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\begin{document}
\title{おもちゃがいっぱいKan拡張入門}
\author{hora-algebra}
\date{\today}
\maketitle
\begin{abstract}
圏,関手,自然変換の定義は知っているがKan拡張は名前しか知らない人のためのKan拡張入門文章である．
%モチベーションの説明や初等的かつおもちゃのような例を重視しているため，
Kan拡張を勉強したことはあるが親しめていないという読者も想定している.

1,2章は最低限の圏の知識のみを要求する．1章では拡張問題を考える枠組みとして圏論が適していることを説明する．2章では定義を述べ，幅広い読者を想定した初等的な例(高校数学から大学初年度程度)を扱う．

3,4章は極限と余極限を知っている一部の読者を想定している.
3章では計算方法をその気持ちとともに説明し，数学科で習うような比較的高度な例を扱う．4章では現代数学における活用法の一部を紹介する．
\end{abstract}

\tableofcontents
\section{圏論は拡張問題の枠組みを与える}
部分的に定義された写像を拡張したいことはよくある．例えば高校数学では，有理数上で定義された指数関数$2^q:\Q\to \R$を実数上の関数$2^r:\R\to \R$に拡張することを考えた．図式で書けば次の点線を作ることに対応する．ここで$\iota$は単に埋め込み写像である．
\[
\begin{tikzcd}
\Q \ar[rr,"2^q"] \ar[rd,"\iota"']& & \R \\
&\R \ar[ru, dotted]& 
\end{tikzcd}
\]
普通の拡張は実数$r$について，$r$に収束する有理数列$q_1, q_2, \dots \to r$を取り$2^r\defeq \lim_{n\to \infty} q_n$と定める．この普通の拡張は，可能なただ一つの拡張ではないことに注意したい．実際，
\[
\begin{tikzcd}
\Q \ar[rr,"2^q"] \ar[rd,"\iota"']& & \R \\
&\R \ar[ru, dotted, "f"']& 
\end{tikzcd}
\]
を可換にする写像$f$は無理数での値を好きに変更しても再び条件を満たすので，そのような$f$は無数に存在する．普通の拡張$2^r$が自然な拡張であることを主張したければ，$\Q,\R$を単に集合とみなすだけでは不十分である．残念ながら，\emph{写像の自然な拡張は存在しない}\footnote{数学的な主張はKan拡張の定義の後に行う}．

一つの解決策は，$\Q,\R$を順序も含めて考えることである．$f$として順序を保つもの(広義単調増加なもの)のみを許せば，普通の拡張$2^r$は唯一の拡張になる．

このように，自然な拡張を得ようという目的においては，単に集合を考えるのでは不十分である．集合の元の間にある関係性(今回は大小関係)まで考慮すれば，自然な拡張が得られるかもしれない．

自然な拡張を探す問題の枠組みは，関係性も含めた集まりと関係性を保つ写像の理論，すなわち圏と関手の理論がふさわしそうだ．\emph{関手の自然な拡張は存在するかもしれない!}

\section{Kan拡張の定義とおもちゃ}
この章ではまずKan拡張の定義を述べる．次に順序集合の範囲では定義がより単純に理解できることを説明する．それ以降この章が終わるまでは，順序集合の範囲のみからおもちゃのような例を挙げていく．簡単で直感的な例を通して定義を解きほぐし，Kan拡張のアイデアや性質に慣れ親しんでもらいたい．

\begin{definition}[左Kan拡張]\label{定義}
関手$K:\ca{C}\to \ca{E}$に沿った関手$F:\ca{C}\to \ca{E}$の左Kan拡張とは関手$\rm{Lan}_{K} F:\ca{D}\to \ca{E}$と自然変換$\eta:F \to \rm{Lan}_{K} F \circ K$の組$(\rm{Lan}_{K} F, \eta)$
\[
\begin{tikzcd}
\ca{C} \ar[rr,"F",""{name=U, below}] \ar[rd,"K"']&&\ca{E}\\
&\ca{D} \ar[ur,"\Lan_{K} F"'] \ar[Leftarrow, to=U, "\eta"]&
\end{tikzcd}
\]
であって，任意の関手$G:\ca{D}\to \ca{E}$と自然変換$\alpha:F \to G \circ K$の組$(G, \alpha)$
\[
\begin{tikzcd}
\ca{C} \ar[rr,"F",""{name=U, below}] \ar[rd,"K"']&&\ca{E}\\
&\ca{D} \ar[ur,"G"'] \ar[Leftarrow, to=U, "\alpha"]&
\end{tikzcd}
\]
について$\alpha = \beta_{K} \circ \eta$
\[
\begin{tikzcd}[row sep=5pt]
\ca{C} \ar[rr,"F",""{name=U, below}] \ar[rdd,"K"']&&\ca{E} && \ca{C} \ar[rr,"F",""{name=V, below}] \ar[rdd,"K"']&&\ca{E}\\
&&&=&&&\\
&\ca{D} \ar[uur,"G"'] \ar[Leftarrow, to=U, "\alpha"]& && &\ca{D} \ar[uur,
%"\Lan_{K} F" description,
bend left,""{name=a,below}] \ar[uur,""{name=b, below},bend right, "G"'] \ar[Leftarrow, to=V, "\eta"]&
\ar[Rightarrow, from=a, to=b, "\hspace{-10pt}\ ^{\exists !}\beta"]
\end{tikzcd}
\]
なる$\beta:\rm{Lan}_{K} F\to G$が一意的に存在するものをいう．
\end{definition}

普遍性による定義ではいつもそうであるように，Kan拡張も標準的な同型を除いて一意的である．また，圏論的双対概念として右Kan拡張がある．
\begin{exercise}[一意性と双対]\
\begin{enumerate}
    \item Kan拡張の標準的な同型を除いた一意的を示せ．
    \item 右Kan拡張を圏論的双対として定義せよ．自然変換の向きが逆転するだけである．
\end{enumerate}
\end{exercise}
この定義の一つの解釈を与えるため，$\ca{C},\ca{D},\ca{E}$が全て順序集合である場合には何を意味するか考えよう．順序集合を圏とみなす方法に慣れていない人は次の演習を解くといい．

\begin{exercise}[順序集合は圏]\ 
\begin{enumerate}
    \item 順序集合は，その元を対象として不等号を射として圏をなすことを示せ．この時対象の順序付きペアの間には，射は高々1つしかなく\emph{順序集合においては全ての図式は可換図式になる}ことを確認せよ．
    \item 順序集合$P,Q$間の関手とは単に順序保存写像(広義単調増加写像)$P\to Q$であることを示せ．
    \item 順序集合$P,Q$間の関手$f,g:P\to Q$間の自然変換とは単に値ごとの不等号($f\Rightarrow g$は$\forall p\in P,\  f(p)\leq g(p)$)であることを示せ．従って関手圏$Q^P$は単に値ごとの大小に関する順序集合を圏とみなしたものである．
\end{enumerate}
\end{exercise}

