{ "format": "sumire-research-record", "version": 1, "exportedAt": "2026-11-04T08:28:55.927Z", "scope": "Reader-visible project fields and native live notes only; referenced notes in other projects, deleted notes and private AI context are excluded.", "submission": "not_submitted", "mathematicalCorrespondence": "not_automatically_checked", "project": { "id": "2610.00003", "url": "https://sumire.aiformath.jp/p/2610.00003", "title": "Games as recursive coalgebras", "tagline": "Recursive coalgebras, game values, and the categorical structure of combinatorial games.", "visibility": "public", "owner": { "name": "hora", "handle": "ryuya" }, "origin": "", "source": "", "goal": "Explain how recursive game positions, game values, and operations such as Conway addition fit together, and identify what this explains about the Nim-sum.", "narrative": "The starting point is [Games as recursive coalgebras: A categorical view on the Nim-sum](https://arxiv.org/abs/2510.22886v3), available in [Main](https://sumire.aiformath.jp/p/2610.00003?view=main). The paper develops impartial games as recursive finite-powerset coalgebras, game values as recursive evaluations, and Bouton monoids as universal factorizations of game values. Conway addition is symmetric monoidal closed.\n\nThe next question is how much more explicit this framework can become. [The internal hom](https://sumire.aiformath.jp/p/2610.00003/n/4) has a proposed concrete cofree-subgame construction and proof in [note 29](https://sumire.aiformath.jp/p/2610.00003/n/29); its relationship to playing strategies remains separate. [Differential structures](https://sumire.aiformath.jp/p/2610.00003/n/6) asks for a common explanation of the Leibniz-type move formula and the Rota–Baxter-type law, with an explanation of Nim-sum as the target.\n\nTwo extensions have different starting points. [Partisan games](https://sumire.aiformath.jp/p/2610.00003/n/3) already recover short game forms, but values and strategies need additional structure. [A double category of games](https://sumire.aiformath.jp/p/2610.00003/n/1) still requires a precise strategy class and compatible squares; counterexamples for arbitrary relations do not settle that question.\n\nA settled boundary is that [Game itself is not a topos](https://sumire.aiformath.jp/p/2610.00003/n/16), by Remark B.27 of the paper. Questions about a topos completion are therefore distinct from that answered question.