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{
  \begin{frame}
    \frametitle{Table of Contents}
    \tableofcontents[currentsection]
  \end{frame}
}

\title{アイゼンシュタイン整数と組合せ論}
\author{洞龍弥}
\institute[]{東京大学数理科学研究科博士1年\\ 国立情報学研究所 RA}
\date[2024年5月18日]{2024年5月18日\\}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
\input{WholePicture}
\begin{frame}{Table of Contents}
    \tableofcontents
\end{frame}
\section[パズルと素数1]{導入: パズルと3で割って1余る素数}

\begin{frame}{曲面上の完全グラフ}

\begin{block}{問題: (2024/4/13のトポス)}
    トーラス上に\textbf{$7$}次完全グラフを交差なしで描けるか？
\end{block}
\begin{figure}
        \centering
        \includegraphics[width=0.75\linewidth]{Graph.jpeg}
    \end{figure}
\pause
実は$7 \equiv 1 \mod 3$を利用して描ける！
\end{frame}

\begin{frame}{ねじれた正四面体}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.4 \textwidth}
    北海道大学(情報科学研究院)の堀山貴史教授の「複数の多面体の共通の展開図について 」という講演にて
    \end{column}
    \begin{column}{0.6 \textwidth}
    \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=\linewidth]{Horiyama.JPG}
\end{figure}
    \end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{ねじれた正四面体}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.4 \textwidth}
    北海道大学(情報科学研究院)の堀山貴史教授の「複数の多面体の共通の展開図について 」という講演にて
    \end{column}
    \begin{column}{0.6 \textwidth}
    以下の自然数の共通点は何か？
\begin{itemize}
    \item $91$
    \item $1729$
    \item $2821$
    \item $53599$
\end{itemize}
    \end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{ねじれた正四面体}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.4 \textwidth}
    北海道大学(情報科学研究院)の堀山貴史教授の「複数の多面体の共通の展開図について 」という講演にて
    \end{column}
    \begin{column}{0.6 \textwidth}
    以下の自然数の共通点は何か？
\begin{itemize}
    \item $91= 7\times 13$
    \item $1729 = 7\times 13 \times 19$
    \item $2821 = 7\times 13 \times 31$
    \item $53599 = 7\times 13 \times 19 \times 31$
\end{itemize}
$\mod 3$で$1$の素数たち！？
    \end{column}
\end{columns}
\end{frame}


\section[アイゼンシュタイン整数]{アイゼンシュタイン整数における素因数分解}

\begin{frame}{アイゼンシュタイン整数}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.6 \textwidth}
    \begin{block}{定義}
        アイゼンシュタイン整数とは，整数$n,m\in \Z$を用いて$n+m \omega$と書ける複素数のこと．
    \end{block}
    アイゼンシュタイン整数の集合を$\Z[\omega]$と書く．
    \end{column}
    \begin{column}{0.4 \textwidth}
        \begin{figure}
            \centering
            \includegraphics[width=1\linewidth]{EisensteinBenn.jpeg}
        \end{figure}
    \end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{アイゼンシュタイン整数}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.5 \textwidth}
    \begin{block}{定義(再掲)}
        アイゼンシュタイン整数とは，整数$n,m\in \Z$を用いて$n+m \omega$と書ける複素数のこと．
    \end{block}
    $\Z[\omega] \subset \C$は格子状！
    \end{column}
    \begin{column}{0.5 \textwidth}
        \begin{figure}
            \centering
            \includegraphics[width=1\linewidth]{GraphicEisenstein2.jpeg}
        \end{figure}
    \end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{観察: $7=(3+\omega)\times (2-\omega)$}
% \begin{frame}{観察:素数が素数ではなくなる}
% $7=(3+\omega)\times (2-\omega)$
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\linewidth]{7isNotPrime.jpeg}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{他の素数の例}
% \begin{block}{問題}
%     いつ素数$(\in \Z)$は非自明な約数$(\in \Z[\omega])$を持つか？
% \end{block}