Definition \ref{定義}において$\ca{C},\ca{D},\ca{E}$が全て順序集合を圏とみなしたものであったとしよう．この時$F,K$は単に順序保存写像である．左Kan拡張とは，$F\leq GK$
\[
\begin{tikzcd}
\ca{C} \ar[rr,"F",""{name=U, below}] \ar[rd,"K"']&&\ca{E}\\
&\ca{D} \ar[ur,"G"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]&
\end{tikzcd}
\]
なる順序保存写像$G:\ca{D}\to \ca{E}$のうち最小のものである．従って少なくとも順序集合の文脈においては\emph{Kan拡張は拡張の最適近似である}．$\eta$が等号($\id{F}$)の時は$G$は本当の拡張になる．しかしKan拡張は一般には本当の拡張にはならない\footnote{本当の拡張になるための便利な十分条件が知られている．\con{Corollary 6.3.9.}}．この意味で\emph{$\eta$は不可避な誤差を表している}とも捉えられる．良く言えば，Kan拡張は本当の拡張が存在しない時でも拡張の最適近似を探してくれる理論なのである．

2章の残りでは，$\ca{C},\ca{D},\ca{E}$が全て順序集合である場合に限って例を紹介していく．分からない例は飛ばして問題ない．Kan拡張であることの確認はできればして欲しいが，難しければ今神経質になりすぎる必要はない．3章で与えられるKan拡張の計算公式で全て容易にチェックできる．

\begin{example}[指数関数]
1章で導入に使った指数関数の例が本当にKan拡張であることを確認しよう．$\ca{C}$は有理数のなす順序集合$\Q$であり，$\ca{D},\ca{E}$は$\R$である．$F=2^q:\Q \to \R$を$K = \iota : \Q \to \R$(単なる埋め込み)に沿って拡張する．

順序保存写像$f:\R\to \R$であって，
\[
\begin{tikzcd}
\Q \ar[rr,"2^q",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \R \\
&\R \ar[ru, "f"',dotted] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
(つまり$\forall q\in \Q,\ 2^q\leq f(q)$)なるものの中で最小のものが左Kan拡張である．これは普段の$2^r:\R\to \R$である．
\[
\begin{tikzcd}
\Q \ar[rr,"2^q",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \R \\
&\R \ar[ru, "2^r=\Lan_{\iota}2^q"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
1章では単に写像として拡張しようとすると自然な拡張は得られないことを説明した．集合と写像といった等式$=$の言葉でなく，順序集合と順序保存写像という不等号$\leq$(さらには一般の圏における射)の言葉で拡張を議論した結果うまくいったのである!
\end{example}

\begin{example}[床関数(実数の整数近似)]\label{floor}
今度は，$\id{\Z}:\Z\to \Z$を埋め込み$\iota: \Z\to \R$に沿って拡張しよう．つまり，実数から整数を得る自然な方法は何か？を考える．実数の自然な整数近似は何か?と言っても良い．
\[
\begin{tikzcd}
\Z \ar[rr,"\id{\Z}",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \Z \\
&\R \ar[ru, "f"',dotted] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
なる最小の$f$は床関数$\floor{\ }$である．双対的に右Kan拡張は天井関数$\ceil{\ }$である.このように，\emph{左右のKan拡張は必ずしも一致しない}．
\end{example}

少し前提知識が必要なものも一部の読者に向けて挙げておく．
\begin{example}[内部:位相空間論前提]\label{内部}
位相空間Xについて，$X$の冪集合$P(X)$と$X$の開集合全体の集合$\ca{O}(X)$を考える.$P(X),\ca{O}(X)$は共に包含関係で順序集合とみなす．この時，埋め込み$\iota$に沿った$\id{\ca{O}(X)}$の左Kan拡張は何か？つまり，部分集合の開集合による最適近似は何か？を考える．
\[
\begin{tikzcd}
\ca{O}(X) \ar[rr,"\id{\ca{O}(X)}",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \ca{O}(X) \\
&P(X) \ar[ru, "\Int"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
期待通り，内部(開核)$\Int: P(X)\to \ca{O}(X)$が求めるKan拡張である．
\end{example}

双対は演習にしておく．\cite{toy}ではより一般的な議論がなされている．
\begin{exercise}[閉包と部分代数:位相空間論など前提]
集合$X$とその冪集合$P(X)$と$P(X)$の部分順序集合$\ca{B}$を考える．この時，埋め込み$\iota:\ca{B}\to P(X)$に沿った$\id{\ca{B}}$の右Kan拡張を考えたい\footnote{一般には存在するとは限らない}．
\[
\begin{tikzcd}
\ca{B} \ar[rr,"\id{\ca{B}}",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \ca{B} \\
&P(X) \ar[ru, "f"', dotted] \ar["\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
\begin{enumerate}
    \item $X$が位相空間で$\ca{B}$が$X$の閉集合全体なら，閉包作用素が右Kan拡張を定めることを示せ
    \item $X$が線型空間(群,モノイド,束,環など他の代数構造でも良い)で$\ca{B}$が部分線型空間(対応して他の部分代数でも良い)全体の集合なら，部分代数の生成が右Kan拡張を定めることを示せ
    \item $X$が$\R^2$で$\ca{B}$が凸部分集合全体の集合なら，凸包を取る操作が右Kan拡張を定めることを示せ
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{example}[測度空間上の積分:測度論前提]
測度空間上の積分を定義する際，非負値単関数の積分から非負値可測関数の積分への拡張は本質的なステップの一つであった．この拡張問題も左Kan拡張の例である．測度空間$X$について，非負値可測関数と関数の大小関係のなす順序集合$\rm{Meas}_X$
\[
\begin{tikzcd}
\Z \ar[rr,"\id{\Z}",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \Z \\
&\R \ar[ru, "f"',dotted] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
\end{example}