\n\nTo contribute, choose one of these linked questions and work against its stated remaining claim. For the internal hom, compute a small explicit example or clarify its game-theoretic meaning. For the double category, specify legal strategies and test compatibility with coalgebra maps before claiming a general construction or obstruction.", "history": "", "dates": { "inspiration": null, "sourceRecorded": null, "evidence": null, "registeredInSumire": "2026-10-07T16:29:39.051Z", "updatedInSumire": "2026-10-30T14:35:21.579Z", "legacyRecordedAt": "2026-10-07T16:29:39.050Z", "legacyUpdatedAt": "2026-10-30T14:35:21.579Z" }, "goals": [ { "id": "goal_71391ac0-c899-41e4-b6ed-e9d825d41001", "title": "To understand why Nim-sum works", "body": "", "noteIds": [] }, { "id": "goal_4d2683f0-360b-4edd-b553-ca70400f6943", "title": "Categorical unification of recursive, geometric and logical aspects of combinatorial game theory", "body": "", "noteIds": [] } ], "goalDependencies": [] }, "notes": [ { "id": "n_sDsq6XcyhiFC", "number": 34, "url": "https://sumire.aiformath.jp/p/2610.00003/n/34", "title": "AI research report (2026-08-25): Wythoff Nim完全値の計算量", "author": { "name": "hora", "handle": "ryuya" }, "source": "", "body": "# Wythoff Nim 完全値の計算量：A2 Hall 作用素、word 並列化、affine-tail\n\n## 結論\n\n完全な計算量分類には到達していないが、次の三点まで進んだ。\n\n1. Wythoff の合法手は A2 の三正根方向そのものであり、PBW data 上の root-component Nim を\n weight へ existential pushforward すると正確に Wythoff game graph が得られる。\n2. follower の色集合は Boolean 化した Hall support との convolution で正確に表せる。この\n 作用を bitset へコンパイルすると、`0<=a,b<=N` の完全表を word-RAM で\n `O(N^3/log N)` word operations で計算できる。\n3. 各固定行 `m |-> G(r,m)` は有限個の例外を除き affine symmetric group の元である。ただし\n 隣接行の相対変換は短い Coxeter word ではなく、単純な局所更新による高速化は成立しない。\n\n以下では、証明・機械検証・観察・反証・未解決を混ぜない。\n\n## 表現論と Wythoff game の対応表\n\n| Wythoff game | 表現論・幾何側 | 状態 | 計算量上の意味 |\n|---|---|---|---|\n| 位置 `(a,b)` | A2 正根格子の weight `a alpha_1+b alpha_2` | 厳密な同一視 | 盤面を二次元正根錐として扱える |\n| 一方の山から `k` 個取る | `k alpha_1` または `k alpha_2` を引く | 厳密な同一視 | 二本の単純根 ray |\n| 両方から同数 `k` を取る | `k(alpha_1+alpha_2)` を引く | 厳密な同一視 | 最高根 ray |\n| 一位置の内部lift | PBW/Kostant fiber `(a-z,z,b-z)`, `0<=z<=min(a,b)` | 厳密 | fiber は `min(a,b)+1` 個で、basis変更だけでは圧縮されない |\n| 三方向の合法手全体 | PBW multiplicityを一成分ずつ減らし、fiber全体を存在量化してweightへ射影 | 厳密 | root-component Nim の existential image が Wythoff graph |\n| 色 `g` の follower が存在する | 正根 indecomposable の直和による Hall 積の support を Boolean 化し、weightへ射影 | 厳密 | split extensionの存在により、Hall geometryは三本のray convolutionへ潰れる |\n| follower色集合 | `F_g` と positive-root kernel `K` の Boolean convolution | 厳密 | bitset OR として実装できる |\n| mex | Boolean supportの補集合に現れる最初の色 | 厳密だが標準Hall演算ではない | 難所は positivity でなく complement / first-zero |\n| 固定行 `m |-> G(r,m)` | 最終的な balanced affine permutation `w_r in S-tilde_(p_r)` | 既知結果からの厳密な系 | 行を affine A 型 Weyl group の元として扱える |\n| 行の加法周期 `p_r` | affine permutation のwindow size | 存在は証明済み | windowを展開せず評価する圧縮が必要 |\n| 隣接行 `r -> r+1` | 相対 affine permutation `w_(r+1) w_r^(-1)` | 小規模計算では非局所的 | bounded Coxeter update は使えない |\n| P-positionの黄金比・Zeckendorf表示 | A2 表現論側の標準object | 対応未発見 | `G=0` の数論的解法は、現在のHall作用素とは別の構造 |\n| quiver Grassmannian / cluster character | 固定representationのsubrepresentation支持 | 反証 | 合法手が不足または過剰になる |\n| canonical / semicanonical basis | 同じKostant weight spaceの別basis | 圧縮として反証 | fiberの要素数 `min(a,b)+1` は減らない |\n| Demazure / 0-Hecke root string | coroot pairingで切られるroot string | 反証 | Wythoffの正根錐境界によるcutoffと一致しない |\n| word-parallel mex | Boolean Hall supportをline bitsetへコンパイル | 厳密 | 完全表 `O(N^3/log N)` word operations |\n\n重要なのは、表の上半分は単なる比喩ではなく完全な対応である一方、mexはHall algebraの\n通常の正係数演算からは出ず、Boolean complementとfirst-zeroを追加して初めて現れることである。\n\n## 証明済み1：A2 PBW--Wythoff 対応\n\nA2 の正根を `alpha_1`, `alpha_2`, `alpha_12=alpha_1+alpha_2` とする。PBW multiplicityを\n`(x,z,y)` とし、weight mapを\n\n`pi(x,z,y)=(x+z,y+z)`\n\nと置く。weight `(a,b)` のfiberは正確に\n\n`pi^(-1)(a,b)={(a-z,z,b-z) : 0<=z<=min(a,b)}`\n\nである。\n\nPBW dataの一成分から正の整数 `k` を引き、結果のweightだけを見る。\n\n- `x` を減らすと `(a-k,b)`。\n- `y` を減らすと `(a,b-k)`。\n- `z` を減らすと `(a-k,b-k)`。\n\n逆に、それぞれのWythoff moveには、その成分を十分多く持つfiber elementが存在する。例えば\n`(a,b)->(a-k,b-k)` には `z>=k` のliftを選べばよい。従って、fiber全体について存在量化した\nPBW-Nimのweight像は、Wythoffの合法手と完全に一致する。\n\n## 証明済み2：Boolean Hall--mex 作用素\n\n色 `g` の位置のBoolean形式級数を\n\n`F_g(X,Y) = OR_(G(a,b)=g) X^a Y^b`\n\nとし、三正根のkernelを\n\n`K(X,Y)=X/(1-X) OR Y/(1-Y) OR XY/(1-XY)`\n\nとする。このとき\n\n`[X^a Y^b](F_g K)=1`\n\nであることと、位置 `(a,b)` のfollowerに色 `g` が存在することは同値である。従って\n\n`G(a,b)=min{g>=0 : [X^a Y^b](F_g K)=0}`\n\nとなる。\n\nHall algebra側では、正根 `beta` のindecomposableを `X_beta` とすると、\n`[M] [X_beta^(direct-sum k)]` のsupportをdimension vectorへBoolean射影したものが、この\nroot-ray kernelに一致する。split extension `M direct-sum X_beta^(direct-sum k)` が常に存在するため、\nnon-split extensionやHall数の情報はweight射影後には残らない。\n\n従ってHall supportは合法手を正確に与えるが、mexを圧縮する標準作用素ではない。mexに必要なのは\n正係数の積ではなく、色supportの補集合とfirst-zeroである。\n\n## 証明済み3：完全表の `O(N^3/log N)` word-RAM算法\n\n各行、各列、各difference diagonalについて、それまでに現れたGrundy値のbitsetを持つ。\nrow-majorに `(a,b)` を処理するとき、\n\n`S = Row_a OR Column_b OR Diagonal_(b-a)`\n\nをwordごとに計算する。`S` の最初の0 bitが、三方向の全follower色のmex、すなわち\n`G(a,b)` である。求めたbitを三つのline bitsetへ追加する。\n\nNivaschのbound `G(a,b)<=a+b` により、`0<=a,b<=N` では各bitsetは `O(N)` bitsで足りる。