着想 #215

double categoriesと組合せゲーム ## Trigger ACT 2026でJules Hedgesと、double categories of games、open games、組合せゲーム、進化論的ゲームについて話した。 Julesによれば、gameをdouble categoryとして扱う既存研究には少なくとも次の二つがある。 - Jules Hedges, *Morphisms of Open Games* lensをvertical directionに用い、equilibriumを扱えるdouble categoryを与える。Jules自身は、これは最初に実際にworkした構成ではあるが、よりよい定式化があるはずだと考えているらしい。 - Neil Ghani, Clemens Kupke, Alasdair Lambert, Fredrik Nordvall Forsberg, *A compositional treatment of iterated open games* coalgebraを使ってiterated open gamesを扱い、repeated prisoner’s dilemmaを合成的に記述する。 一方で、open games in economicsとcombinatorial gamesは、現在の研究コミュニティではかなり別の対象として扱われている。JulesはNimやBouton’s theoremを知らなかった。この分断は、洞の *Games as recursive coalgebras* とJoyal strategiesをdouble-categoricalに結ぶ研究にとって明確な空白地帯である。 ## Idea 組合せゲームに特化したdouble category / virtual equipmentを作る。 - objects: recursive coalgebraとしてのgame frames - vertical arrows: option-preservingかつoption-liftingなcoalgebraic game morphisms - horizontal arrows: Joyal型のstrategies - 2-cells: coalgebraic mapsに沿ったstrategy simulations - companions/conjoints: copycat-through-$f$ - horizontal composition: swivel-chair / interaction-and-hiding 既存のopen gamesのdouble categoryをそのまま特殊化するのではなく、 \[ \text{coalgebraic combinatorial game structure} \quad+\quad \text{Joyal strategy semantics} \] を直接統合する。 これはeconomic game theoryのopen gamesと、Conway–Joyal型combinatorial game theoryの間を埋める構成になる可能性がある。 ## Relation to P-positions and game semantics *The game semantics of game theory*（arXiv:1904.11287）では、combinatorial gameのP-positionを、複数のplayerが協力して外界と戦うゲームにおけるNash equilibriumとして理解する議論があるらしい。 この見方が正しければ、 \[ \text{P-position} \] は単なるrecursive outcome classではなく、 \[ \text{internal coalition vs. environment} \] というopen-game的意味論を持つ。 調べるべき問い： - P-positionをcoalgebraic invariantとして記述できるか。 - そのP-position conditionは、strategy equipment内のequilibrium-like universal propertyになるか。 - Bouton’s theoremは、そのequilibrium predicateをNim-sumによって計算するintegration theoremと解釈できるか。 - Joyalのwinning strategyとopen gamesのbest-response/equilibriumを同一のdouble-categorical構造で比較できるか。 ## Evolutionary games and compositionality untyped lambda calculusだけを基礎にして進化論をモデル化する案について、Julesから > 経済のゲームと生物のゲームをどうcompositeするのか という批判があった。 これは妥当な問題である。単にすべてをlambda termとして符号化しても、それぞれの相互作用のinterfaceやcomposition lawは説明されない。 しかしDawkins的な観点では、economic agents、organisms、genes、memesは同じ世界の中で相互作用している。したがって必要なのは単一のuntyped syntaxではなく、異なるgame semanticsを接続できるheterogeneous compositional frameworkである可能性が高い。 候補： - virtual double categories / equipments - decorated or indexed open games - coalgebraic game frames with varying strategy doctrines - fibrations of game semantics - double categories whose objects encode interfaces and whose horizontal arrows encode heterogeneous games - cybernetic systems combining biological fitness, economic utility, and informational replication ## Goal 第一段階では、combinatorial gamesに対するvirtual equipmentを厳密に構成し、既存のopen gamesのdouble categoriesとの比較定理を与える。 第二段階では、P-position、Nash equilibrium、coalgebraic recursion、Bouton’s theoremを同じcompositional languageで関係づける。 最終的には、economic gamesとbiological gamesを同じsyntaxへ潰すのではなく、異なる意味論を保ったまま合成できる「進化論の構造的モデル」へ接続する。 ## Personal context これは洞の以下の研究を直接つなぐ。 - *Games as recursive coalgebras* - Nim-sumをrecursive coalgebraのintegrationとして見る立場 - Joyal strategiesの圏 - double category / virtual equipment of combinatorial games - Conway’s Game of Lifeや人工生命への関心 - 理性・生命・制度の創発をcompositionalに理解する目標 組合せゲーム側にはopen games研究者が十分入っておらず、open games側にはNimやBouton’s theoremが十分知られていない。この断絶自体が研究機会である。 ## David Jaz Myersのcategorical systems theoryとの関係 David Jaz Myersのbook draft *Categorical Systems Theory* を参照する。Jules Hedgesとの議論では、Julesのdouble-categorical approachは、Myersのcategorical systems theoryにおけるdouble-categorical approachと関係しているらしい、という文脈も得られた。 したがって、この草稿は単なる一般的なsystems theoryの背景ではなく、Julesのopen gamesにおけるdouble-categorical構成が属する系譜と、組合せゲーム側で構成したいdouble categoryあるいはvirtual double categoryを比較するための直接的な参照点として読むべきである。ただし、両者の正確な技術的対応関係は未確認であり、今後、用いるlens、interface、horizontal/vertical morphism、compositionの対応を文献上で検証する必要がある。