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{
  \begin{frame}
    \frametitle{Table of Contents}
    \tableofcontents[currentsection]
  \end{frame}
}

\title{構成的数学と表現論}
\subtitle{Topos入門}
\author{洞龍弥}
\institute[]{東京大学数理科学研究科修士2年}
\date[2023年12月7日]{2023年12月7日\\ 数学基礎論若手の会2023}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{はじめに}
\begin{quote}
    トポスのテーマは，その広がりにおいては，はるかに源になったスキームのテーマを超えています．幾何学と代数，トポロジーと数論，数理論理とカテゴリー論，連続の世界と「不連続」または「離散」構造の世界が結び合う，この「ベッド」，あるいはこの「深い川」は，スキームのテーマではなくて，トポスのテーマです．
    (Grothendieck「収穫と蒔いた種と」辻雄一訳)
\end{quote}

\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{目的}
以下を伝えること

\begin{itemize}
\setlength\itemsep{16pt}
    \item Topos理論のラフなアイデアのうち1つ
    \item 構成的数学は，topos理論を通じて様々な数学(or 数理科学)とつながる．
    \item 特に，構成的線型代数\footnote{本当は局所環上の加群論}は群や箙の表現に新たな視点を与える．
    \pause
    \item 一緒にやりませんか?
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
    \frametitle{Table of Contents}
    \tableofcontents
  \end{frame}

\section{こんなところに構成的数学}
\begin{frame} \frametitle{本節のメッセージ}
このSectionで伝えること:
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{16pt}
    \item 構成的数学の応用としてのtoposの魅力
    \item 構成的数学は，数学の諸分野や数理科学に応用を持っていること
    \item Toposはそれを仲介していること
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{その1: 量子基礎論}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.40\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{images/Qunatum.png}
    \end{column}
    \begin{column}{0.65\textwidth}
    \begin{itemize}
    \setlength\itemsep{16pt}
    %     \item Klaas Landsman「Foundations of Quantum Theory, From Classical Concepts to Operator Algebras」という本がSpringerから出た．
    % \pause
    \item 2017年出版，cited by 237.
    \pause
    % 最終章12章には，次のような節がある：
    \item \S 12.2 The Gelfand spectrum in constructive mathematics
    \pause
    \item 
    Grothendieckは「収穫と蒔いた種と」で予言していた...
\end{itemize}
    \end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{その2: Type theoryとモデル検査}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.40\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{images/TTT.png}
    \end{column}
    \begin{column}{0.65\textwidth}
    \begin{itemize}
    \setlength\itemsep{16pt}
    \item 2019年出版. 時制論理．
    \pause
    \item \dq{
    % As a first test that our formal system is strong enough to be useful in practice
    [...], we use a simplified version of the safe separation problem for airplanes in the US National Airspace System (NAS). }
    \pause
    \item \dq{ What will matter most is that our type theory is constructive and [...]
    % has an object $\mathbf{Prop}$ of propositions—and hence has a higher-order logic.
    }
\end{itemize}
    \end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{その3: 代数幾何}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.55\textwidth}
    % \vspace{-15mm}
    \includegraphics[width=1.2\textwidth]{images/AG3.png}
    \includegraphics[width=1.2\textwidth]{images/CopyRight.png}
    \end{column}
    
    \begin{column}{0.45\textwidth}
    \begin{itemize}
    \setlength\itemsep{16pt}
    \item Ingo Blechschmidt の博論. 2017年
    \item 
    \dq{
        One way this thesis contributes to the program of constructive mathematics is that intuitionistic mathematics gains new areas of application. 
        }
    \end{itemize}
    % \item 
    % 論文最後の画像
    % \item \dq{
    %     For instance, the constructive account of the theory of Krull dimension was [...]
    %     % originally developed to remove Noetherian hypotheses, extract computational meaning, and simplify proofs [39, 42].
    %     It can now also be used to reason about the dimension of schemes, [...]
    %     % since the topological dimension of a scheme X coincides with the Krull dimension of the structure sheaf OX regarded as an ordinary ring from the internal perspective of Sh(X) (Section 3.4).
    %     }

