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{
  \begin{frame}
    \frametitle{Table of Contents}
    \tableofcontents[currentsection]
  \end{frame}
}

\title{A space$\rtimes$time for Conway's Game of Life}
\subtitle{時間発展に依存した空間概念を relative topos として捉える}
\author{洞龍弥}
\institute[]{東京大学大学院数理科学研究科\,博士2年}
\date[CSCAT]{CSCAT2026}

\newcommand{\Pow}{\mathcal{P}}
\newcommand{\Set}{\mathsf{Set}}
\newcommand{\PSh}{\mathsf{PSh}}
\newcommand{\dSet}{\sigma\text{-}\mathsf{Set}}
\newcommand{\dPSh}{\sigma\text{-}\mathsf{PSh}}
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\newcommand{\Two}{\mathsf{2}}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\begin{center}
   数学です．怪しいですが． 

   時間と空間，それぞれ色をつけたい
\end{center}
\end{frame}

% \input{WholePicture}




\section{導入: Game of Lifeは位相空間ではない}

\begin{frame}{Conway's Game of Life}
\centering
$\Z^2$の各点の明滅が隣接点の明滅のみに依存して時間変化する．
\vspace{1em}
\begin{tikzpicture}[scale=0.37]
    \begin{scope}[shift={(0,0)}]
        \node[font=\bfseries] at (4.5, 8.7) {0};
        \foreach \x in {0,...,8} {\foreach \y in {0,...,8} {\draw[gray!50] (\x,\y) rectangle (\x+1,\y+1);}}
        \fill[black] (2,3) rectangle (3,4);
        \fill[black] (3,4) rectangle (4,5);
        \fill[black] (4,2) rectangle (5,3);
        \fill[black] (4,3) rectangle (5,4);
        \fill[black] (4,4) rectangle (5,5);
    \end{scope}
    \begin{scope}[shift={(10,0)}]
        \node[font=\bfseries] at (4.5, 8.7) {1};
        \foreach \x in {0,...,8} {\foreach \y in {0,...,8} {\draw[gray!50] (\x,\y) rectangle (\x+1,\y+1);}}
        \fill[black] (3,2) rectangle (4,3);
        \fill[black] (3,4) rectangle (4,5);
        \fill[black] (4,3) rectangle (5,4);
        \fill[black] (4,4) rectangle (5,5);
        \fill[black] (5,3) rectangle (6,4);
    \end{scope}
    \begin{scope}[shift={(20,0)}]
        \node[font=\bfseries] at (4.5, 8.7) {2};
        \foreach \x in {0,...,8} {\foreach \y in {0,...,8} {\draw[gray!50] (\x,\y) rectangle (\x+1,\y+1);}}
        \fill[black] (3,4) rectangle (4,5);
        \fill[black] (4,2) rectangle (5,3);
        \fill[black] (4,4) rectangle (5,5);
        \fill[black] (5,3) rectangle (6,4);
        \fill[black] (5,4) rectangle (6,5);
    \end{scope}
    \begin{scope}[shift={(30,0)}]
        \node[font=\bfseries] at (4.5, 8.7) {4};
        \foreach \x in {0,...,8} {\foreach \y in {0,...,8} {\draw[gray!50] (\x,\y) rectangle (\x+1,\y+1);}}
        \fill[black] (3,4) rectangle (4,5);
        \fill[black] (4,5) rectangle (5,6);
        \fill[black] (5,3) rectangle (6,4);
        \fill[black] (5,4) rectangle (6,5);
        \fill[black] (5,5) rectangle (6,6);
    \end{scope}
\end{tikzpicture}

