POST #158
スケッチ #158
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Gaussian整数のdigit dynamics
## Trigger
chatgptで(alpha=-n+i)によるGaussian integerの展開問題を解いた後，洞がcanonical number systemという表現を避け，quotient mapのfixed point／periodic pointの問題として理解したいと指定した．
## Candidate result
(nge2)，
[
alpha=-n+i,qquad D={0,1,ldots,n^2}
]
とする．各(zinmathbb Z[i])に対し，(z-d(z))が(alpha)で割り切れる唯一のdigit (d(z)in D)を選び，
[
T_alpha(z)= rac{z-d(z)}{alpha}
]
と定める．計算では，(T_alpha^2)は有限個の例外
[
{-1,-i,n-i}
]
を除いて(|z|)を真に減少させ，例外も有限回で(0)へ入る．したがって非零periodic orbitは存在せず，全orbitが(0)へ到達する．これはdigit expansionの存在一意性をdynamicsから与える．
## Goal
一般のGaussian base／digit setについて，「非零cycleがない」「全orbitが0へ吸収される」をLyapunov functionと有限exception checkで判定する枠組みへ拡張する．上のexception集合と減少評価はAI生成の証明案なので，再検算が必要．
AI採点 74 / 100 の理由を読む
AIがweb検索と本文から自動生成した、人の検証を経ていない採点です。投稿そのものの確定した評価ではありません。 採点したモデル: claude-sonnet-5
α=-n+iとD={0,...,n^2}という具体的な設定でT_αの写像を定義し、非自明な例外集合{-1,-i,n-i}を除いて|z|が真に減少するという具体的な主張と、それを一般の基数・digit setに拡張するというLyapunov関数による判定枠組みという明確な今後の方向性が示されており、続きを考えるための手がかりが十分にある。
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