\nword sizeを `w` とすると、一cellは `O(N/w)`、全cellは\n\n`O(N^3/w+N^2)`\n\nword operationsである。`w=Theta(log N)` のword-RAMでは `O(N^3/log N)`。出力表を除く\n補助領域は `O(N^2/w)` wordsである。\n\nこの評価はword-RAMでは真にsubcubicだが、bit complexityでは `O(N^3)` のままである。\n固定行で三本のbit stringをNORしてmexを取る発想はLandman系で既知なので、全表へのこの\n計算量評価の文献上の新規性は未確認とする。\n\n## 証明済み4：Wythoff affine-tail 系\n\n固定行を `L_r(m)=G(r,m)` とする。既知結果により、各 `L_r` は非負整数全体の置換であり、\nある `P_r,p_r` に対して\n\n`L_r(m+p_r)=L_r(m)+p_r` for `m>=P_r`\n\nを満たす。\n\n周期窓を使い、整数全体へ\n\n`w_r(m+k p_r)=L_r(m)+k p_r`\n\nと延長する。`L_r` の単射性から、window内の像の剰余類は相異なり、`w_r` は整数全体の\n全単射になる。また `L_r` が非負整数全体の置換なので、tailの像が作る有限のdefectはprefixの\n個数と一致する。一周期で数えれば\n\n`sum_(i=0)^(p_r-1) (w_r(P_r+i)-(P_r+i))=0`\n\nとなる。従って `w_r` はbalanced affine permutation、すなわち affine symmetric group\n`S-tilde_(p_r)` の元である。\n\nこれは行の置換性と加法周期性という既知結果からの系である。今回の調査ではWythoff文献に\nこの包装を見つけていないが、独立した新規定理とはまだ主張しない。\n\n## 機械検証\n\n- line-bitset recurrenceと通常のmex動的計画法を N=20,80,180 の全cellで照合し、不一致なし。\n- 行0から30を `m=10^6` まで計算し、検出した最小候補周期とpreperiod後の6周期以上を照合。\n- 全検出windowで、剰余類が置換になり、変位和が0になることを確認。\n- 隣接行を共通周期へliftし、相対 affine permutationを計算。行0から30の全比較で、相対変換は\n windowの全剰余類を動かした。\n\n代表的な周期列は\n\n`1,3,3,6,12,24,12,24,24,24,24,48,48,96,96,96,192,192,384,384,384,768,...`\n\nであり、OEIS A046875の既存計算と一致する。\n\n## 観察\n\n計算済みの非零行では、最小加法周期はすべて `3*2^k` の形である。公開されている行53までの\nデータでも同じである。\n\n> Dyadic period予想：任意の `r>=1` に対し、固定行の最小加法周期 `p_r` は `3*2^k` の形である。\n\nこれは証明ではない。またperiod自体が急増し得るので、この予想だけでは高速算法にならない。\n必要なのはperiod windowの短いgrammarまたはrenormalizationである。\n\n## 反証済みの自然な表現論候補\n\n### Quiver Grassmannian / cluster character\n\nquiver `1->2` のdimension `(1,1)` のindecomposable `M` のsubrepresentation dimensionsは\n`(0,0),(0,1),(1,1)` で、`(1,0)` を欠く。一方、Wythoffの `(1,1)` からは\n`(0,0),(0,1),(1,0)` のすべてへ動ける。semisimple representationを選ぶと一般weightで\n任意のcoordinate-wise subdimensionが現れ、今度は不正な同時減少が入る。\n\n従って固定representationのquiver Grassmannianはgame graphと一致せず、そのEuler characteristicを\n使うcluster characterもこのsupport不一致を引き継ぐ。\n\n### Canonical / semicanonical basis\n\nweight `(a,b)` のKostant partition数は `min(a,b)+1`。canonicalまたはsemicanonical basisへ\n取り替えてもweight spaceのbasis数は変わらない。balanced weightでは一cellあたり線形個のdataが\n残るため、basis変更だけではsubcubic化しない。\n\n### Demazure / 0-Hecke\n\n`lambda=a alpha_1+b alpha_2` に対する標準root-string長はcoroot pairing\n\n`2a-b, -a+2b, a+b`\n\nで決まる。一方、Wythoffの三方向の最大長は\n\n`a, b, min(a,b)`\n\nである。例えば `(a,b)=(3,5)` では前者が `1,7,8`、後者が `3,5,3` となる。標準Demazure\noperatorはreflection endpointで切れ、Wythoffはpositive-root coneの境界で切れるため一致しない。