\end{column}
\end{columns}
% 「Using the internal language of toposes in algebraic geometry」bu Ingo Blechschmidt
\end{frame}

% \begin{frame} \frametitle{その4: }
% \begin{itemize}
%     \item ベクトル束
%     \item Difference algebras (by Ivan Tomasic)
%     \pause
%     \item 表現論(?)
% \end{itemize}
% \end{frame}

\begin{frame} \frametitle{Toposへ}

Q:では，構成的数学とこれらの諸々のtopicを繋ぐものは何か？
\pause
\vspace{20pt}

A: 実は，topos理論！

\pause
\vspace{20pt}
toposは何者で，どこで生まれたのか？
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{本節のメッセージ(再掲)}
このSectionで伝えること:
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{16pt}
    \item 構成的数学の応用としてのtoposの魅力
    \item 構成的数学は，数学の諸分野や数理科学に応用を持っていること
    \item Toposはそれを仲介していること
\end{itemize}
\end{frame}

\section{空間としてのtopos}
\begin{frame} \frametitle{本節のメッセージ}
このSectionで伝えること:
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{16pt}
    \item Grothendieckによる空間概念の革命がtoposを生み出した
    \item Topos\footnote{に対する無数の視点のうちの一つを非常に単純化したもの}は「空間内の点の集合」ではなく「空間上の構造の圏」である
    \item 群作用集合や箙作用集合といった\dq{表現論の素材}もtoposを為す
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{Grothendieckの洞察}
Grothendieckは，彼の著書「Récoltes et Semailles」で次のように述べている．
% \begin{quote}
%     \dq{
%     Considérons l’ensemble formé de tous les faisceaux sur un espace (topologique) donné, ou, si on veut, cet arsenal prodigieux formé de tous ces “mètres” servant à l’arpenter. Nous considérons cet “ensemble” ou “arsenal” comme muni de sa structure la plus évidente, laquelle y apparaît, si on peut dire, “à vue de nez”; à savoir, une structure dite de “catégorie”. [...]
%     % (Que le lecteur non mathématicien ne se trouble pas, de ne pas connaître le sens technique de ce terme. Il n’en aura nul besoin pour la suite.)
%     C’est cette sorte de “superstructure d’arpentage”, appelée “catégorie des faisceaux” (sur l’espace envisagé), qui sera dorénavant considéré comme “incarnant” ce qui est le plus essentiel à l’espace.
%     }
% \end{quote}
\begin{quote}
    % \dq{
    % 空間上の層の集まりを考える．それは言わば，空間の測りからなる驚くべき武器庫である．[...] 
    今後「層の圏」と呼ばれるこの種の測量超構造(superstructure d'arpentage)は，空間にとって最も本質的なものの具現化(incarnant)とみなされるだろう．
    % }
\end{quote}
\pause
(過度に)単純化すれば，次のような転換が起こっている!
\begin{table}
    \centering
    % \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline 
    %      位相空間&  $? \to $空間& 空間内の点の集合\\ \hline 
    %      topos&  $? \leftarrow $空間& 空間上の構造の圏\\ \hline
    % \end{tabular}
    \begin{tabular}{|c|c|} \hline 
         位相空間&   空間は何から構成されるか\\ \hline 
         topos& 空間から何が構成されるか\\ \hline
    \end{tabular}
\end{table}
% \begin{description}
%     \item[これまで]空間は何から構成されるか
%     \item[topos]空間から何が構成されるか
% \end{description}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{Grothendieck toposの定義}
    \begin{block}{Def: Grothendieck topos}
        圏$\E$がGrothendieck toposであるとは，以下の同値な条件を満たすことを言う．
        \begin{itemize}
            \item Site\footnote{位相空間のある種の一般化} $(\C,J)$上の層の圏$\Sh(\C,J)$と
            圏同値．
            \item ある前層圏$\PSh(\C)$へのfull embeddingとlex reflectorを持つ．
        \end{itemize}
    \end{block}
    重要なことは，toposは「空間内の点の集合」ではなく「空間上の構造の圏」であること！
    % \pause
    % \begin{itemize}
    %     \item 位相空間$X$上の層の圏 $\Sh(X)$
    %     % \item Cohen forcing poset $P$ 上の(desne-)層の圏 $\Sh(P)$
    %     \item 前層圏$\PSh(\C)$.例えば，$\Set$や群作用の圏$G$-$\Set$や箙$Q$の作用の圏$Q$-$\Set$
    % \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{Grothendieck toposの(恣意的な)例}
    \begin{itemize}
        \item 位相空間$X$上の層の圏 $\Sh(X)$
        \item 集合の圏$\Set$($=\Sh(1)$)
        \item Cohen forcing poset $\mathbb{P}$ 上の(desne-)層の圏 $\mathbf{Cohen}=\Sh(\mathbb{P}, \lnot\lnot)$
        % \begin{itemize}
            
