スケッチ #298

Reflected Day convolution ## Trigger [[jkjtsg]] の「box積はDay convolutionか」，[[f4qpnc]] の Games and Species，[[tauvfv]] の closed structures の三瓶を，dense generators 上の Day convolution と reflection の一般定理で接続した． ## Result **定理（reflected Day convolution）．** \((\mathcal C,\otimes,I)\) を cocomplete monoidal category とし，\(\otimes\) が各変数で小余極限を保つとする． \[ j:\mathcal A\hookrightarrow\mathcal C \] を小さい full dense monoidal subcategory で，unit を含み tensor に閉じるものとする．restricted Yoneda とその左随伴を \[ N:\mathcal C\to[\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}], \qquad L(P)=\int^{a\in\mathcal A}P(a)\cdot a \] とする．\([\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]\) に \(\mathcal A\) の tensor から誘導される Day convolution \(\star\) を入れると，自然同型 \[ \boxed{L(P\star Q)\cong L(P)\otimes L(Q)} \] がある．特に \[ \boxed{X\otimes Y\cong L(NX\star NY)} \] である． ## Proof Day convolution の coend formula と co-Yoneda lemma により \[ L(P\star Q) \cong \int^{a,b\in\mathcal A}P(a)\times Q(b)\cdot(a\otimes b). \] 一方，\(\otimes\) の各変数での cocontinuity により \[ \begin{aligned} L(P)\otimes L(Q) &=\left(\int^aP(a)\cdot a\right)\otimes \left(\int^bQ(b)\cdot b\right)\\ &\cong \int^{a,b}P(a)\times Q(b)\cdot(a\otimes b). \end{aligned} \] 従って \(L\) は strong monoidal である．\(\mathcal A\) の density により \(LNX\cong X\) なので，第二の公式が従う． ## Application to games \(\mathcal C=\mathbf{Game}\)，\(\mathcal A=\mathbf{Game}_{\mathrm{fp}}\) を finitely presentable games の小 skeleton とし，Conway addition が各変数で cocontinuous かつ \(\mathcal A\) を保つ場合， \[ X+Y\cong L(NX\star_{\mathrm{Day}}NY). \] 従って Conway addition は Game 自身を前層圏と同一視した literal Day convolution ではないが，finite games 上の Day convolution を Gabriel--Ulmer 型 reflection で戻した **reflected Day convolution** である． ## Interpretation \[ \text{大きな圏の tensor} = \text{小さな生成対象上の組合せ論} + \text{free cocompletion/reflection} \] である．Games と Species の接点は対象の同一視ではなく，tensor の普遍表示にある． ## Status 一般定理は標準的な coend argument で証明済み．Game への適用では，選んだ finitely presentable subcategory が tensor に閉じることを原論文の定義に沿って明示確認する必要がある．