Kan拡張は存在するとは限らない．Kan拡張が存在しない例もいくつか挙げておく．

\begin{example}[写像の自然な拡張は存在しない]
1章で「写像の自然な拡張は存在しない」と主張した.
このことは次のように定式化できる．集合$X$とその部分集合$S$を考える．$S$から集合$Y$への写像$g:S\to Y$を$X$上に拡張したい.
集合を恒等射のみをもつ圏だとみなす．自明な順序が入った順序集合を圏とみなしたものといっても同じことである．埋め込み$\iota:S\to X$に沿った$f$の(左)Kan拡張
\[
\begin{tikzcd}
S \ar[rr,"g",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & Y \\
&X \ar[ru, "?"', dotted] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
は自明な場合($S=X$か$Y$が一点の場合)を除いて存在しない．
\end{example}
\begin{example}[実数の自然な有理数近似は存在しない]
Example \ref{floor}を真似して，$\id{\Q}:\Q\to \Q$の埋め込み$\iota: \Q\to \R$に沿ったKan拡張を考えてみる．つまり，実数の自然な有理数近似は何か?を考えることになる．
\[
\begin{tikzcd}
\Q \ar[rr,"\id{\Q}",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \Q \\
&\R \ar[ru, "?"',dotted] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
そんなものは存在しない．
\end{example}

\begin{exercise}[開集合についての右Kan拡張:位相空間論前提]\
\begin{enumerate}
    \item 一般には，位相空間$X$とその部分集合$S\subset X$について，$S$を含む最小の開集合は存在しないことを示せ．(ヒント:例えば$X=\R$と$S=\{0\}$を考えるとよい．)
    \item Example \ref{内部}の状況(位相空間と内部の左Kan拡張)において，右Kan拡張は一般には存在しないことを示せ．
    \item 気が向いたら，$X$がAlexandrov topologyであることが右Kan拡張が存在する必要十分条件であることを示せ\footnote{\cite{toy}で一般的な議論がなされている}．
\end{enumerate}
\end{exercise}
ここまで挙げたKan拡張は全て本当の拡張になっていた．言い換えれば，不可避な誤差を表す$\eta$は恒等自然変換であった．
ここからはKan拡張が本当の拡張ではない場合を見ていく．
\begin{example}[逆像]
写像$g:X\to Y$について，順像をとる順序保存写像$f(-):P(X)\to P(Y)$を考える．再び，考える順序は包含関係によるものである．
\[
\begin{tikzcd}
P(X) \ar[rr,"\id{P(X)}",""{name=U, below}] \ar[rd,"f(-)"']& & P(X) \\
&P(Y) \ar[ru, "f^{-1}"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
$f^{-1}$は$\id{P(X)}$の$f(-)$に沿った左Kan拡張である．不可避な誤差$\eta$は$S\subset X$ごとに$S\subset f^{-1}(f(S))$なる包含関係である．言い換えれば，$f$での送り先が等しいような$X$の元たちは区別できなくなると言っている．
この左Kan拡張が本当の拡張になるのは$f$が単射なときである．
\end{example}

\begin{example}[量化子]\label{量化子}
圏$\Omega$は$\true, \false$という二つの対象を持ち，恒等射の他に$\false \to \true$という射のみをもつ圏とする．真偽値と論理的包含関係$\Rightarrow$(「ならば」)に関する順序集合といっても同じことである．
\[
\begin{tikzcd}
\true \arrow[loop left]\\
\false \arrow[loop left] \ar[u, ]
\end{tikzcd}
\]
集合$X$を恒等射しか射をもたない圏とみなしたとき，関手$X\to \Omega$は単に写像$X\to \Omega$のことであり，すなわち$X$の各元に$\true$か$\false$を対応させるものである．ここでは写像$X\to \Omega$のことを$X$上の命題と呼ぶことにする．集合$X,Y$について，$X\times Y$上の命題は$2$変数の命題と捉えることができる．では，命題の変数の個数を減らす自然な方法は存在するだろうか．つまり$X\times Y$上の命題$\phi:X\times Y \to \Omega$が与えられたとき，第一成分射影$\pi_1:X\times Y \to X$に沿ったKan拡張は存在するだろうか．
\[
\begin{tikzcd}
X\times Y \ar[rr,"\phi",""{name=U, below}] \ar[rd,"\pi_1"']& & \Omega \\
&X \ar[ru, "?"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
\end{tikzcd}
\]
実は，$x\mapsto \exists y \in Y,\ \phi(x,y)$が左Kan拡張を与える．不可避な誤差$\eta$は$(x_0,y_0)\in X\times Y$ごとの$\phi(x_0,y_0)\Rightarrow \exists y \in Y,\ \phi(x_0,y)$である．ここでの$\Rightarrow$は論理的包含関係(「ならば」)である．この左Kan拡張が本当の拡張になるのは$2$変数命題$\phi$の真偽が第$2$変数に依存せず第$1$変数のみによって定まるときである．双対的に，$x\mapsto \forall y \in Y,\ \phi(x,y)$が右Kan拡張を与える.
この例の詳しい話は\cite{awodey}の9.5節や\cite{SGL}の1.9節などを見るとよい．
\end{example}

\begin{exercise}[存在量化子と順像]
集合$X$の部分集合$S\subset X$は$X$上の命題$\chi_S:X\to \Omega$を$\chi_S (x)=\true \iff x\in S$と対応する．
%で定める．$\chi_S$を$S$の特性関数という．
Example \ref{量化子}における写像$\pi_1:X\times Y \to X$を一般の写像$g:X\to Y$に置き換えたものを考える．
\begin{enumerate}
    \item 左Kan拡張は対応する部分集合の言葉で書けば順像になっていることを確認せよ．
    \[
    \begin{tikzcd}
    X \ar[rr,"\chi_S",""{name=U, below}] \ar[rd,"g"']& & \Omega \\
    &Y \ar[ru, "\chi_{g(S)}"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]& 
    \end{tikzcd}
    \]
    \item 右Kan拡張に対応する部分集合\footnote{nLab \url{https://ncatlab.org/nlab/show/internal+logic}では dual image と呼ばれているもの}を書き下せ．
    \[
    \begin{tikzcd}
    X \ar[rr,"\chi_S",""{name=U, below}] \ar[rd,"g"']& & \Omega \\
    &Y \ar[ru, "\chi_{g_{!}(S)}"'] \ar["\rotatebox{90}{$\leq$}",phantom, to=U]& 
    \end{tikzcd}
    \]
\end{enumerate}
\end{exercise}

