Reflected Day convolution
## Trigger
[[jkjtsg]] の「box積はDay convolutionか」，[[f4qpnc]] の Games and Species，[[tauvfv]] の closed structures の三瓶を，dense generators 上の Day convolution と reflection の一般定理で接続した．
## Result
**定理（reflected Day convolution）．** \((\mathcal C,\otimes,I)\) を cocomplete monoidal category とし，\(\otimes\) が各変数で小余極限を保つとする．
\[
j:\mathcal A\hookrightarrow\mathcal C
\]
を小さい full dense monoidal subcategory で，unit を含み tensor に閉じるものとする．restricted Yoneda とその左随伴を
\[
N:\mathcal C\to[\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}],
\qquad
L(P)=\int^{a\in\mathcal A}P(a)\cdot a
\]
とする．\([\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]\) に \(\mathcal A\) の tensor から誘導される Day convolution \(\star\) を入れると，自然同型
\[
\boxed{L(P\star Q)\cong L(P)\otimes L(Q)}
\]
がある．特に
\[
\boxed{X\otimes Y\cong L(NX\star NY)}
\]
である．
## Proof
Day convolution の coend formula と co-Yoneda lemma により
\[
L(P\star Q)
\cong
\int^{a,b\in\mathcal A}P(a)\times Q(b)\cdot(a\otimes b).
\]
一方，\(\otimes\) の各変数での cocontinuity により
\[
\begin{aligned}
L(P)\otimes L(Q)
&=\left(\int^aP(a)\cdot a\right)\otimes
\left(\int^bQ(b)\cdot b\right)\\
&\cong
\int^{a,b}P(a)\times Q(b)\cdot(a\otimes b).
\end{aligned}
\]
従って \(L\) は strong monoidal である．\(\mathcal A\) の density により \(LNX\cong X\) なので，第二の公式が従う．
## Application to games
\(\mathcal C=\mathbf{Game}\)，\(\mathcal A=\mathbf{Game}_{\mathrm{fp}}\) を finitely presentable games の小 skeleton とし，Conway addition が各変数で cocontinuous かつ \(\mathcal A\) を保つ場合，
\[
X+Y\cong L(NX\star_{\mathrm{Day}}NY).
\]
従って Conway addition は Game 自身を前層圏と同一視した literal Day convolution ではないが，finite games 上の Day convolution を Gabriel--Ulmer 型 reflection で戻した **reflected Day convolution** である．
## Interpretation
\[
\text{大きな圏の tensor}
=
\text{小さな生成対象上の組合せ論}
+
\text{free cocompletion/reflection}
\]
である．Games と Species の接点は対象の同一視ではなく，tensor の普遍表示にある．
## Status
一般定理は標準的な coend argument で証明済み．Game への適用では，選んだ finitely presentable subcategory が tensor に閉じることを原論文の定義に沿って明示確認する必要がある．