\vspace{0.5em}
$\Pow(\Z^2)\to \Pow(\Z^2)$
\end{frame}

\begin{frame}{出発点：「グライダーが右上に動く」}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.37]
    \begin{scope}[shift={(0,0)}]
        \node[font=\bfseries] at (4.5, 8.7) {0};
        \foreach \x in {0,...,8} {\foreach \y in {0,...,8} {\draw[gray!50] (\x,\y) rectangle (\x+1,\y+1);}}
        \fill[black] (2,3) rectangle (3,4);
        \fill[black] (3,4) rectangle (4,5);
        \fill[black] (4,2) rectangle (5,3);
        \fill[black] (4,3) rectangle (5,4);
        \fill[black] (4,4) rectangle (5,5);
    \end{scope}
    \begin{scope}[shift={(10,0)}]
        \node[font=\bfseries] at (4.5, 8.7) {1};
        \foreach \x in {0,...,8} {\foreach \y in {0,...,8} {\draw[gray!50] (\x,\y) rectangle (\x+1,\y+1);}}
        \fill[black] (3,2) rectangle (4,3);
        \fill[black] (3,4) rectangle (4,5);
        \fill[black] (4,3) rectangle (5,4);
        \fill[black] (4,4) rectangle (5,5);
        \fill[black] (5,3) rectangle (6,4);
    \end{scope}
    \begin{scope}[shift={(20,0)}]
        \node[font=\bfseries] at (4.5, 8.7) {2};
        \foreach \x in {0,...,8} {\foreach \y in {0,...,8} {\draw[gray!50] (\x,\y) rectangle (\x+1,\y+1);}}
        \fill[black] (3,4) rectangle (4,5);
        \fill[black] (4,2) rectangle (5,3);
        \fill[black] (4,4) rectangle (5,5);
        \fill[black] (5,3) rectangle (6,4);
        \fill[black] (5,4) rectangle (6,5);
    \end{scope}
    \begin{scope}[shift={(30,0)}]
        \node[font=\bfseries] at (4.5, 8.7) {4};
        \foreach \x in {0,...,8} {\foreach \y in {0,...,8} {\draw[gray!50] (\x,\y) rectangle (\x+1,\y+1);}}
        \fill[black] (3,4) rectangle (4,5);
        \fill[black] (4,5) rectangle (5,6);
        \fill[black] (5,3) rectangle (6,4);
        \fill[black] (5,4) rectangle (6,5);
        \fill[black] (5,5) rectangle (6,6);
        \draw[red,very thick,-{Latex[length=2.5mm]}] (1.5,1.5) -- (2.5,2.5);
    \end{scope}
\end{tikzpicture}

\vspace{0.5em}
\begin{block}{問い}
\centering
この\textquotedblleft 右上に動く\textquotedblright という言明を可能にしている $\Z^2$ の\alert{空間的構造}は何か？
\end{block}
$\to$ 位相空間ではない！
\end{frame}

\begin{frame}{二つの一側面的な見方}

\small

\begin{columns}[T,totalwidth=\textwidth]

\column{0.48\textwidth}

\begin{minipage}[t][3cm][t]{\linewidth}
\begin{block}{空間だけ見る}

$\Z^2$ に何らかの位相を入れて，
ただの空間($\in$ localic topoi)として捉える
\end{block}
\end{minipage}


\column{0.48\textwidth}

\begin{minipage}[t][3cm][t]{\linewidth}
\begin{block}{時間だけ見る}

状態全体の時間発展$
\Pow(\Z^2)\to\Pow(\Z^2)  
$を取り出し，ただの力学系($\in$ hyperconnected topoi)として捉える
% という$\N$作用として理解できる．

\end{block}
\end{minipage}

\end{columns}
\begin{alertblock}{どちらも不十分である}
$\Z^2$の点たちは，時間発展における相互作用を通じて，空間的なつながりを得ている！
\end{alertblock}

\end{frame}


\begin{frame}{ここまでの結論}

\large

% \begin{block}{ここまでの結論}

% \begin{itemize}
% \item 空間だけ見ると，時間発展による有効範囲の変化が見えない．
% \item 時間だけ見ると，どの近傍構造が効いているかが見えない．
% \end{itemize}

% \end{block}

% \vspace{0.8em}

\begin{alertblock}{主張したいこと}

Game of Life では，
空間と時間は別々に並んでいるのではなく，
\textbf{絡まり合っている}．

\[
\text{space}\rtimes \text{time}
\]