関手$F:\ca{C}\to \ca{E}$のKan拡張を考える際はどんな関手$K:\ca{C}\to \ca{D}$に沿って拡張するかをこちらで指定する．特にKan拡張$\Lan_{K}F:\ca{D}\to \ca{E}$の定義域$\ca{D}$はこちらで指定する．従って「可能な限り広い定義域へ拡張したい」という類の拡張問題とは相性が悪そうに思える．しかし，\emph{左右のKan拡張
%が一般には一致しない現象
両方を利用することで可能な限り広い定義域を得る}ことも考えられる．具体的に言えば，左右のKan拡張が一致する範囲に制限したものを最大拡大と考えるのである\footnote{極限を知っている人に向けて圏論の言葉で言えば，測度$\mu$の完備化は$\Lan_{\iota}\mu$と$\Ran_{\iota}\mu$の，圏の圏$\Cat$における(一般性は失われるが，順序集合の圏$\Poset$や集合の圏$\Set$でもいい)equalizerであると言える．}．自然な拡張概念は双対的な2つのKan拡張だが，どうしても1つの拡張が欲しいという場合はその共通部分をとる，というアイデアともいえる．典型例である測度空間の完備化について述べる前に，測度空間論を知らない読者のために単純な計算問題を出しておく．

\begin{exercise}[実数値関数の最大拡張]
実数$r\in \R$について，順序保存写像$s_r:\Q\to \R$を
\[
s_{r}(q)\coloneqq 
\begin{cases}
1 & (q \geq r)\\
0 & (q<r)
\end{cases}
\]
と定める．埋め込み$\iota:\Q\to \R$に沿った$s_r$の左右のKan拡張$\Lan_{\iota}s_r,\Ran_{\iota}s_r$を考える．
 \[
 \begin{tikzcd}
\Q \ar[rr,"s_r",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \R \\
 &\R \ar[ru, "\Lan_{\iota}s_r",bend left=10]\ar[ru, "\Ran_{\iota}s_r"',bend right=10] & 
 \end{tikzcd}
 \]
 $\Lan_{\iota}s_r$と$\Ran_{\iota}s_r$が一致する範囲
 \[A_r\coloneqq\{x\in \R \mid (\Lan_{\iota}s_r)(x)=(\Ran_{\iota}s_r)(x)\}\]
 を考える．
 \begin{enumerate}
     \item rが有理数のとき，$A_r=\R$なこと，つまり左右のKan拡張は一致することを示せ．
     \item rが無理数のとき，$A_r=\R\setminus \{r\}$なことを示し，左右のKan拡張の$A_r$への制限を書き下せ．
 \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{example}[測度空間の完備化:測度論前提]\label{測度}
測度空間$(X,\ca{B},\mu)$について，$\mu:\ca{B}\to \Rc$は順序保存写像である．$\mu$を$X$の冪集合$P(X)$のうち可能な限り広い部分へ拡張したい．そこで，まず埋め込み$\iota: \ca{B}\to P(X)$に沿った$\mu$の左右のKan拡張を考える．
 \[
 \begin{tikzcd}
 \ca{B} \ar[rr,"\mu",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \Rc \\
 &P(X) \ar[ru, "\Lan_{\iota}\mu",bend left=10]\ar[ru, "\Ran_{\iota}\mu"',bend right=10] & 
 \end{tikzcd}
 \]
 そして，$\Lan_{\iota}\mu$と$\Ran_{\iota}\mu$が一致する部分$\bar{\ca{B}}\subset P(X)$に$\Lan_{\iota}\mu$と$\Ran_{\iota}\mu$を制限したものを$\bar{\mu}:\bar{\ca{B}}\to \Rc$とする．
  \[
 \begin{tikzcd}
 \ca{B} \ar[rr,"\mu"] \ar[rd,"\iota"']& & \Rc \\
 &P(X)\ar[phantom, ""{name=U, below}]  \ar[ru, "\Lan_{\iota}\mu",bend left=10]\ar[ru,"\Ran_{\iota}\mu"' description, bend right=10] 
 & \\
 \bar{\ca{B}} \ar[ru,tail] \ar["\bar{\mu}"', rruu,bend right=40, ""{name=V, below}]
 &&
 \ar["\rotatebox{130}{$\coloneqq$}", from=U ,to=V, phantom]
 \end{tikzcd}
 \]
 このとき，$(X,\bar{\ca{B}},\bar{\mu})$は測度空間$(X,\ca{B},\mu)$の完備化になっている．
 %つまり測度の「最大拡大」は測度の完備化に等しい．
\end{example}

この測度空間の例を確認する演習は，計算公式を獲得した3章以降に回す．ここでは定義の形だけから簡単に確認できることだけ演習にしておく．
\begin{exercise}[測度の最大拡大は完備:測度論前提]
Example \ref{測度}で定義された$(X,\bar{\ca{B}},\bar{\mu})$を考える．
%$S'\subset S\subset X$が
$\bar{\mu}(N)=0$なる$N\in \bar{\ca{B}}$について，$N$の任意の部分集合$S\subset N$は$S\in \bar{\ca{B}}$かつ$\bar{\mu}(S)=0$を満たすことを示せ．
\end{exercise}



1,2章では順序集合という限られた圏のクラスのみから例を出した．それでもKan拡張が拡張問題の自然な一般論であり，様々な分野にKan拡張が現れるだろうと想像できていてくれたら嬉しい．前半最後に半分冗談半分本気で次の演習を出しておく．
\begin{exercise}
あなたが最近勉強した数学の中から順序集合のKan拡張を探し，面白いものを見つけ次第私に教えてください．
\end{exercise}
圏の最低限の知識で読めるのはここまでである．次の節からは圏論における極限の概念を必要とする．ここで読むのをやめる人に向けて，ここまでの話とここからの話の関係を要約しておく．

3章では，2章で挙げたKan拡張は全て本質的に同じ方法で構成されていることを観察し，圏論的文脈に一般化する．一般化の際に圏論における極限の概念が必要になる．一般化されたKan拡張計算公式が様々な数学的構成の統一原理であることを観察する．