            \item 群作用の圏 $G$-$\Set$
            \item 位相群$G$の連続作用の圏$\mathbf{Cont}(G)$
            \item 箙$Q$の作用の圏 $Q$-$\Set$
            \item 離散力学系の圏 $\mathbf{\sigma}$-$\Set$
            \item 有向グラフの圏 $\mathbf{DirGraph}$
            \item 自由モノイド$\Sigma_{A}$作用の圏 $\mathbf{Automata}_{A}$
            \item Simplicial setの圏$\mathbf{sSet}$
            % \item 前層圏$\PSh(\C)$.
        % \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{本節のメッセージ}
このSectionで伝えること:
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{16pt}
    \item Grothendieckによる空間概念の革命がtoposを生み出した
    \item Topos\footnote{に対する無数の視点のうちの一つを非常に単純化したもの}は「空間内の点の集合」ではなく「空間上の構造の圏」である
    \item 群作用集合や箙作用集合といった\dq{表現論の素材}もtoposを為す
\end{itemize}
\end{frame}
\section{集合論の宇宙としてのtopos}
\begin{frame} \frametitle{本節のメッセージ}
このSectionで伝えること:
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{16pt}
    \item 各toposは，それ固有の\dq{内部数学}を持つ．
    % \pause
    (なんかパラレルワールドの覗き穴みたいでめちゃめちゃワクワクする!!)
    % \pause
    \item  \dq{内部数学}の共通言語は構成的数学である．
    % \item \dq{内部数学}を外から眺めると，より複雑な数学的対象に見える．
    \pause
    \item 夢が広がる
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{いろんなトポス，いろんな数学}
\hspace*{-8mm}
\vspace*{+20mm}
% \centering
\includegraphics[width=1.13\textwidth]{images/parallelworlds-11.jpg}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{どう嬉しいか1: アリアドネの糸}

\begin{quote}
    % Changing the universe. 
    % An established principle in topos theory states that 
    % 
    [...] 
    the universe of sets can be replaced by an arbitrary base topos, 
    % [...]
    % 
    and that it should be possible to reprise interesting topics and chapters of classical mathematics in the new context.
    
    We cling to this principle as a kind of \textbf{Ariadne's thread}, guiding us out of the labyrinth of guesswork [...]
    % on the path of applying the vast machinery of topos theory [...] 
    % and categorical logic in the case of difference sets. There is no need to wonder how to define appropriate difference analogues of classical objects, a predicament often encountered by a researcher in difference algebra.
% Remarkably, this special case of a possibly simplest example of a non-boolean topos hides a wealth of previously uncovered objects, and takes us on a path through a significant part of the Elephant [35], [36].
\end{quote}
{\footnotesize(Ivan Tomašić, A topos-theoretic view of difference algebra, 2020)}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{どう嬉しいか2: 単純化}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.55\textwidth}
    % \vspace{-15mm}
    \includegraphics[width=1\textwidth]{images/AG3.png}
    \includegraphics[width=1\textwidth]{images/CopyRight.png}
    \end{column}
    