\end{alertblock}

\vspace{0.8em}

\begin{center}
時間発展が，その都度
「次に意味を持つ空間の範囲」を決めていく．
\end{center}

\end{frame}

% \section{なぜ位相空間ではないか}


\section{pretopology と dynamical presheaf}
\begin{frame}{マシな数学的記述(1/): 近傍 $N_{(x,y)}$}
空間的側面と時間的側面を兼ね備えた数学的記述をまずは一つ与えよう．
\begin{columns}
    \column{0.7\textwidth}
    各点 $(x,y)\in \Z^2$ に対し，
\[
N_{(x,y)}
=
\{(x+i,y+j)\in \Z^2 \mid i,j\in\{-1,0,1\}\}
\]
という$9$元集合$N_{(x,y)}\subset \Z^2$を\textbf{近傍}と呼ぶ．
    \column{0.3\textwidth}
    \begin{figure}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
  % grid
  \foreach \a in {0,...,4} {
    \foreach \b in {0,...,4} {
      \draw[gray!50] (\a,\b) rectangle ++(1,1);
    }
  }

  % neighborhood cells
  \foreach \a/\b in {1/1,1/2,1/3,2/1,2/2,2/3,3/1,3/2,3/3} {
    \fill[blue!20] (\a,\b) rectangle ++(1,1);
  }

  % center
  \fill[blue!55] (2,2) rectangle ++(1,1);

  % labels
  \node at (2.5,2.5) {$\scriptstyle (x,y)$};


  % brace-like outer rectangle
  \draw[blue!80,very thick] (1,1) rectangle (4,4);

  \node[anchor=west] at (3,4.5) {$N_{(x,y)}$};
\end{tikzpicture}
\end{figure}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{マシな数学的記述(2/): 内部 $\Int(S)$}

\begin{columns}[T,totalwidth=\textwidth]

\column{0.42\textwidth}

\small

$S\subset \Z^2$ 上で現在の状態が分かっているとき，
$1$ ステップ先が状態がわかるのは$S$の\textbf{内部}
\[
\Int(S)
\coloneqq
\{(x,y)\in\Z^2 \mid N_{(x,y)}\subset S\}.
\]



\begin{block}{マシな数学的記述(仮)}
    Game of lifeは
\[
\{
\delta_{S}\colon \Pow(S)\to \Pow(\Int(S))\}_{S\subset\Z^2}
\]
という射の族だと思える．
\end{block}

\column{0.58\textwidth}

\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.43]

% grid
\foreach \x in {0,...,14} {
  \foreach \y in {0,...,14} {
    \draw[gray!35] (\x,\y) rectangle ++(1,1);
  }
}

% S
\foreach \x/\y in {
1/13,7/13,10/13,7/12,8/12,9/12,5/11,6/11,7/11,9/11,10/11,13/11,
5/10,10/10,11/10,3/9,4/9,5/9,10/9,3/8,9/8,10/8,11/8,12/8,
3/7,4/7,7/7,8/7,9/7,4/6,5/6,7/6,5/5,7/5,8/5,3/4,4/4,5/4,6/4,7/4,
4/3,5/3,6/3,4/2,4/1,10/1,11/1
}{
\fill[blue!18] (\x,\y) rectangle ++(1,1);
}

% Int(S)
\foreach \x/\y in {
8/11,6/10,7/10,8/10,9/10,6/9,8/9,9/9,
4/8,5/8,6/8,7/8,8/8,5/7,6/7,6/6,6/5
}{
\fill[blue!40] (\x,\y) rectangle ++(1,1);
}

% Int^2(S)
\foreach \x/\y in {7/9}{
\fill[blue!75] (\x,\y) rectangle ++(1,1);
}

% labels (外側に配置)
\node[anchor=west, blue!25] at (11.2,3) {$S$};
\node[anchor=west, blue!45] at (9.2,5) {$\Int(S)$};
\node[anchor=west, blue!80] at (7.2,7) {$\Int^2(S)$};

\end{tikzpicture}

\end{columns}

\end{frame}



\begin{frame}{pretopology = 動的な topology}

\small
\begin{columns}[T,totalwidth=\textwidth]

\column{0.57\textwidth}

\begin{block}{定義 (pretopology)}

集合 $X$ 上の \textbf{pretopology} とは，写像

\[
\Int\colon \Pow(X)\to\Pow(X)
\]