4章ではKan拡張の理論が現代数学でどう活用されているか一部紹介する．その際に2章までに紹介したKan拡張も例に用いる．


\section{Kan拡張の計算公式}
1,2章で出したKan拡張の例は全て本質的に同じ方法で構成できる．このことを観察するため，指数関数の例
\[
\begin{tikzcd}
\Q \ar[rr,"2^q",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']& & \R \\
&\R \ar[ru, "2^r=\Lan_{\iota}2^q"'] & 
\end{tikzcd}
\]
に立ち返ろう．$2^r$という自然な拡張(左右のKan拡張)は1章でも復習したように$r$へ収束する有理数列$q_1,q_2,\dots \to r$を一つ取り，$2^{q_1},2^{q_2},\dots$の収束先として定義した．$r=\pi$のときで書くと
\[
\begin{tikzcd}[row sep=3pt, column sep =3pt]
    3,\  3.1,\  3.14, \ 3.141, \ \dots &\to& \pi \\
   &\rotatebox{-90}{$\rightsquigarrow$} &\\
    2^{3},\  2^{3.1},\  2^{3.14}, \ 2^{3.141}, \ \dots &\to& 2^\pi
\end{tikzcd}
\]
などである．この定義では数列の極限の概念が使われているが，圏論の話にするため順序集合の言葉で次のように書き換えよう．

\[2^\pi \coloneqq \sup_{q\leq \pi} 2^q\]
ここで$q$は$\pi$以下の有理数全てを渡る．$\pi$へ収束する有理数列を一つ選択するのではなく，$\pi$以下の有理数を全て考えるのである．

この構成方法は順序集合に一般化できる．一般の圏の前に順序集合に限られた計算公式を記述しておく．

\begin{proposition}[順序集合におけるKan拡張の計算公式]\label{順序集合におけるKan拡張の計算公式}
順序集合$\ca{C},\ca{D},\ca{E}$と順序保存写像$F:\ca{C}\to \ca{E}$と$K:\ca{C}\to \ca{D}$を考える.
\[
\begin{tikzcd}
\ca{C} \ar[rr,"F",""{name=U, below}] \ar[rd,"K"']&&\ca{E}\\
&\ca{D} 
%\ar[ur,"G"'] 
%\ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]
&
\end{tikzcd}
\]
任意の$d\in \ca{D}$について$\displaystyle \sup_{Kc \leq d} Fc  \ (\in\ca{E})$が存在するとき,
\[d\mapsto \sup_{Kc \leq d} Fc\]
は$F$の$K$に沿った左Kan拡張を与える．
\[
\begin{tikzcd}
\ca{C} \ar[rr,"F",""{name=U, below}] \ar[rd,"K"']&&\ca{E}\\
&\ca{D} \ar[ur," \displaystyle d\mapsto \sup_{Kc \leq d} Fc"'] \ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]&
\end{tikzcd}
\]
\end{proposition}
\begin{proof}\ 

$d\mapsto \sup_{Kc \leq d} Fc$を$L:\ca{D}\to \ca{E}$と書くことにする．

まず，$F\leq LK$を示す．任意に$c\in \ca{C}$をとる．自明な不等式$Kc\leq Kc$より，$Fc\leq \sup_{Kc' \leq Kc} Fc' =Lc$となる．

次に，$F\leq GK$なる任意の順序保存写像$G:\ca{D}\to \ca{E}$について$L\leq G$なることを示す．任意に$d\in \ca{D}$をとる．$Kc\leq d$なる任意の$c\in \ca{C}$について，仮定より$Fc\leq GKc$となり，$G$は順序を保つので$GKc\leq Gd$となり，合わせて$Fc\leq Gd$となる．あとは$\sup$の定義を考えればよい．
\end{proof}

\begin{exercise}
双対的に，必要な$\inf$が存在すれば右Kan拡張は$\inf$で計算できることを示せ
\end{exercise}

この計算公式では，「自分以下の元たちの上限($\sup$)をとる」という本来であれば自身の再構築になる操作を，順序集合を移りながらで行うことによって自然な拡張を得ているのである．

% $d\in \ca{D}$の送り先を作るために，一旦$K:\ca{C}\to \ca{D}$を介して$\ca{C}$の元$c$との大小関係$Kc\leq d$を調べている．その上で調べた大小関係を$F:\ca{C}\to \ca{E}$を通して$\ca{E}$の中で再現$\sup_{Kc \leq d} Fc$している．
関係性を通して数学的対象を捉える分野としての圏論の側面を意識し，後の一般化に備えてもう少し抽象的な言葉で言い換えたい．ここでは，Kan拡張の計算公式は$\ca{D}$の元を$\ca{C}$の元たちとの関係性を用いて間接的に捉え，その関係性を$\ca{E}$のなかで再現していると表現しておく．
\emph{関係性の再現}というアイデアは，Kan拡張の計算公式の直感的な解釈の一つである

次の演習を用いて，たった一つの計算公式がいかに多様な概念を構成してくれるかを感じ取って欲しい．
\begin{exercise}[2章の例]
2章におけるKan拡張は全てこの公式で計算できる．このことを可能な限り多くの例で確認せよ．
\end{exercise}
後に順序集合への制限を外せば，計算公式の適用範囲はさらに(比べ物にならないほど!)広がる．

% \begin{exercise}[本当の拡張を与える十分条件]
% Proposition \ref{順序集合におけるKan拡張の計算公式}の方法で計算できるKan拡張については，$K:\ca{C}\to \ca{D}$が部分順序集合の埋め込み\footnote{単に単射ではダメで，ええええじゃないね今は}であるとき
% \end{exercise}

\begin{remark}[計算公式で計算できないKan拡張]
全ての左Kan拡張が計算公式で計算できるわけではない．順序集合の範囲でも各点でないKan拡張はあるので探してみるといい．計算公式で計算できるKan拡張を各点(pointwise)Kan拡張という．詳しくは\con{6.3.節}

