通部分をもたない有限集合とし, $S\subset A$とする. このとき, 
        \begin{itemize}
            \item もし, $\forall a\in A,\forall b\in B, a<b$なら,任意の$T\subset B$に対し, 
            \[
            \iota(e_S\wedge e_T)=\iota(e_S)\wedge \iota(e_T).
            \]
            \item もし, $A=[a,a']$と書けるなら, ある$\varepsilon\in\{\pm1\}$が存在し, 任意の$b\in B$に対し,
            \begin{align}
                \iota(e_S\wedge e_{\{b\}})=\varepsilon\cdot
                \left(\begin{cases}
                    1  & b < a \\
                    (-1)^{\#A} & b > a'
                \end{cases}\right)
                \cdot\iota(e_S)\wedge \iota(e_{\{b\}})
            \end{align}

            
        \end{itemize}
    \end{lemma}
    \begin{proof}
        前半は定義より自明. 後半は頑張って計算するとわかる. 

    \end{proof}
    ここまでのよくわかんない定義は次の定理のため:
    \begin{proposition}
        $\sz(\sigma)=m$のとき, 次式が成立する:
        \[
            (\iota_{m+1}\circ \bigwedge\psi_m)(\alpha(m;\sigma))
            =\pm\alpha(m+1;\iota'(\sigma))
        \]
    \end{proposition}
    \begin{proof}
    $\iota_{m+1}$を両辺にかけて, 
    \[
        (\bigwedge\psi_m)(\alpha(m;\sigma))
        =\pm\iota_{m+1}(\alpha(m+1;\iota'(\sigma)))
    \]
    を示せばよい. これと命題「$\sigma$が赤いとき,$\sz(\sigma)=m$と置くと, 
    \[
        (\bigwedge\psi_m)(\alpha(m;\sigma)) \wedge (f_0-f_m)=0
    \]
    」を合わせて$\sigma$に対する構造帰納法を回す. 
    \begin{itemize}            
    \item $\sigma=[\sigma_0,\sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}]$のとき:\\
        $s_i=\sz(\sigma_i),t_i=\sum_{j=0}^{i-1} s_j$と置く. $\alpha$の定義と帰納法の仮定と上の補題より, 右辺は
        \begin{align}
            (\bigwedge\psi_m)(\alpha(m;\sigma))&=\bigwedge_{i=0}^{n-1} \left((\bigwedge\psi_{[t_i,t_{i+1})})\alpha([t_i,t_{i+1});\sigma_i)\right) \\
            &=\pm\bigwedge_{i=0}^{n-1} \left(\iota_{[t_i,t_{i+1}]}\alpha([t_i,t_{i+1}];\langle\iota(\sigma_i)\rangle)\right)\\
            &=\pm\bigwedge_{i=0}^{n-1} \left(\iota_{[t_i,t_{i+1}]}(\alpha((t_i,t_{i+1});\iota(\sigma_i))
            \wedge (f_{t_i}+f_{t_{i+1}}))\right)\\
            &=\pm\bigwedge_{i=0}^{n-1} \left(\iota_{(t_i,t_{i+1})}\alpha((t_i,t_{i+1});\iota(\sigma_i))
            \wedge (f_{t_i}-f_{t_{i+1}})\right)\\
            &=\pm\bigwedge_{i=0}^{n-1} \left(\iota_{(t_i,t_{i+1})}\alpha((t_i,t_{i+1});\iota(\sigma_i))
            \right)\wedge \bigwedge_{i=0}^{n} 
            \left(f_{t_i}-f
            _{t_{i+1}}\right)
            \\
        \end{align}
        となる. この形から, $(\bigwedge\psi_m)(\alpha(m;\sigma)) \wedge (f_0-f_m)=0$は明らか. 一方, 左辺を計算すると, 
        \begin{align}
            \iota_{m+1}(\alpha(m+1;\iota'(\sigma)))&=
            \iota_{m+1}(\alpha(m+1;\langle\iota(\sigma_0),\iota(\sigma_1),\dots ,\iota(\sigma_{n-1})\rangle))\\
            &=\iota_{m+1}\left(
            \bigwedge_{i=0}^{n-1} \alpha((t_i,t_{i+1});\iota(\sigma_i)) \wedge (\sum_{i=0}^{n} f_{t_i})
            \right)\\
            &=\pm\bigwedge_{i=0}^{n-1} \left(\iota_{(t_i,t_{i+1})}\alpha((t_i,t_{i+1});\iota(\sigma_i))
            \right)\wedge \iota_T(\sum_{i=0}^{n} (-1)^ie_{t_i})
        \end{align}
        ただし$T=\{t_i| 0\leq i\leq n\}$. よって$\wedge$の右側が等しいことを示せばよいが, それは計算すれば従う. 