であって

\begin{itemize}
\item $\Int(S\cap T)=\Int(S)\cap\Int(T)$ \hsp $\Int(X)=X$
\item $\Int(S)\subset S$
\end{itemize}

を満たすもの．  
idempotency は仮定しない．

\end{block}

\column{0.38\textwidth}

\begin{exampleblock}{例: Game of life}
先述の $\Int$ は  
$\Z^2$ 上の pretopology
\end{exampleblock}

\vspace{0.6em}

\begin{exampleblock}{例: Topology}
Topologyは
\[
\Int^2=\Int
\]
を満たすpretopologyのこと．
\end{exampleblock}

\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{dynamical presheaf over a pretopology}

\small

\begin{columns}[T,totalwidth=\textwidth]

\column{0.55\textwidth}

\begin{block}{定義(dynamical presheaf)}
Pretopology $(X,\Int)$上の  
\textbf{dynamical presheaf} とはpresheaf
\[
F:\Pow(X)^{\op}\to\Set
\]
と，\underline{整合的な}写像の族
\[
\{\delta_S: F(S)\to F(\Int(S))\}_{S\subset X}
\]
の組$(F, \delta)$のことをいう．
\end{block}

\column{0.4\textwidth}

\centering

\begin{tikzcd}[column sep=3.8em,row sep=3.2em,ampersand replacement=\&]
F(S) \arrow[r,"\delta_S"] \arrow[d,"\mathrm{res}"', ""{name=A}]
\&
F(\Int(S)) \arrow[d,"\mathrm{res}",, ""'{name=B}]\ar[from = A, to = B, phantom, "\text{整合的}"]
\\
F(T) \arrow[r,"\delta_T"']
\&
F(\Int(T))
\end{tikzcd}


\begin{exampleblock}{例: Game of life}
Game of life
% $
% \{
% \delta_{S}\colon \Pow(S)\to \Pow(\Int(S))\}_{S\subset\Z^2}
% $
は$(\Z^2, \Int)$上のdynamical presheaf.
\end{exampleblock}
dynamical presheafの圏を
$
\dPSh(X,\Int)
$
と書く．
\end{columns}


\end{frame}



\section{A space\texorpdfstring{$\rtimes$}{rtimes}time as a relative topos}

\begin{frame}{relative topos}

\small

\begin{columns}[T,totalwidth=\textwidth]

\column{0.55\textwidth}

\begin{block}{定義}

トポス $\mathcal{S}$ 上の
\textbf{relative topos} とは

幾何射
\[
\gamma:\mathcal{E}\to\mathcal{S}
\]

を備えたトポス $\mathcal{E}$ のこと．

\end{block}

\vspace{0.4em}



\column{0.40\textwidth}

\centering

\begin{tikzpicture}[>=Latex,scale=1]

\node[draw,rounded corners,fill=blue!10,
      minimum width=2.8cm,minimum height=0.9cm] (E)
      at (0,0) {$\mathcal{E}$};

\node[draw,rounded corners,fill=blue!20,
      minimum width=2.8cm,minimum height=0.9cm] (S)
      at (0,-2) {$\mathcal{S}$};

\draw[->,very thick] (E) -- node[right] {$\gamma$} (S);

\node[align=center] at (0,-3)
{\small base topos};

\end{tikzpicture}

\end{columns}



\begin{exampleblock}{例: ただのtopos}
ただのtoposは$\Set$上のrelative toposと見做せる
\[
\Gamma:\Sh(X)\to\Set
\]
\end{exampleblock}

\end{frame}

\begin{frame}{時間発展のトポス：$\dSet$}
\small
\begin{columns}[T,totalwidth=\textwidth]
\column{0.54\textwidth}
\begin{block}{定義と基本事実}
\textbf{離散力学系}とは，集合 $A$ と自己写像 $s\colon A\to A$ の組 $(A,s)$．
その圏を $\dSet$ と書く．
\[
\dSet \simeq \PSh(\N)
\]
したがって，$\dSet$ 自体が 1 つのトポスである．
\end{block}