しかし，あまり悲観的になる必要もない．2章で出した例が全て計算公式の適用範囲内であったことからも示唆されるように，\emph{重要なKan拡張は計算公式で計算できる}という経験則が知られている．\cite{context}の6.3.節では
\begin{quote}
By the categorical community's consensus, the important Kan extensions are pointwise Kan extensions. 
\end{quote}
と書かれている．この経験則の真偽は今後読者一人一人が確かめてほしい．
% \cite{Benri}に至っては(この文章における)Kan拡張のことをweak Kan extensionと呼び，計算公式の適用範囲内のもののみをKan extensionと呼んだ上で
% \begin{quote}
% Our present choice of nomenclature is based on our failure to find a single instance where a weak Kan extension plays any mathematical role whatsoever.
% \end{quote}
% とまで言っている．
\end{remark}

\begin{remark}[Kan拡張の存在定理]
Proposition \ref{順序集合におけるKan拡張の計算公式}の状況において，順序集合$\ca{E}$が$\sup$を持てば持つほど左Kan拡張は存在しやすい．
任意の部分集合が$\sup$を持つような順序集合のことを完備束といい，\emph{$\ca{E}$が完備束なら左Kan拡張は存在する}し計算公式で計算できることも保証される．2章の例で言えば$\Omega,P(X),\ca{O}(X),\Rc $ や演習における各種閉集合族(位相空間の閉集合や部分代数や凸集合など)などが完備束である．$\R$は空集合\footnote{空集合の$\sup$は最小元だと捉えている}と上に非有界な部分集合についてのみ$\sup$を持たない．$\Q$や集合を圏とみなしたものは，$\sup$を持たない部分集合が大量にあるのでKan拡張も存在しにくかったのである．
\end{remark}

ここからは$\ca{C},\ca{D},\ca{E}$が全て順序集合であるという制約を外して，圏論的な一般化に取り組んでいく．表記についての注意だが，これまで順序集合にしてきたように「$c$は$\ca{C}$の対象である」のことを$c\in \ca{C}$と書く．

まず，順序集合のケースにおいて，$\sup$を取るさいの変数の動く範囲であった集合$\{c\in \ca{C}\mid Kc\leq d\}$を一般化しよう．不等号$Kc\leq d$は圏の言葉で言えば射$Kc\to d$なのだから，$K$の像から$d$への射全体の為す圏を考えてみる．
\emph{関係性の再現}という視点からは，$d$の($K$を介した)$\ca{C}$との関係性を集めてできた圏といえる．一般的な用語ではないが，この文章では関係性の圏と仮に名前をつけておく\footnote{関係性の圏と呼びたくなるような圏は圏論にたくさん現れるので仮でしかない．}．


%圏$\ca{C}$の対象全体の集合\footnote{記号の濫用ではあるが，本当は集合の大きさにならない時でも集合であるかのような表記をしてしまうことにする．}を$\ob{\ca{C}}$と書く．
\begin{definition}[関係性の圏]
圏$\ca{C},\ca{D}$と関手$K:\ca{C}\to \ca{D}$と$d\in \ca{D}$について，圏$\com{K}{d}$を次のように定義する\footnote{本来，$\downarrow$という記法はより一般的なコンマ圏と呼ばれる圏論的概念に対するものである．}．
\begin{description}
    \item[対象] $\com{K}{d}$の対象は，$c\in \ca{C}$と$\ca{D}$における射$f:Kc\to d$の組$(c,f:Kc\to d)$である．
    \item [射] $\com{K}{d}$の対象$(c,f)$から$(c',f')$への射は$\ca{C}$における射$h:c\to c'$であって$f'\circ Kh = f$
    \[
    \begin{tikzcd}[row sep = 2pt, column sep = 40pt]
    Kc\ar[dd,"Kh"'] \ar[rd, "f"]&\\
    &d\\
    Kc'\ar[ru, "f'"']&
    \end{tikzcd}
    \]
    なるものである．
\end{description}
\end{definition}

順序集合における余極限は$\sup$であったことを思い出せば，圏論的な一般化も余極限を用いて記述されるだろうと想像できる．では，どんな関手の余極限を考えればよいのか．これまでの考察より，$\com{K}{d}$から$\ca{E}$への関手を考えることは容易に想像がつくが，$\com{K}{d}$からのびる関手を持っていないとどうしようもない．$\com{K}{d}$からは$\ca{C}$へ忘却関手が伸びることも観察しておく．

\begin{definition}[忘却関手$U_d$]
圏$\ca{C},\ca{D}$と関手$K:\ca{C}\to \ca{D}$と$d\in \ca{D}$について，忘却関手$U_d :\com{K}{d}\to \ca{C}$を対象については$U_d ((c,f)) \coloneqq c$で，射については$U_d (h) \coloneqq h$で定める．
\end{definition}

これで計算公式を述べる準備が整った．あとは関係性の再現というアイデアのまま$d$から，関係性$\com{K}{d}$を取り出し，$\ca{C}$の中で捉えられる情報以外忘却$U_d :\com{K}{d}\to \ca{C}$し，圏$\ca{E}$へ送り$\ca{C}\to \ca{E}$，余極限を取れば良い．

\begin{theorem}[Kan拡張の計算公式]\label{計算公式}
圏$\ca{C},\ca{D},\ca{E}$と関手$F:\ca{C}\to \ca{E}$と$K:\ca{C}\to \ca{D}$を考える.
\[
\begin{tikzcd}
\ca{C} \ar[rr,"F",""{name=U, below}] \ar[rd,"K"']&&\ca{E}\\
&\ca{D} 
%\ar[ur,"G"'] 
%\ar["\rotatebox{90}{$\geq$}",phantom, to=U]
&
\end{tikzcd}
\]
任意の$d\in \ca{D}$について
\[
\begin{tikzcd}
\com{K}{d} \ar[r,"U_d"] & \ca{C} \ar[r,"F"] & \ca{E}
\end{tikzcd}
\]
の余極限
$\displaystyle \colim_{(c,f)\in K\downarrow d}Fc$が存在するとき,
，$F$の$K$に沿った左Kan拡張$\Lan_K F$
\[
\begin{tikzcd}
\ca{C} \ar[rr,"F",""{name=U, below}] \ar[rd,"K"']&&\ca{E}\\
&\ca{D} \ar[ur,"\rm{Lan}_{K} F"'] \ar[Leftarrow, to=U, "\eta"]&
\end{tikzcd}
\]
が存在し，任意の$d\in \ca{D}$について\[ (\Lan_K F )d \cong \colim_{(c,f)\in K\downarrow d}Fc\]となる．
\end{theorem}