    \begin{column}{0.45\textwidth}
    % \begin{quote}
We investigate how the internal language of the little Zariski topos can be exploited to give simpler definitions and more conceptual proofs of the basic notions and observations in algebraic geometry.
% \end{quote}
\end{column}
\end{columns}
{\footnotesize(Ingo Blechschmidt, Using the internal language of toposes in algebraic geometry, 2017)}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{どう嬉しいか3: 色んな世界の比較！}
いろんな性質の世界を作れる！
\begin{quote}
% Now topoi are "generalized" universes of sets, and the logic of such universes is in general intuitionistic (the logic is classical precisely when the topos is Boolean). Therefore, 
[...] it is natural to ask whether there are perhaps topoi which resemble Brouwer's world to such an extent that all functions from reals to reals are continuous.
\end{quote}
{\footnotesize(Mac Lane and Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic, 1992)}

\textbf{数学的類似を，「宇宙を取り替えただけ！」って説明できたら，アツい！！}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{本節のメッセージ}
このSectionで伝えること:
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{16pt}
    \item 各toposは，それ固有の\dq{内部数学}を持つ．
    % \pause
    (なんかパラレルワールドの覗き穴みたいでめちゃめちゃワクワクする!!)
    % \pause
    \item  \dq{内部数学}の共通言語は構成的数学である．
    % \item \dq{内部数学}を外から眺めると，より複雑な数学的対象に見える．
    \pause
    \item 夢が広がる
\end{itemize}
\end{frame}

\section{表現論へ}
\begin{frame} \frametitle{本節のメッセージ}
このSectionで伝えること:
\begin{itemize}
    \item 私は最近Topos内の線型代数に興味を持っている．
    \item Topos内の線型代数は，外から見れば圏($\supset$ 群, 箙)の表現(やベクトル束)などになっている．
    \item 原理的には各種表現論の諸所の差異は，構成的数学をベースにした逆数学と関連するはず．
    \item 夢の一つは，Gabrielの定理を構成的逆数学の観点から再解釈したい．
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{Topos内の$\mathbb
{C}$線型空間}
% c.r.: 完全可約性: 有限次元直既約表現が既約\\
% f.r.t.: 有限表現型: 有限次元直既約表現が有限個
\vspace{-5mm}
\begin{table}
\hspace*{-10mm}
    \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|} \hline  
    
    %title
         Topos&   set&LEM&  AC&  $\mathbb{C}$-v.s.&  c.r.& f.r.t. \\ \hline \hline 

         % \pause
    %usual linear alg
    
        $\Set$&   set&\checkmark&  \checkmark&  $\mathbb{C}$-v.s.&  \checkmark& \checkmark \\ \hline

        \pause
    %group representation
    
        $\mathfrak{S}_n$-$\Set$&  $\mathfrak{S}_n$-set&\checkmark& \checkmark& $\mathfrak{S}_n$-rep.& \checkmark&\checkmark \\ \hline 
        $\Z$-$\Set$& $\Z$-set& \checkmark& \checkmark& $\Z$-rep.& $\times$&? \\ \hline  
        $\mathbf{Cont}(\hat{\mathbb{Z}})$& $\hat{\mathbb{Z}}$-set& \checkmark& $\times$& con.$\hat{\mathbb{Z}}$-rep.& ?&? \\\hline
        % \hline 

        \pause
    %Quiver representation
    
        $\to$-$\Set$&  function&$\times$& $\times$& $V\to W$& $\times$&\checkmark \\ \hline  
        $\rightrightarrows$-$\Set$&  graph&$\times$& $\times$& $V\rightrightarrows W$& $\times$&$\times$ \\ \hline  
        ${\circlearrowright}$-$\Set$&   dyn.sys.&$\times$&  $\times$&  $V\to V$&  $\times$& $\times$ \\ \hline 

