問い #153

Closed structures on games ## Trigger Hora, *Games as recursive coalgebras* のQuestions 5.5 and 5.6と旧HP Problems 5.0.1にある公開問題。`created` は論文の初公開日を代理値とし、正確な着想日は不明。 ## Idea Classify all monoidal closed structures on the locally finitely presentable category of combinatorial games. This corresponds to Questions 5.5 and 5.6 of the games-as-recursive-coalgebras paper. ## Goal 上記のlocally finitely presentable category of combinatorial games上のmonoidal closed structuresを分類する。 ## Personal context 旧タグは monoidal closed、locally finitely presentable、combinatorial game。旧一覧以後の進展はこの移住では未確認であり、棚卸し待ちとして `status: dormant` とする。 ## References - [Ryuya Hora, *Games as recursive coalgebras: A categorical view on the Nim-sum*](https://arxiv.org/abs/2510.22886) ## Provenance - 旧ID: 5.0.1 - 旧分類: formal question - [旧出典 `scripts/site.js` 871–880行](https://github.com/hora-algebra/ryuya-hora-homepage/blob/1b8b74c2b3447bdc744a0cac256c5d5806588adc/scripts/site.js#L871-L880) - Ideaの2段落は旧HPのstatement / descriptionをそのまま保持した。 ## 2026-08-26 AI研究監査：coordinate-local tensors の完全分類 $S\subseteq\{L,R,B\}$ に対し，$X\star_SY$ の move を，左成分のみ（$L$），右成分のみ（$R$），両成分同時（$B$）のうち $S$ に属する型だけ許すものとする．すると： - $\star_S$ が associative であることと，$B\notin S$ または $(L\in S\Leftrightarrow R\in S)$ は同値． - symmetric であることと $(L\in S\Leftrightarrow R\in S)$ は同値． - 一点終端 game を両側 unit に持つことと $L,R\in S$ は同値． 従って symmetric unital な coordinate-local tensor はちょうど \[ S=\{L,R\}\quad\text{(Conway addition)}, \qquad S=\{L,R,B\}\quad\text{(selective sum)} \] の二つである．証明は三重積で一つの elementary move がどの座標集合を変えられるかを比較するだけで，associativity failure は $\{L,B\}$ と $\{R,B\}$ に限られる． これは全 monoidal closed structure の分類ではないが，「move rule が座標ごとに局所的」という自然なクラスでは完全分類である．cofree-subgame internal hom の式も，$B$ を許す場合に simultaneous residual term \[ \{a_{t'}(g')\mid t'\in T,\ g'\in\theta_G(g)\} \] を加えることで一様に得られる． ## 2026-08-27 ChatGPT研究継続：strict moduli と lax 境界 AI生成preprint `pre-mn7xqk` の主定理は，$U\colon\mathbf{Game}\to\mathbf{Set}$ が strict symmetric monoidal となる全 tensor を，finite rooted games 上の admissible rooted transition laws（progress・unit・symmetry・finite associativity）で完全に parameterize する．任意の position が生成する subgame は有限なので， \[ \theta_{X\otimes_\tau Y}(x,y)=\tau_{(\langle x\rangle,x),(\langle y\rangle,y)} \] で全 games へ一意に延長される．分類空間は effectively closed profinite space で，濃度は正確に $2^{\aleph_0}$．これは named sums の有限列挙ではなく，moduli problem としての完全分類である．任意の分類点に対する internal hom も cofree game の compatible subgame として一様に構成できる． 具体 family では，height-drop tensor $\otimes_S$ の associativity は \[ S\text{ is sum-free}\quad\text{or}\quad S+S\subseteq S \] と同値．path-length tensor $\otimes_D$ の associativity は $\Lambda_L(D)=\Lambda_R(D)$ と同値．coordinate-local symmetric unital tensor は Conway sum と selective sum の二つだけである． lax 化については次を得た． - $U$ が strong monoidal なら comparison bijection に沿う transport で strict case へ還元される． - tensor carrier が既に $UX\times UY$，射上の作用が $f\times g$ なら，$\operatorname{Nat}(U,U)=\{\mathrm{id}\}$ から lax comparison は恒等写像に強制される． - unit を外した product-carrier semigroupal structures は，unit equations を除いた rooted laws で完全分類される． - carrier を自由にした nonunital lax structures は，pointed game $E$ ごとの constant tensor $X\odot_EY=E$ だけで proper class many． - genuinely lax unital closed tensor は未分類だが，separate cocontinuity により finite games 上の kernel \[ X\otimes Y\cong\operatorname*{colim}_{A\subseteq_{\rm fin}X,\,B\subseteq_{\rm fin}Y}A\otimes B \] へ正確に還元される． CGTとの照合で，最初の exotic tensor $S=\{1\}$ を Nim heaps に制限すると，既知の parameter $p=3$ generalized $n$-dimensional Ryūō Nim，すなわち mixed base $(3,2,2,\ldots)$ の cyclic Nimhoff と一致することが判明した．したがって mixed-radix Grundy formula 自体は新規ではない．新しい点は，この既知 game が rooted-law moduli の自然な stratum として現れ，arbitrary recursive games へ categorical に拡張されることである． 残る主要問題は genuinely lax unital finite kernels の構造的分類，finite/computable Bouton quotient を持つ moduli locus，および singleton drop $S=\{d\}$ と $2$-primary Nimhoff systems の一般則である． ## 追記（2026-08-27・AI採掘）: Question 5.5 の解決 — strict monoidal 構造は連続体個 2026-04-19〜21 の ChatGPT 会話で Question 5.5 が決着していた。忘却関手 \(U:\mathbf{Game}\to\mathbf{Set}\) を strict monoidal にする symmetric monoidal 構造は，\(\mathbb N\) 上の monotone total preorder \(\preceq\) から birthday 経由で構成でき，互いに異なるものが**連続体個**ある。上限も \(\mathbf{Game}\) の locally finitely presentable 性から \(2^{\aleph_0}\) で一致し，closedness は Corollary B.11 により自動である。 さらに \(U\) は comonadic で右随伴が \(R(\Lambda)=H_\Lambda\)（\(\Lambda\)-labeled hereditarily finite sets）なので，Question 5.5 は \(G=UR\) 上の lax monoidal law \(m:G\Lambda\times G\Gamma\to G(\Lambda\times\Gamma)\) の分類，すなわち \((\mathrm{Set},\times,1)\) 上の symmetric monoidal comonad 構造の分類と**同値**である。残る問題は explicit normal form（対称群の equivariance の詰め）だけになった。 検証状態: 会話中の証明であり独立査読は未了。本瓶の他の節（coordinate-local tensors の分類・lax 化）とは相補的で，こちらは carrier を固定しない一般の strict 構造の全体量を決める。