    % いつ素数$(\in \Z)$は非自明な約数$(\in \Z[\omega])$を持つか？

\begin{columns}
    \begin{column}{0.5 \textwidth}
        \vspace{-20pt}
\begin{align*}
    2&=2\\
    3&= (2+\omega)\times (1-\omega)\\%=-(\sqrt{-3})^2 \\
    5&= 5\\
    7&= (3+\omega) \times (2-\omega)\\
    11&= 11\\
    13&= (4+\omega)\times (3-\omega)
\end{align*}
    \end{column}
\begin{column}{0.5 \textwidth}
        \vspace{-20pt}
\begin{align*}
    17&=17\\
    19&=(5+2\omega)\times (3-2\omega) \\
    23&=23 \\
    29&=29 \\
    31&=(6+\omega)\times (5-\omega) \\
    37&=(7+3\omega)\times (4-3\omega)
\end{align*}
    \end{column}
\end{columns}
\vspace{10pt}
    いつ素数$(\in \Z)$は非自明な約数$(\in \Z[\omega])$を持つか？
\end{frame}



\begin{frame}{主定理(ラフに)}
\begin{block}{定理}
    素数$p\neq 3$について，\\
    $p$は$\Z[\omega]$で\textbf{分解する} $\iff$ $p\equiv 1 \mod 3$
\end{block}
\pause
% $\Z[\omega]/(p)\cong \Z[x]/(p, x^2 + x + 1)\cong \mathbb{F}_{p}[x]/(x^2+x+1)$: 整域でない\\
% % $\iff$ $x^3-1= (x-1)(x^2+x+1)$が$\mathbb{F}_{p}$に$1$でない根を持つ\\
% $\iff$ $\Z/(p-1)\Z\cong \mathbb{F}_{p}^{\times}$が位数$3$の元を持つ\\
% $\iff $ $p \equiv 1 \mod 3$

{\color{blue}数学科用: 左辺$\iff$$\Z[\omega]/(p)\cong \mathbb{F}_{p}[x]/(x^2+x+1)$が整域でない\\
% $\iff$ $x^3-1= (x-1)(x^2+x+1)$が$\mathbb{F}_{p}$に$1$でない根を持つ\\
$\iff$ $\Z/(p-1)\Z\cong \mathbb{F}_{p}^{\times}$が位数$3$の元を持つ $\iff$ 右辺}
\end{frame}


\begin{frame}{単元，同伴，素元}
\begin{itemize}
    \item \textbf{単元}とは，絶対値が$1$のアイゼンシュタイン整数のこと．
    % (つまり，$1,\omega, \omega^2,  -1, -\omega, - \omega^2$のこと．)
    \item アイゼンシュタイン整数 $\alpha$ が\textbf{素元}であるとは，$\alpha$は単元でなく，さらに自身の単元倍と単元以外で割り切れないこと．
\end{itemize}

\begin{description}
    \item[単元] $1,\omega, \omega^2,  -1, -\omega, - \omega^2$
    \item[素元]$2, 2\omega, 2\omega^2,  -2, -2\omega, - 2\omega^2, 2+\omega, \dots$
    \item[その他] $0, 3,4, 3+3\omega, \dots$
\end{description}
% ($5, 5\omega, 5\omega^2,  -5, -5\omega, - 5\omega^2$は全て素元)
\end{frame}

\begin{frame}{主定理(厳密に)}
\begin{block}{定理}
    素数$p\neq 3$について，\\
    $p$は$\Z[\omega]$で\textbf{素元でない} $\iff$ $p\equiv 1 \mod 3$
\end{block}
\end{frame}



\input{WholePicture}
\section[パズルと素数2]{広がり: パズルと3で割って1余る素数}

% \begin{frame}{完全グラフ}
%     さて，完全グラフの問題に返ってこよう！
% \end{frame}
\begin{frame}{再会！: 曲面上の完全グラフ}
\begin{block}{問題: (2024/4/13のトポス)}
    トーラス上に\textbf{$7$}次完全グラフを交差なしで描けるか？
\end{block}
\begin{figure}
        \centering
        \includegraphics[width=0.75\linewidth]{Graph.jpeg}
    \end{figure}
実は$7 \equiv 1 \mod 3$を利用して描ける！
\end{frame}

\begin{frame}{再会！: 曲面上の完全グラフ}
$\Z[\omega]$を$\mod (2-\omega )$で考えると，アイゼンシュタイン整数は$1,2,3,4,5,6,7$のどれか一つと合同になる！ 