    \item $\sigma=\langle\sigma_0,\sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}\rangle$のとき:\\
        $s_i=\sz(\sigma_i),t_i=\sum_{j=0}^{i-1} (s_j+1)$と置く.
        $\alpha$の定義より, 右辺は
        \begin{align}
            (\bigwedge\psi_m)(\alpha(m;\sigma))&=\bigwedge_{i=0}^{n-1} \left((\bigwedge\psi_{(t_i,t_{i+1})})\alpha((t_i,t_{i+1});\sigma_i)\right)\wedge \left(\sum_{i=0}^n (\bigwedge\psi_m)f_{t_i}\right)\\
        \end{align}
        ここで, 
        \begin{align}
            \sum_{i=0}^n (\bigwedge\psi_m)f_{t_i} &= \sum_{i=0}^n (f_{t_i}-f_{t_i+1})
            = (f_0-f_m) + \sum_{i=0}^{n-1} (f_{t_i+1}-f_{t_{i+1}})
        \end{align}
        なので, 帰納法の仮定より,
        \begin{align}
            (\bigwedge\psi_m)(\alpha(m;\sigma))&=\bigwedge_{i=0}^{n-1} \left((\bigwedge\psi_{(t_i,t_{i+1})})\alpha((t_i,t_{i+1});\sigma_i)\right)\wedge (f_0-f_m)\\
            &=\pm\bigwedge_{i=0}^{n-1} \left(\iota_{(t_i,t_{i+1}]} \alpha((t_i,t_{i+1}];\iota(\sigma_i))\right)\wedge (f_0-f_m)
        \end{align}
        となる. 一方, 左辺を計算すると
        \begin{align}
            \iota_{m+1}(\alpha(m+1;\iota'(\sigma)))&=
            \iota_{m+1}(\alpha(m+1;\langle[\iota(\sigma_0),\iota(\sigma_1),\dots ,\iota(\sigma_{n-1})]\rangle))\\
            &=\iota_{m+1}\left(
            \bigwedge_{i=0}^{n-1} \alpha((t_i,t_{i+1}];\iota(\sigma_i)) \wedge (f_0+f_m)
            \right)\\
            &=\pm\bigwedge_{i=0}^{n-1} \left(\iota_{(t_i,t_{i+1}]} \alpha((t_i,t_{i+1}];\iota(\sigma_i))\right)\wedge (f_0-f_m)
        \end{align}
        となるので両辺は等しい. 
    \end{itemize}
    \end{proof}
    \begin{definition}
        区間$I\subset \Z$に対して, $X_I\subset V_I$を次のように定める:
        \[
        X_I:=\{\varepsilon \alpha(I;\sigma) | \varepsilon\in \{\pm1,\pm\sqrt{-1}\}, \sigma\text{は2色木で}\sz(\sigma)=\#I\}
        \]
    \end{definition}
    \begin{definition}
        区間$I\subset \Z$に対して, $X'_I\subset V_I$を次のように定める:
        \[
        X'_I:=\{v_0\wedge v_1\wedge \dots \wedge v_{n-1} | 
        \text{あるdisjointな区間の列}J_0,J_1\dots J_{n-1}\subset I\text{が存在し}, v_i\in X_{J_i}\}
        \]
    \end{definition}
    \begin{corollary}
        区間$I$に対して, 
        $\psi_I(X_I)\subset X_J$. ただし, $I\cup (I+1)=J$.
