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\title{圏論における左右}
\author{Ryuya Hora}
\thanks{Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo. \url{hora@ms.u-tokyo}}
% \date{\today}
\subjclass[2020]{MSC}
\keywords{Keywords}


\begin{document}
\begin{abstract}
\end{abstract}
\maketitle

\tableofcontents

\section{圏論における左右とは}

\L{左随伴}，\R{右Kan拡張}など，圏論の至る所に\L{左}\R{右}の概念が出てくる．この\L{左}\R{右}に関する直観が著者にはあり，まるで色が付いているように見えている上に，圏論をする上で実用上非常に便利なのだが，必ずしも他人と共有されていないようなのでここに書いておく．

\L{左}\R{右}はそもそも数学的にwell-definedではないが，原則として，射の\L{定義域}が\L{左}で，\R{値域}が\R{右}である．

% \[
% \begin{tikzcd}
% A \ar[r] & B
%     % \L{\text{左}} \ar[r] & \R{\text{右}} 
% \end{tikzcd}
% \]

\[
\L{\text{左}} \to \R{\text{右}} 
\]


\begin{table}
    \centering
    \begin{tabular}{|c|c|} \hline 
     \L{\text{左}}& \R{\text{右}}\\
     \L{\text{定義域}}& \R{\text{値域}}\\
     \L{\text{操作的}}& \R{\text{(超越的)}}\\
     \L{\text{幾何学的}}& \R{\text{(代数的)}}\\
     \L{\text{帰納的}}& \R{\text{(演繹的)}}\\
    \L{\text{足し算}}& \R{\text{掛け算}}\\
    \L{\text{自由構成}}& \R{\text{余自由構成}}\\
    \L{\text{構文論}}& \R{\text{意味論}}\\
    \L{\text{0}}& \R{\text{1}}\\
    \L{\text{操作}}& \R{\text{(不変)量}}\\
    \L{\text{extensive}}& \R{\text{intensive}}\\
    \L{\text{外包性}}& \R{\text{内包性}}\\
    \end{tabular}
    \caption{関連する二項対立}
    \label{tab:dichotomy}
\end{table}

\subsection{左右の例}

\subsubsection{\L{操作}と\R{量}}

数学における不変量の概念は，\L{左}\R{右}のアイデアの典型例である．数学における典型的な問題の形式は，ある\L{操作}が与えられたときに，二つの状態が移り合わないことを証明するものである．そして，その典型的な回答は，\L{操作}と整合的な\R{量}を対応させる不変量の構成である．
\[
\L{\text{操作}}  \xrightarrow{\text{不変量= 射}} \R{\text{量}}
\]

\begin{example}
    \L{テンソル積}の中の二つの元，例えば$\Q[\sqrt{2}] \L{\otimes_{\Z}} \Q[\sqrt{2}]$において二つの元$\sqrt{2} \L{\otimes_{\Z}} \sqrt{2}$と$2 \L{\otimes_{\Z}} 1$が異なることを示そう．それには， $\Z$-双線形写像
    \[
    \mu\colon \Q[\sqrt{2}] \times \Q[\sqrt{2}] \to \Q[\sqrt{2}] \colon (\alpha, \beta) \mapsto \alpha \cdot \overline{\beta}
    \]
    を考えて，$\mu(\sqrt{2}, \sqrt{2}) = -2 \neq 2 = \mu(2,1)$を観察すれば，
    \[
    \mu\colon \Q[\sqrt{2}] \L{\otimes_{\Z}} \Q[\sqrt{2}] \to \Q[\sqrt{2}] \colon \alpha \L{\otimes_{\Z}} \beta \mapsto \alpha \cdot \overline{\beta}
    \]
    での行き先が違うことからわかる．別の言い方をすれば，この議論は，以下のような文字列の操作
    \begin{itemize}
        \item $a \L{\otimes_{Z}} (b+c) = a \L{\otimes_{\Z}}b + a \L{\otimes_{\Z}}c$
        \item $(a+b) \L{\otimes_{\Z}} c = a \L{\otimes_{\Z}} c + b \L{\otimes_{\Z}} c$
        \item $a n \L{\otimes_{\Z}} b = a \L{\otimes_{\Z}} nb$
    \end{itemize}
    で$\sqrt{2} \L{\otimes_{\Z}} \sqrt{2}$から$2 \L{\otimes_{\Z}} 1$へ移れないことを示している．これもある種の\L{操作}に対する不変\R{量}の構成である．
\end{example}


\begin{example}[\L{Tangle}と \L{Reidemeister move}]
    
\end{example}

\begin{example}[フェルマーの二平方定理における\L{剰余環の変形}]
    フェルマーの二平方定理を示す際は，
    \[
    \L{\Z[i]/(p) = \Z[x]/(p, x^2+1)= \mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)}
    \]
    という変形をした後に，$\R{\mathbb{F}_p^\times}\cong \L{\Z/(p-1)\Z}$に話を帰着する．
\end{example}

\begin{example}[\L{証明可能性}と\L{Lindenbaum–Tarski algebra}]
    
\end{example}


\begin{table}
    \centering
    \begin{tabular}{cc}
        \L{\text{左}}& \R{\text{右}}\\
        \L{\text{余極限}}& \R{\text{極限}}\\
        \L{\text{左随伴}}& \R{\text{右随伴}}\\
        \L{\text{左Kan拡張}}& \R{\text{右Kan拡張}}\\
        \L{\text{Epi}}& \R{\text{Mono}}\\
        \L{\text{Comonad}}& \R{\text{Monad}}\\
        \L{\text{presentability}}& \R{\text{copresentablility}}\\
        \L{\text{coend}}& \R{\text{end}}\\
        \L{\text{右完全}}& \R{\text{左完全}}\\
        & \R{\text{指数}}\\
        & \R{\text{subobject classifier}}\\
        & \R{\text{対角線}}\\
        \L{$\exists$}& \R{$\forall$}\\
        \L{$\lor$}& \R{$\land$}\\
        \L{$\bot$}& \R{$\top$}\\
    \end{tabular}
    \caption{Caption}
    \label{tab:Lists}
\end{table}