今回$\displaystyle d\mapsto \colim_{(c,f)\in K\downarrow d}Fc$が左Kan拡張を与える，とは言わなかったが，順序集合の場合と違い射の移り先や自然変換$\eta$が何かを言及しなければKan拡張であるためにそもそも情報量が足りないからである．この文章では詳しく触れないがもちろん重要なので，気になる人は\cite{context}などの教科書を見るか，次の演習に取り組んでほしい．

\begin{exercise}[計算公式の残り]
Theorem \ref{計算公式}の状況において，対象の対応$ Ld\coloneqq \colim_{(c,f)\in K\downarrow d}Fc$を次のようKan拡張のデータに$(L,\eta)$に拡張せよ．
\begin{enumerate}
    \item 任意の$c\in \ca{C}$について$\eta_c: Fc\to Lc\coloneqq \colim_{(c,f)\in K\downarrow Kc}Fc$を恒等射$Kc\leq Kc$に対応するcoconeの成分として定義せよ．
    \item $\ca{D}$における射$g:d\to d'$は関手$g\circ - :\com{K}{d}\to \com{K}{d'}$を誘導することを示せ．
    \item $\ca{D}$における射$g:d\to d'$について，上記の$g\circ - $は射$Ld\to Ld'$を誘導することを示せ．
    \item 上記の射によって$L$は関手になることを示せ．
    \item $(L,\eta)$は求める左Kan拡張になっていることを示せ．
\end{enumerate}
\end{exercise}

順序集合でない例を出していく．段階的に順序集合から一般の圏に移行するため，まずは値域となる$\ca{E}$が順序集合の場合を考える．この時は計算する余極限は単に$\sup$であるし，関手への拡張や$\eta$も一意に定まるので比較的単純に扱える．

\begin{example}[ケイリー・ハミルトンの定理]
$\C$上\footnote{好きな体に変えてもいい}有限次元線型空間$V$と自己線型写像$f:V\to V$の組$(V,f)$を有限次元線形離散力学系と呼ぶことにする．線形代数における正方行列の理論は有限次元線形離散力学系の理論とも捉えられる．

有限次元線形離散力学系$(V,f)$の最小多項式$\varphi_{(V,f)}$とは，$\varphi (f)=0$なる$\C$上モニック多項式\footnote{最高次の係数が1の多項式のこと}$\varphi(X) \in \CX$のうち最小次元のものであった．最小多項式の定義は「条件を満たす最小のもの」の形であり普遍性の一種である．この普遍性を$\sup$(順序集合の余極限)の形で書き，左Kan拡張であることを観察しよう．

線型写像$\varphi (f)$が$0$であることの定義は任意の元を$0$に送るということだった．従って，各元$v\in V$について$\varphi (f)(v)=0$となるモニック多項式$\varphi(X)$のうち最小次元のもの$\varphi_v(X)$を用いれば，最小多項式$\varphi (X)$は$\{\varphi_v\mid v\in V \}$の最小公倍多項式とかける．最小公倍多項式は$\CX$のモニック多項式と剰余関係のなす順序集合\footnote{環論を知っている人は，代わりに$\CX$のイデアルと包含関係のなす順序集合(の反変順序集合)を考えることを勧める．$\CX$がPIDであることを用いれば($0$をモニックに含むかの流儀に依存するが)反変順序同型が得られる．イデアルとみて議論すれば(モニックだとか言わずに済む分)議論が単純になり，多方向への一般化に耐え，部分代数の順序集合に関する一般論(例えば完備束になること)が直ちに使えるなどのメリットがある．}$\MPoly_\C$の$\sup$なので，
\[
\varphi (X) = \sup_{v\in V} \varphi_v (X) 
%\  \text{in} \Monic_\C
\]
ともかける．

これが左Kan拡張の各点公式の形になっていることを観察しよう．圏$\LDyn$を，有限次元線形離散力学系を対象にもち，自己線型写像と可換な単射線形写像を射にもつ圏として定める\footnote{この圏が線形離散力学系を扱う普通の圏であるかのような誤解を生みやすい記法になっているが，不要な視覚的煩雑さを回避するための妥協策である．私の流儀では，線形離散力学系の圏$\displaystyle \Vect_{\C}^{\hspace{4pt}\mathbb{N}}$を用いて
$\displaystyle (\Vect_{\C}^{\hspace{4pt}\mathbb{N}})^{\text{fin.dim.}}_{\text{mono}}$と書いている．ここで$\mathbb{N}$は非負整数と加法のモノイドを一点圏とみなしたものである．}．そして，圏$\LDyn^\text{cyc}$を一元生成\footnote{$(V,f)$が一元生成とはある元$v\in V$が存在し$\{f^n (v) \mid n \in \mathbb{N}\}$が$V$を線型空間として生成することをいう．ある元$v\in V$が存在し$v$を含む最小の部分線形力学系が$V$全体であることといっても良い
．
%$\C[x]$加群としての一元生成と同じ．
}な有限次元離散力学系からなる$\LDyn$の(充満)部分圏とする．部分線形離散力学系の最小多項式は全体の最小多項式を割り切るので最小多項式を取る関手$\mpo:\LDyn\to \MPoly_\C$が伸びる．その$\LDyn^\text{cyc}$への制限にも$\mpo:\LDyn^\text{cyc}\to \MPoly_\C$という表記を用いる．元を見る代わりに一元生成な部分線形離散力学系を考えれば，ここまでの考察より
\[
\begin{tikzcd}[row sep = 30pt]
\LDyn^\text{cyc} \ar[rr,"\mpo",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']&&\MPoly_\C\\
&\LDyn \ar[ur,"\mpo"'] \ar[Leftarrow, to=U, "\id{\mpo}"']&
\end{tikzcd}
\]
は左Kan拡張であることがわかる．$(V,f)$の最小多項式は，$V$の元を零化する多項式たちの$V$全体への自然な拡張である．