        \pause
    %Top space
    
        
 $\mathbf{sSet}$& sset& $\times$& $\times$&
 % $\mathrm{Ch}(\mathbb{C})$
 chain cpx
 & ?&?\\\hline
 $\mathbf{Cohen}$& ?& \checkmark& \checkmark& $(V_p)_{p\in \mathbb{P}}+\alpha$& ?&?\\\hline 
 \hline 
 $\Sh(S^1)$&   sheaf&$\times$&  $\times$&  (vec.bun.?)&  ?& ? \\ \hline
    \end{tabular}
    % \caption{Caption}
    % \label{tab:my_label}
\end{table}
% \begin{table}
%     \centering
%     \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|l|} \hline 
%          Topos&  $\Set$&  $\Set^{\circlearrowright}$&  $G$-$\Set$& $Q$-$\Set$ &$\mathbf{Cont}(G)$\\
%  & & & & &\\\hline \hline 
%          $\mathbb{C}$-vec.sp.&  $\mathbb{C}$-vec.sp.&  endo.lin.&  $G$-rep.&  &\dq{conti} rep\\ \hline 
%          Com.red.&  &  &  &  &\\ \hline 
%          排中律&  \checkmark&  $\times$&  \checkmark&  $Q$:dis.&\checkmark\\ \hline 
%          AC&  \checkmark&  $\times$&  \checkmark&  $Q$:dis.&\\ \hline
%     \end{tabular}
%     \caption{Caption}
%     \label{tab:my_label}
% \end{table}
\end{frame}

% \section{共同研究のお誘い}
% \begin{frame} \frametitle{1節のメッセージ}
% このSectionで伝えること:
% \begin{itemize}
%     \item 構成的数学は，数学の諸分野や数理科学に応用を持っていること
%     \item Toposはそれを仲介していること
% \end{itemize}
% \end{frame}

\begin{frame} \frametitle{Gabriel's theorem}
\begin{block}{Thm(Gabriel's theorem)}
    箙$Q$が有限表現型(f.r.t.)なことと，$Q$がDynkin図形であることは同値である．
\end{block}

\begin{block}{Informal Def(有限表現型topos)}
Grothendieck topos $\E$が有限表現型であるとは，$\E$内の直既約$\mathbb{C}$線型空間が同型を除いて有限個であることを言う．
\end{block}
\end{frame}
\begin{frame} \frametitle{本節のメッセージ}
このSectionで伝えること:
\begin{itemize}
    \item 私は最近Topos内の線型代数に興味を持っている．
    \item Topos内の線型代数は，外から見れば圏($\supset$ 群, 箙)の表現(やベクトル束)などになっている．
    \item 原理的には各種表現論の諸所の差異は，構成的数学をベースにした逆数学と関連するはず．
    \item 夢の一つは，Gabrielの定理を構成的逆数学の観点から再解釈したい．
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{話せなかったこと}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.60\textwidth}
        今後の課題
\begin{itemize}
    \item 構成的数学に慣れる
    \begin{itemize}
        \item 有限性や体の定義
        % \item 体がたくさんある(局所環へ)
        \item $\R, \mathbb{C}$の振る舞い
    \end{itemize}
    \item 各種の具体例に慣れる
    \begin{itemize}
        \item Profinite群，箙，圏の表現
        % \item ベクトル束
        \item 局所環付き空間
    \end{itemize}
    \item どこまでtopos内でやるか
    \begin{itemize}
        \item 有限性(有限生成，同型類の有限性)
        \item 係数環や表現の圏
        % 線型空間の圏(internal category)
    \end{itemize}
\end{itemize}
    \end{column}

    \begin{column}{0.40\textwidth}
    Toposについて
    \begin{itemize}
        \item 空間のなす圏(=Gros topos)として
        \item Theoryとして
        \item Logos (=categorified (semi)ring)として
        \item 私の過去の研究
    \end{itemize}
    \end{column}
\end{columns}

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