\subsection{左の個性}
この節では，\L{左}がどんな振る舞いをするのか，その典型例を描いてみる．もちろん，左右は完全に双対であるから，原理的には左右に個性などないのだが，実際問題現れる圏たちでは$\C$が$\C^\op$より興味深いことがあり\footnote{e.g. topos や CCC や locally presetable はdualで閉じていない}，そのことが左右に個性をもたらしている．

\L{左的な構成}は，大抵次のように作られる．
\begin{enumerate}
    \item まず，関連するものを\L{全て集めて並べる}
    \item そして，\L{与えられた関係性のみで割る．}
\end{enumerate}
このような例をいくつか見てみよう．

\begin{example}[\L{余極限}]
    すべての\L{余極限}は，(1)\L{直和}の(2)\L{coequalizer}として実現できる．
\end{example}

\begin{example}[\L{多項式環}の構成]
    環の圏$\mathbf{Ring}$から集合の圏$\Set$への\R{忘却}への\L{左随伴}を考えてみよう．この\L{左随伴}は，集合$\{x,y,z\}$に対してその多項式環$\L{\Z[}x,y,z\L{]}$を返す．
    \[
    \L{\Z[}x,y,z\L{]} \to R 
    \]
    \[
    \{x,y,z\} \to \R{|}R\R{|}
    \]
    この\L{多項式環}$\L{\Z[}x,y,z\L{]}$がいかにして\L{操作論}的に構成されるかを見てみよう．まず，$x,y,z$という$3$元から初めて，$0,1,+,\times$を用いて(1)\L{有限回の操作で作られる項をすべて集めてくる}．そして，(2)\L{環の公理を用いて有限回で移り合うものだけを同一視する}．これは典型的な\L{構文論}的構成である．
\end{example}

\begin{example}[\L{幾何学的実現}]
Simplicial setの\L{幾何学的実現}は，まずsimplexごとに(1)\L{単体を並べ}，それを(2)\L{面の関係性のみで割る}ことで得られる．
\end{example}

\begin{example}[他の例]
    \begin{itemize}
        \item \L{Lawvere theory}
        \item \L{Syntactic category}
        \item \L{テンソル積}
        \item \L{自由代数，自由群，自由モノイド，多項式環，\dots}
    \end{itemize}
\end{example}


\section{左右にまつわる現象}

\[
\L{\mathbb{C}[}x\L{]} \L{\otimes_{\mathbb{C}}} \L{\mathbb{C}[}y\L{]}
\cong
\L{\mathbb{C}[}x, y\L{]}
\]
\subsection{片側の整合性}

同じ側にいるものは基本的に整合性が取れている．

\begin{itemize}
    \item \L{左随伴}は\L{余極限}を保つ．
    \item \L{左随伴}は\L{左Kan拡張}を保つ．
    \item \L{余極限}は\L{余極限}と交換する．
    \item \R{Monad}は\R{右Kan拡張}である．
    \item \R{Monadic} functorは\R{右随伴}である．
\end{itemize}
\subsection{両側の整合性}

圏論における"良い圏"の概念は大抵このようにして特徴づけられる．

\begin{example}
    幾何学的射の\L{左随伴}は\R{左完全}である．
\end{example}

\begin{example}
    代数理論は$\Set$上の\L{finitary} \R{monad}と対応している．
\end{example}

\begin{example}
    デカルト閉圏とは，\R{直積}が\L{左随伴}となる圏のことである．特にこのとき，分配法則$A\R{\times} (B \L{+} C) \cong  A\R{\times} B \L{+} A\R{\times} C$が成立する．
\end{example}
\memo{regular cat, locally presentable, ...}
\memo{coherenceも?}
\memo{\L{initial} \R{algebra}の構成}

\subsection{左右の逆転}

\subsubsection{等式がある場合}

典型的な例は，随伴であろう．
\begin{example}
    \L{左随伴}は，
    \begin{itemize}
        \item コンマ圏に添字付けられた\R{極限}を用いて構成される．(随伴関手定理)
        \item $\id$に沿った絶対\R{右Kan拡張}である．
    \end{itemize}
\end{example}

\begin{example}[Idempotent splitting]
冪等元$e$があると，その\R{極限}(つまり\R{不動点})とその\L{余極限}(つまり\L{軌道})は一致する．
    
\end{example}
\subsubsection{$\C$も$\C^{\op}$も現れる場合}

\begin{example}[Paréの定理]
    \R{初等トポス}は
    \begin{itemize}
        \item 有限\R{極限}
        \item \R{指数}
        \item \R{subobject classifier}
    \end{itemize}
    を持つものとして定義されており，一方で
    すべての有限\L{余極限}を持つことが示される．
\end{example}

\begin{example}[Toposの2圏]
    \R{Classifying} toposが\L{Syntactic}に構成できるのはなぜか？
\end{example}

\begin{example}[可換環とスキーム]
    
\end{example}

% ときに，圏の左右が逆転する現象がある．この背後には
% \begin{itemize}
%     \item 等式がある場
%     \item $\C$も$\C^{\op}$も現れる場合
% \end{itemize}
% があるということを見ていこう．



\printbibliography
\end{document}