\begin{alertblock}{見方}
base topos 側に最初から時間発展が入っている．
\end{alertblock}

\column{0.40\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Latex,scale=0.95]
  \node[draw,rounded corners,fill=blue!10,minimum width=2.6cm,minimum height=0.75cm] (x) at (0,0) {$A$};
  \draw[->,very thick,blue] (x.south) .. controls +(0,-0.75) and +(0,-0.75) .. node[right] {$s$} (x.south);
  \node[align=center] at (0,-1.7) {集合そのものに\\時間発展が入っている};
\end{tikzpicture}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{internal presheaf という言い換え}
\small
\begin{block}{観察}
$\Int\colon \Pow(X)\to\Pow(X)$ は inclusion order を保つので，
$(\Pow(X),\Int)$ は $\dSet$ の中の \textbf{internal poset} になる．
\end{block}

\vspace{0.55em}
\begin{alertblock}{したがって}
\[
\dPSh(X,\Int)\simeq \PSh_{\dSet}(\Pow(X),\Int).
\]
\end{alertblock}

\vspace{0.45em}
\begin{columns}[T,totalwidth=\textwidth]
\column{0.47\textwidth}
\begin{block}{ordinary geometry}
\[
X \leadsto \Sh(X) \to \Set
\]
\end{block}

\column{0.47\textwidth}
\begin{block}{time-dependent geometry}
\[
(X,\Int) \leadsto \PSh_{\dSet}(\Pow(X),\Int) \to \dSet
\]
\end{block}
\end{columns}

\vspace{0.4em}

\begin{alertblock}{今回の状況}

\[
\dPSh(\Z^2,\Int)
\longrightarrow
\dSet
\]

という幾何射があり，
これは

\begin{center}
\textbf{時間発展のトポス上の幾何}
\end{center}

になっている．

\end{alertblock}
\end{frame}

\begin{frame}{dynamical presh. \texorpdfstring{$=$}{equal} presh. over space\texorpdfstring{$\rtimes$}{rtimes}time}
\small
pretopological space $(X,\Int)$ から
\[
\Pow(X)\rtimes_{\Int} \N
\]
を作る．




\vspace{0.1em}
\begin{columns}[T,totalwidth=\textwidth]
\column{0.48\textwidth}
\begin{block}{定義}
\begin{itemize}
  \item object: $U\subset X$
  \item morphism $U\to V$: 自然数 $n$ であって
  \[
  U\subset \Int^n(V)
  \]
  を満たすもの
\end{itemize}
\end{block}

\column{0.48\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.94]
  \draw[rounded corners=3pt,fill=blue!10,draw=blue] (0,0) rectangle (4.9,3.4);
  \draw[rounded corners=3pt,fill=blue!18,draw=blue] (0.45,0.35) rectangle (4.45,3.05);
  \draw[rounded corners=3pt,fill=blue!28,draw=blue] (0.95,0.75) rectangle (3.95,2.65);
  \draw[rounded corners=3pt,fill=white,draw=blue] (1.55,1.25) rectangle (3.35,2.15);
  \node at (4.45,3.05) {$V$};
  \node at (3.65,2.55) {$\Int(V)$};
  \node at (3.15,2.2) {$\Int^2(V)$};
  \node at (2.45,1.7) {$U$};
  \draw[red,very thick,-{Latex[length=2.5mm]}] (2.45,3.85) -- node[above] {$n$} (2.45,3.45);
\end{tikzpicture}

\end{columns}
\end{frame}


\begin{frame}{global sections が Conway map を回収する}
\small
\begin{columns}[T,totalwidth=\textwidth]
\column{0.50\textwidth}
\begin{block}{relative topos}
base topos $\mathcal S$ 上の relative topos とは，幾何射
\[
\gamma\colon \mathcal E\to\mathcal S
\]
を備えたトポス $\mathcal E$ のこと．
\end{block}

\column{0.45\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Latex,scale=0.95]
  \node[draw,rounded corners,fill=blue!10,minimum width=3.25cm,minimum height=0.85cm] (top) at (0,1.2) {$\GoL \in \dPSh(\Z^2,\Int)$};
  \node[draw,rounded corners,fill=red!10,minimum width=3.5cm,minimum height=0.95cm] (bot) at (0,-1.1) {$\Pow(\Z^2) \xrightarrow{\ \con\ } \Pow(\Z^2)$};
  \draw[very thick,blue,-{Latex[length=2.6mm]}] (top) -- node[right] {$\gamma_*$} (bot);
\end{tikzpicture}
\end{columns}