最小多項式がKan拡張であることは，実はケイリー・ハミルトンの定理を含意している．一元生成な有限次元線形離散力学系については，最小多項式と固有多項式は一致している\footnote{生成元$v$について基底$\{f^n (v)\mid 0\leq n< \dim_V\}$での行列表示を見よ．}から，固有多項式をとる関手\footnote{関手性は簡単に確認できる．部分線形離散力学系$W$に関して，$W$の基底を拡張した基底について行列表示を見るといい．}$\Phi_-:\LDyn\to \MPoly_\C$に関して次の図式が得られる．
\[
\begin{tikzcd}[row sep = 30pt]
\LDyn^\text{cyc} \ar[rr,"\mpo=\Phi_-",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']&&\MPoly_\C\\
&\LDyn \ar[ur,"\Phi_-"'] \ar[Leftarrow, to=U, "\id{\Phi_-}"']&
\end{tikzcd}
\]
左Kan拡張の定義(普遍性)より
\[
\begin{tikzcd}[row sep = 15pt]
\LDyn^\text{cyc} \ar[rr,"\mpo",""{name=U, below}] \ar[rdd,"\iota"']&&\MPoly_\C && \LDyn^\text{cyc} \ar[rr,"\mpo=\Phi_-",""{name=V, below}] \ar[rdd,"\iota"']&&\MPoly_\C\\
&&&=&&&\\
&\LDyn \ar[uur,"\Phi_-"'] \ar[Leftarrow, to=U, "\id{\Phi_-}"]& && &\LDyn \ar[uur,"\mpo",bend left=15,""{name=a,below}] \ar[uur,""{name=b, above},bend right=30, "\Phi_-"'] \ar[Leftarrow, to=V, "\id{\mpo}"]&
\ar[Rightarrow, from=a, to=b, "\hspace{-10pt}\ ^{\exists !}\text{CH}",start anchor=north east,end anchor=south west]
\end{tikzcd}
\]
なる自然変換$\text{CH}:\mpo\to\Phi_-$が一意的に存在する．$\text{CH}$の$(V,f)$成分$\text{CH}_{(V,f)}:\varphi_{(V,f)} \to \Phi_{(V,f)}$は，剰余関係「$\varphi_{(V,f)}(X)$ は$ \Phi_{(V,f)}(X)$を割り切る」である．つまり，\emph{Kan拡張の普遍性で伸びる自然変換の$(V,f)$成分は$(V,f)$におけるケイリー・ハミルトンの定理である．}

\cite{sekai}におけるケイリー・ハミルトンの定理の証明は，この証明を書き下したものになっている．
\end{example}
次に、本質的に(順序集合でなくて)圏であることが重要な例を出す。
\begin{example}[群作用の拡大(誘導表現)]
群$G$を一点圏とみなせば，$G$から圏$\ca{C}$への関手は圏$\ca{C}$の対象への群作用と捉えられる．例えば$\ca{C}=\Set$なら集合への群作用，$\ca{C}=\Top$なら位相空間への群作用，$\ca{C}=\Vect_\C$なら群の$\C$線形表現である．

以下，圏$\ca{C}$は$\Set, \Top, \Vect_\C$などの任意の余極限をもつものを考える\footnote{この条件は強すぎて，実際はcopowerで十分}．
群$G$とその部分群$H \subset G$を、唯一の対象$\ast_H, \ast_G$を持つ一点圏とみなす。$H$の作用を$G$へ拡張することを考える．

\[
\begin{tikzcd}
H \ar[rr,"\rho",""{name=U, below}] \ar[rd,"\iota"']&&\ca{C}\\
&G \ar[ur,"\Lan_{\iota} F"'] \ar[Leftarrow, to=U, "\eta"]&
\end{tikzcd}
\]

Kan拡張の計算公式から左Kan拡張の存在はわかっている．
%群から圏$\ca{C}$への関手は、圏$\ca{C}$の対象への群$G$の作用だとみなすことができる。

% 部分群の埋め込み$\iota : H \to G$に関する関係性の圏$\com{\iota}{\ast_G}$をしらべる。
\end{example}

\section{Kan拡張の何が嬉しいの?}
圏論一般:A better understanding of mathematics is itself mathematics!! 

analogy

凡人が"正しい"理論を組み立てるための理論
e.g.)測度空間の完備化で，null-setの部分集合が全て可測，と最大の拡張，どちらを思いつくか？

\begin{example}[二項命題に誘導されるガロア接続]
\end{example}
\begin{example}[層化]
\end{example}
\begin{example}[米田]
\end{example}
\begin{example}[随伴]
例えば自由代数
\end{example}
\begin{example}[極限]
例えばp進整数環
\end{example}
\begin{example}[幾何学的実現]
\end{example}
\begin{example}[ultrafilter]
\end{example}
\begin{example}[誘導表現]
\end{example}
\begin{example}[導来関手]
\end{example}




\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{context} Riehl, Emily. Category theory in context. Courier Dover Publications, 2017.
\bibitem{CWM} Mac Lane, Saunders. Categories for the working mathematician. Vol. 5. Springer Science \& Business Media, 2013.
\bibitem{SGL} MacLane, Saunders, and Ieke Moerdijk. Sheaves in geometry and logic: A first introduction to topos theory. Springer Science \& Business Media, 2012.
\bibitem{awodey}Awodey, Steve. Category theory. Oxford university press, 2010.
\bibitem{Benri}Kelly, G. M.. BASIC CONCEPTS OF ENRICHED CATEGORY THEORY. 2005.
\bibitem{toy} hora-algebra, 圏論のToy Exampleとしての集合演算. \url{https://hora-algebra.github.io/ToyExample1.pdf}
\bibitem{sekai} 斎藤毅. 線形代数の世界 : 抽象数学の入り口. 東京大学出版会, 2007.
\end{thebibliography}
\end{document}

例えば，
\begin{itemize}
    \item 有理数上で定義された指数関数$2^q:\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$を実数上の関数$2^r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$に拡張したい.
    \item 測度空間$(X,\mathcal{B},\mu)$における測度$\mu:\mathcal{B}\to \Bar{\mathbb{R}}$を拡張して完備な測度を得たい．
    \item 部分群$H\subset G$の線形表現を拡張して群$G$の線形表現を得たい．
\end{itemize}
などである．

この文章を読み終わる頃には，
\begin{itemize}
    \item 量化子$\forall, \exists$．
    \item 行列の最小多項式とケーリーハミルトンの定理
    \item 初等的な圏論における「全ての概念\footnote{\cite{CWM}にはAll Concepts are Kan Extensionsという節があり，"The notion of Kan extensions subsumes all the other fundamental concepts of category theory."と主張されている}」.例えば米田，極限，随伴など．
    \item 前層の層化
    \item 二項関係に誘導されるガロア接続
\end{itemize}
など数学の至る所に拡張問題が隠れていること