{\color{blue}数学科用: $\Z[\omega]/(2-\omega)\cong \mathbb{F}_{7}$}
\vspace{20pt}

例: $5+ 18\omega \equiv 5 + 18\times 2 = 41 \equiv 6 \mod (2-\omega)$
\vspace{20pt}

\pause 
背後には，$(2-\omega)\mid 7$や$7\equiv 1 \mod 3$がある．
\end{frame}

\begin{frame}{再会！: 曲面上の完全グラフ}
\vspace{-10pt}
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{EisenSevenColoring.jpeg}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{再会！: 曲面上の完全グラフ}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.4\textwidth}
        答え:
        {
        \color{blue}
        数学科用: $\mathbb{F}_{7}\cong \Z[\omega]/(2-\omega) \hookrightarrow \C/(2-\omega)_{\Z[\omega]} \cong T^2$
        }
    \end{column}
    \begin{column}{0.7 \textwidth}
        \vspace{-10pt}
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=1\linewidth]{GraphEmbedding2.jpeg}
\end{figure}
    \end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{空間の彩色数: Hadwiger–Nelson problem}
\begin{block}{未解決問題}
    平面($\R^2$)を，距離がちょうど$1$の$2$点が異なる色で塗られるように彩色するには，何色必要か？
\end{block}
\pause 

人類の進捗: $5,6,7$のどれか
\end{frame}

\begin{frame}{空間の彩色数: 7色の構成}
% \vspace{-20pt}
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{ColoringOfPlane.jpeg}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{空間の彩色数: 7色の構成}
% \vspace{-20pt}
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{ColoringOfPlane.jpeg}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{カーボンナノチューブ}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.4\textwidth}
        同じ円周長のカーボンナノチューブは(回転や反転の対称性を除いて)何通りあるだろうか？
    \end{column}
    \begin{column}{0.6\textwidth}
        \begin{figure}
        \centering
        \includegraphics[width=0.7\linewidth]{carbon_nanotube.png}
        \end{figure}
    \end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{カーボンナノチューブ}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.6\textwidth}
    カーボンナノチューブの巻き方は，アイゼンシュタイン整数で与えられる(\textbf{カイラリティ})！
    \end{column}
    \begin{column}{0.4\textwidth}
        \begin{figure}
            \centering
            \includegraphics[width=0.7\linewidth]{CarbonNano19.jpeg}
        \end{figure}
    \end{column}
\end{columns}
\pause
同じ絶対値のアイゼンシュタイン整数はどのくらいあるか？
$\abs{n+m\omega}= \sqrt{n^2 -nm+m^2}$
\end{frame}

\begin{frame}{カーボンナノチューブ}
\begin{itemize}
    \item アイゼンシュタイン整数の絶対値は$\sqrt{n}$の形．
    \item 絶対値$\sqrt{n}$のアイゼンシュタイン整数は，$n$が素因数分解でバラバラになるほど多い！
\end{itemize}
\pause
例: 絶対値$\sqrt{p}$は，
\begin{itemize}
    \item $p\equiv 1 \mod 3$なら$2\times 6$個．
    \item $p\equiv 2 \mod 3$なら$0$個．
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{ねじれた正四面体}
\begin{columns}
    \begin{column}{0.3\textwidth}
    正四面体の展開図をナナメに配置して組み立てる！
    \end{column}
    \begin{column}{0.7\textwidth}
    \begin{figure}
        \centering
        \includegraphics[width=1\linewidth]{TwistedShimentai.jpeg}
    \end{figure}
    \end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{疑問}
\begin{itemize}
    \item カーボンナノチューブがいつ半導体になるのか，カイラリティと$\mod 3$でわかるらしい？関係するんだろうか
    \item 彩色問題の高次元版にも同様に"整数論的構成"があるか？
    \item ねじれ正四面体の亜種を整数論的に構成できるか？
    
\end{itemize}
\end{frame}


% \input{WholePicture}
\end{document}


\begin{frame}{}

\end{frame}