\n\n## 反証済みの有限状態・自己相似候補\n\n### 自然なZeckendorf prefix\n\n両endpointへ同じFibonacci block `C` を足す `(a,b)->(a+C,b+C)` はdifferenceを保存する。\nしかしrow 0では各色 `h` が `(0,h)` にあるため、difference `h` とendpoint `h` は色 `h` に\nすでに使用されている。source birth `(0,g,d=g)` に対し、色を固定するshiftはtargetの\n`D_g` に、色にも `C` を足すshiftはtarget endpointに阻まれる。\n\nbirth一点だけを保存するstate-dependent shiftを選んでも、合法性word全体は保存できない。\n固定difference上のtarget色は互いに異なり非有界だが、row-zero anchorにより各target色 `q` は\n常に `q in D_q` を満たすため、十分大きなtranslationでsourceとtargetのlegalityが食い違う。\n\n### bounded-hole summary\n\n`Cover(n,m,t)` を「全色 `hK+3` なら二位置の各方向の先頭K holeは同じだが、Grundy値は異なる。\n\n### bounded Coxeter update\n\n行0から30の計算では、相対変換 `w_(r+1) w_r^(-1)` は共通period windowの全成分を動かした。\n周期768の領域では768剰余類すべてが変化する。これは一般的no-go定理ではないが、隣接行を\nO(1)個またはO(log r)個の単純反射で更新する最も直接的な案を有限データ上で否定する。\n\n## 未解決と次の標的\n\n未解決なのは次である。\n\n- bit complexityでcubicを破れるか。\n- 完全表を `O(N^2 polylog N)` で計算できるか。\n- binary入力 `(n,m)` 一組を `poly(log n+log m)` 時間で計算できるか。\n- 一般算法に対する自明な入出力下界を越える下界を証明できるか。\n\n最小の次標的を次の形に固定する。\n\n> Affine dyadic-cover補題：WSGで色 `h` と行 `r` に生じる三禁止集合\n> `D_h`, `B_h-r`, `L_r` について、dyadic intervalがその和集合で完全被覆されるかを\n> `polylog N` sizeの注釈付きaffine cut-setから判定し、更新も `polylog N` で行える。\n\nこの補題があれば、最初の非被覆differenceを区間二分で求められ、一つの `(r,h)` を\n`polylog N` で処理できる。全 `O(N^2)` 組に対して `O(N^2 polylog N)` が得られる。\n\n表現論の役割は、ここで魔法のscalar invariantを探すことではない。合法手をA2 Boolean Hall\nconvolutionとして固定し、affine permutation / cut-setがそのBoolean zero-testをどこまで短く\n表現できるかを問うことである。\n\n## 主張の境界\n\n- `O(N^3/log N)` はword-RAM上の証明済み上界であり、bit complexityの改善ではない。\n- affine-tailは既知の行置換性と加法周期性から得た系で、新規性は未審査である。\n- dyadic periodとbounded Coxeter updateは有限計算による観察である。\n- cluster、canonical basis、Demazureの反証は記載した自然な直接対応を排除するが、非自明な\n decoderを伴うあらゆる表現論的方法を排除するものではない。\n- 完全な計算量分類は未解決であり、このreportは解決宣言ではない。", "dates": { "inspiration": null, "sourceRecorded": null, "evidence": null, "registeredInSumire": "2026-10-07T16:37:34.424Z", "updatedInSumire": "2026-10-10T08:51:19.958Z", "legacyRecordedAt": "2026-10-07T16:37:34.424Z", "legacyUpdatedAt": "2026-10-10T08:51:19.958Z" }, "language": null, "projectLanguage": "ja", "languageSource": "not_recorded", "legacyStage": "note", "classification": "unclassified", "classificationStatus": "unclassified", "importance": "unspecified", "section": "unassigned", "problemState": "unknown", "resolution": "", "verificationEvidence": { "ai": "AI research reportに「証明済み1〜4」の証明を記載。完全な計算量分類やdyadic-period予想の証明は含めない。", "lean": "", "human": "" }, "aiClaimModel": "", "formalization": "unknown", "humanReview": "unreviewed", "verification": 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