    \end{corollary}
    \begin{proof}
        上の命題より自明. 
    \end{proof}
    \begin{corollary}
        区間$I,J$に対して, 
        $\psi_I(X'_I)\subset X'_J$. 
    \end{corollary}
    \begin{proof}
        上の系より, $X'_J$が「端の点を削除する操作」について閉じてることを言えばok. これは頑張るとできる. 
    \end{proof}
    \begin{remark}
        定義より, $X'_{\emptyset}=\{0\}\cup \{\pm1,\pm\sqrt{-1}\}$
    \end{remark}
    \begin{proposition}
        $I=[a,b),J=[b,c)$と書けるなら
        $X_I\otimes X_J\subset X_{I\cup J}$.
    \end{proposition}
    \begin{proof}
        大きさ$\#I,\#J$の二分木$\sigma,\tau$に対して, $\alpha(I;\sigma)\otimes \alpha(J;\tau)\in X_{I\cup J}$を示せばよい. 青い木$\sigma$に対して, $\alpha(A,\sigma)=\alpha(A,[\sigma])$なので, $\sigma, \tau$は赤いとしてよい. $\sigma=[\sigma_0,\ldots,\sigma_{n-1}]$,$\tau=[\tau_0,\ldots \tau_{m-1}]$と置くと, $\alpha(A,\sigma)\otimes\alpha(A,\tau)=\alpha(A,[\sigma_0,\ldots,\sigma_{n-1},\tau_0,\ldots \tau_{m-1}])$なのでよい. 
    \end{proof}
    $X_I$については上の4つの主張以外忘れて大丈夫です. 
    さて, 区間に関してはこれでいいんですが, 区間がバラバラなときにはもう少し工夫する必要があります.
    \begin{definition}
        $A\subset \Z$のとき, $V_A$に内積を次のように入れる:
        $v=\sum_{S\subset A} \beta_S e_S$,$w=\sum_{S\subset A} \gamma_S e_S$
        のとき, 
        \[
            \langle v,w\rangle = \sum_{S\subset A} (-1)^{(\sum S)} \beta_S \overline{\gamma_S}
        \]
    \end{definition}
    \begin{definition}
        $X\subset V_A$に対して, $X^{\bot}$を次のように定義する:
        \[
            X^{\bot}:=\{y|\forall x\in X, \langle x,y\rangle \in X_{\emptyset}\}
        \]
    \end{definition}
    \begin{remark}
        内積の定義より, $X^\bot\otimes Y^\bot \subset (X\otimes Y)^\bot$
    \end{remark}
    \begin{definition}
        $A\subset \Z$に対し, $Y_A$を次で定義する:
        $A=I_0\cup I_1\cup\dots \cup I_{n-1}$と(最小個数の)区間の和に分けて, 
        \[
        Y_A:=(X'_{I_0}\otimes X'_{I_1}\otimes \dots \otimes X'_{I_{n-1}})^\bot 
        \]
    \end{definition}
    \begin{theorem}
        単連結な盤面$R$が, $\forall (x,y)\in R, x+y\leq m$を満たすとする. このとき, $\phi^{R}_{R_m,\emptyset}\in Y_{R_m'}$. ただし, $R_m'=\{x\in \Z|(x,m-x)\in R_m\}$. 
    \end{theorem}
    \begin{proof}
        今まで示したことを組み合わせると, $R$の「行数」の帰納法が回る. 
    \end{proof}
    \begin{theorem}
        盤面$R$が単連結なら, $\lvert{\bs(R)}\rvert=0,1$
    \end{theorem}
    \begin{proof}
        上の命題で$m$を十分大きくとり, $Y_{\emptyset}=\{0,\pm1,\pm\sqrt{-1}\}$と合わせれば従う. 
    \end{proof}
\end{section}































\end{document}