\vspace{0.25em}
\begin{alertblock}{今回の global sections}
\[
\gamma_*(\GoL)=\GoL(\Z^2)=\Pow(\Z^2)
\]
で，その時間発展は Conway map $\con$ そのものになる．
\end{alertblock}
\end{frame}

\section{まとめと展望}

\begin{frame}{なぜこの relative topos が合うか}
\small
\begin{itemize}
  \item base topos $\dSet$ が，最初から \textbf{time evolution} を担う．
  \item その内部で $(\Pow(X),\Int)$ という \textbf{space data} が定義される．
  \item $\Int^n$ は「$n$ ステップ後にどこまで空間が有効か」を表す．
\end{itemize}

\vspace{0.45em}
\begin{alertblock}{だから}
\centering
\Large
\alert{時間発展に依存した空間概念}
\end{alertblock}

\vspace{0.2em}
\centering
\(\gamma\colon \dPSh(\Z^2,\Int)\to\dSet\)\par
\end{frame}

\begin{frame}{今後の方向}
\small
\begin{itemize}
  \item \textbf{subtopos / sheaf condition}: 有限領域を dense にする Grothendieck topology を入れたい
  \item \textbf{symmetry}: $\Z^2\rtimes D_4$ などの対称性で quotient したい
  \item \textbf{modal logic}: $S4$でない時制論理で，「グライダーが右上に動く」を数学的に定義したい．(context: 進化論の数理モデルへの不満)
  \item \textbf{extensions}: $\Set$から別のトポスへ．例えば波動方程式を捉えるなら$\mathsf{SmoothSet}^{\R_{\geq 0}}$-relative topos を考える(cf. persistent homology)
\end{itemize}

\vspace{0.8em}
\begin{block}{この話の位置づけ}
今日は完成形ではなく，\alert{Game of Life のための幾何の最初の枠組み}を提案した．
\end{block}

\vspace{0.25em}
{\footnotesize Background: Grothendieck, Mac Lane--Moerdijk, Johnstone, Toma\v{s}i\'{c}, ほか.}
\end{frame}

\begin{frame}{Take-home message}
\begin{center}
\Large
Game of Life では，

\vspace{0.3em}
\alert{未来を何ステップ見るか}が

\vspace{0.2em}
\alert{どの空間が意味を持つか}を決める．

\vspace{0.6em}
\normalsize
この time-dependent な空間概念は
\[
\dPSh(\Z^2,\Int)\to\dSet
\]
という relative topos によって記述できる．
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{遠すぎるモチベーション: 進化論の数理モデル}

\begin{columns}[T,totalwidth=\textwidth]
\column{0.44\textwidth}

\small

進化論の数理モデルでは多くの場合，
\begin{itemize}
\item population size
\item gene frequency
\end{itemize}
などの\textbf{数値}を扱う．
\column{0.52\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
  width=6.6cm,
  height=4.6cm,
  xmin=0, xmax=8,
  ymin=0, ymax=4.2,
  axis lines=left,
  xlabel={$t$},
  ylabel={population},
  xtick=\empty,
  ytick=\empty,
  enlargelimits=false,
  clip=false
]

\addplot[very thick, blue, domain=0:8, samples=220]
  {2.2 + 1.0*sin(deg(1.2*x))};

\addplot[very thick, blue!55, domain=0:8, samples=220]
  {2.0 + 0.9*sin(deg(1.2*x - 1.2))};

\node[anchor=west] at (axis cs:7.2,2.9) {\scriptsize prey};
\node[anchor=west] at (axis cs:7.2,1.4) {\scriptsize predator};

\end{axis}
\end{tikzpicture}


\end{columns}
\small
しかし，私が知りたいのは，
\begin{center}
「これは同じものが動いている」
\end{center}
と言えるような個体性が，空間と時間発展しか持たない系から現れることへの数学的理解である．
\end{frame}

\end{document}